110年基北區師大附中特招-數學詳解

基北區國立臺灣師範大學附屬高級中學

110 學年度高級中等學校特色招生考試

第一部分：單選題

解答： $$\cases{\sqrt{10a-b} \lt 18\\ \sqrt{10b} \lt 15} \Rightarrow \cases{ {10a-b} \lt 324 \cdots(1)\\  {10b} \lt 225 \cdots(2)}\Rightarrow 10\times(1)+(2) \Rightarrow 100a \lt 3465\\ \Rightarrow a\lt 34.65 \Rightarrow \sqrt a \lt \sqrt{34.65} \lt \sqrt{36} \Rightarrow \sqrt a的整數部分為5，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$f(x)=x^2+2x-3 =(x+1)^2-4 \Rightarrow 圖形y=f(x)的對稱軸為x=-1\\f(a-1)=f(b+2) \Rightarrow a-1與b+2 對稱於x=-1 \Rightarrow b+2-(-1)=-1-(a-1)\\ \Rightarrow b+3=-a \Rightarrow a+b=-3，故選\bbox[red,2pt]{(3)}\\ 由於b\gt a，所以b+2 \gt a-1，也就是a-1\ne b+2$$

解答：

$$\cases{\alpha=\angle 2+\theta \\ \beta=\angle 1+\theta} \Rightarrow \alpha+\beta =\angle 1+\angle 2+2\theta =(180^\circ-\theta)+2\theta =180^\circ+\theta \\ \Rightarrow \theta=\alpha+\beta-180^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$\cases{P在y=x+2上\Rightarrow P(a,a+2)\\ Q在y=x-1上\Rightarrow Q(b,b-1)}，又P的y坐標比Q的x坐標少4 \Rightarrow a+2=b-4 \Rightarrow a-b=-6\\ \overline{PQ}= \sqrt{(a-b)^2+(a-b+3)^2 }= \sqrt{(-6)^2+(-6+3)^2} =\sqrt{45} =3\sqrt 5，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答： $$9570=1400a+794b，其中a,b均為自然數 \Rightarrow b=5(個位數才會是0)\\ \Rightarrow a=(9570-794\times 5)\div 1400= 5600\div 1400=4\\ 共有a+b=5+4=9 人買票，有15-9=6人免費，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$有四種可能：\\O,B(3),A(5),C(8)\\B(-3),A(-1),O,C(2)\\C(-8),A(-5),B(-3),O\\C(-2),O,A(1),B(3)\\，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答： $$(1)\times: 全校最高是男生185公分，最矮也是男生140，全距=185-140=45 \not \gt 45\\(2)\bigcirc: 男生中位數165,女生中位數160，兩者合併計算中位數一定大於160\\(3)\times: 男生四分位距20，女生四分位距15，兩者合併計算四分位距介於兩者之間\\(4)\times: 男生女生的第1四分位數均為155，合併計算後仍為155\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答： $$\cases{253523352\times 2=\color{blue}{5}0\color{blue}{7}046704\\ 253523352\times 3= 76057\color{blue}{00}56} \Rightarrow \cases{個位數2\\ 十位數5\\ 千位數3\\ 萬位數2}，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答：

$$令\cases{梯形的高為h\\ \triangle G_1G_2D的高為h_g\\ P為\overline{BE}中點\\ Q為\overline{EC}中點}，見上圖；則\cases{{h_g\over h}={\overline{AG_1}\over \overline{AP}} ={2\over 3}\\ {\overline{G_1G_2}\over \overline{PQ}}={\overline{AG_1}\over \overline{AP}}={2\over 3}} \Rightarrow \cases{h_g={2\over 3}h\\ \overline{G_1G_2}={2\over 3}\overline{PQ}= {1\over 3}\overline{BC}}\\  因此 {\triangle G_1G_2D \over \triangle ABC} = {\overline{G_1G_2}\times h_g\over \overline{BC}\times h} \Rightarrow {\triangle G_1G_2D \over 180} = {{1\over 3}\overline{BC}\times {2\over 3}h\over \overline{BC}\times h} ={2\over 9} \\\Rightarrow \triangle G_1G_2D=180\times {2\over 9}=40，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

解答：

$$旋轉52^\circ \Rightarrow \angle COC'=52^\circ \Rightarrow \overset{\large{\frown}}{CC'}=26^\circ ；又\cases{\angle A=50^\circ \\ \angle C=51^\circ } \Rightarrow \angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=79^\circ  \\\Rightarrow \overset{\Huge{\frown}}{AC'C}= 79^\circ   \Rightarrow  \overset{\large{\frown}}{AC'}=\angle AA'C =\overset{\Huge{\frown}}{AC'C}- \overset{\large{\frown}}{CC'} =79^\circ-26^\circ=53^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答： $$\cases{\overline{AC} =\overline{AD}\\ \overline{BC}=\overline{AE}\\ \angle C=\angle EAD} \Rightarrow \triangle ADE \cong \triangle ACB (SAS) \Rightarrow \triangle ADE面積=\triangle ABC面積=300+348=648\\ \Rightarrow \triangle AEF 面積=\triangle ADE-\triangle ADF = 648-300=348\\{\triangle AEF \over \triangle ADF} ={\overline{EF} \over \overline{FD}} \Rightarrow {348\over 300} ={29\over 25}={\overline{EF} \over \overline{FD}}\\ \Rightarrow \overline{EF}={29 \over 29+25}\cdot (\overline{EF} +\overline{FD}) ={29 \over 54}\cdot \overline{ED}={29 \over 54}\cdot 54=29，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

解答：

$$\cases{甲=\triangle A_1B_1C_1\\ 乙=\triangle A_2B_2C_2\\ 丙=\triangle A_3B_3C_3} \Rightarrow \triangle  A_1B_1C_1\sim \triangle A_2B_2C_2\sim \triangle A_3B_3C_3 (AAA) \\ \Rightarrow 甲:乙:丙=\overline{A_1C_1}^2 :\overline{A_2C_2}^2 :\overline{A_3C_3}^2 \Rightarrow \overline{A_1C_1} :\overline{A_2C_2} :\overline{A_3C_3}=3:4:5 \\ 由\overline{A_1C_1}=3 \Rightarrow \cases{\overline{A_2C_2}=4 \\\overline{A_3C_3}=5} \Rightarrow \cases{\overline{C_1C_2}=2\\ \overline{C_2C_3}=2}\\又\triangle  B_1A_1C_1 \sim \triangle PA_2C_2 \sim \triangle RA_3C_2 \Rightarrow \triangle  B_1A_1C_1 : \triangle PA_2C_2 :\triangle RA_3C_2 \\ =\overline{A_1C_1}^2: \overline{A_2C_1}^2: \overline{A_3C_2}^2    =3^2:2^2:3^2  \Rightarrow \cases{\triangle PA_2C_2= 4\\\triangle RA_3C_2=9  }\\\ 欲求之面積=甲+乙+丙-\triangle PA_2C_2-\triangle RA_3C_2  = 9+16+25-4-9+1 =37\\，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

解答： $$(1)\times: 1\lt x\lt 4，甲、乙皆在\overline{PB} \Rightarrow y=0，常數非一次式\\(2)\times:6\lt x\lt 9，\cases{甲在\overline{BA}\\ 乙在\overline{BC} }\Rightarrow y為一次式\\(3) \times: 11\lt x\lt 14，\cases{甲在\overline{AQ}\\ 乙在\overline{CD} }\Rightarrow y=k\gt 0為常數\\(4)\bigcirc:16\lt x\lt 19，\cases{甲在\overline{AQ}\\ 乙在\overline{DQ} }\Rightarrow y為一次式\\，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答： $$\cases{\angle B=91^\circ \\ \angle C=88^\circ\\ \overline{AD}\parallel \overline{BC}} \Rightarrow \cases{\angle A=89^\circ\\ \angle D=92^\circ} \Rightarrow \angle A+\angle D \gt \angle B+\angle C \Rightarrow \overline{BC} \gt \overline{AD} \\   若{1\over 2}\overline{AD}\gt \overline{PB}且{1\over 2}\overline{AD}\gt \overline{PC}，則{1\over 2}\overline{AD}+{1\over 2}\overline{AD} \gt \overline{PB}+\overline{PC} \Rightarrow \overline{AD} \gt \overline{BC}，與上式矛盾\\，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答：

$$\overline{AB}為正方形邊長的一半，即\overline{AB}=8\sqrt 3\div 2=4\sqrt 3，\\又正六邊形的內角為120^\circ \Rightarrow \triangle ABC三內角為30^\circ-90^\circ-60^\circ \\\Rightarrow 正六邊形邊長\overline{AC}=4\sqrt 3\times {2\over \sqrt 3}=8  \Rightarrow \overline{AD}=2\overline{AC} = 16 \Rightarrow \overline{DE}= 16-8\sqrt 3 \\\overline{AB}為正方形邊長的一半，即\overline{AB}=8\sqrt 3\div 2=4\sqrt 3，\\又正六邊形的內角為120^\circ \Rightarrow \triangle ABC三內角為30^\circ-90^\circ-60^\circ\\ \Rightarrow 正六邊形邊長\overline{AC}=4\sqrt 3\times {2\over \sqrt 3}=8  \Rightarrow \overline{AD}=2\overline{AC} = 16 \Rightarrow \overline{DE}= 16-8\sqrt 3\\ 向左平移a公分後，左邊的三角形縮小，底邊的高由16-8\sqrt 3縮短為16-8\sqrt 3-a；\\而右邊凸出的三角形的高為a公分； 左右兩個三角形面積都是120^\circ-30^\circ-30^\circ，\\因此面積為\sqrt 3\times 高^2 \Rightarrow 面積和=\sqrt 3((16-8\sqrt 3-a)^2+a^2)\\ 希望重疊面積最大就是希望面積和要最小，也就是(16-8\sqrt 3-a)^2+a^2 要最小\\ (16-8\sqrt 3-a)^2+a^2=2a^2-2(16-8\sqrt 3)a+(16-8\sqrt 3)^2 \Rightarrow a={2(16-8\sqrt 3)\over 4}=8-4\sqrt 3\\，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答： $$\cases{最短:9-6-2+1=2\\ 最長:9+6+2-1=16} \Rightarrow 共有16-2+1=15種選擇，但長度2,6,9已經被用掉了\\，剩下15-3=\bbox[red,2pt]{12}種不同選擇$$

解答： $$丙獲勝\Rightarrow b\lt a\lt c \Rightarrow (b,a,c,d)=(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,4,2),(2,3,4,1)\\ \Rightarrow 共有4種情形，因此機率為{4\over 4\times 3\times 2} =\bbox[red,2pt]{1\over 6}$$

解答： $$由題意可得甲_n={2^n\over 500}，乙_n=\cases{2,n=4m+1\\6,n=4m+2\\8,n=4m+3\\9,n=4m},m\in \mathbb{N}\\ \cases{甲_k \gt 2\\ 甲_k \gt 6\\ 甲_k \gt 8\\ 甲_k \gt 9} \Rightarrow \cases{{2^k  \over 500} \gt 2\\ {2^k\over 500} \gt 6\\ {2^k\over 500} \gt 8\\ {2^k\over 500} \gt 9} \Rightarrow \cases{2^k \gt 1000 \Rightarrow k\ge 10\\ 2^k \gt 3000 \Rightarrow k\ge 12\\ 2^k \gt 4000 \Rightarrow k\ge 12\\ 2^k \gt 4500 \Rightarrow k\ge 13}，又\cases{乙_{10}=6\\ 乙_{12}=9\\ 乙_{13}=2 } \Rightarrow \cases{甲_{10} \not \gt 乙_{10}   \\甲_{12} \not \gt 乙_{12} \\甲_{13}   \gt 乙_{13} \\}\\ \Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{13}$$

解答： $$四種商品的單價為\;a,b,c,d\;且\;a\gt b\gt c\gt d；\\六種組合的套餐價錢分別為:a+b-10,a+c-10,a+d-10,b+c-10,b+d-10,c+d-10；\\可以明確知道的是\cases{a+b-10=123\\ a+c-10=121 } \Rightarrow \cases{a+b=133 \cdots(1)\\ a+c=131 \cdots(2)}  \\另外b+c與a+d無法確定大小，\\但可確定的是\cases{(b+c-10)+(a+d-10)=117+116 \Rightarrow a+b+c+d=253 \cdots(3)\\ |(a+d)-(b+c)|=117-116=1 \cdots(4)}\\由(1),(2),(3)可知\cases{b=133-a\\ c=131-a\\ d=a-11} \Rightarrow \cases{a+d=2a-11\\ b+c=264-2a} \\\Rightarrow \cases{若a+d \gt b+c \Rightarrow (a+d)-(b+c)=1\\ 若a+d \lt b+c \Rightarrow (b+c)-(a+d)=1} \\ \Rightarrow \cases{2a-11-264+2a=1\\ 264-2a-2a+11=1} \Rightarrow \cases{4a=276 \Rightarrow a=69\\ 4a=274 \Rightarrow a不是整數} \quad \Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{69}$$

解答： $$17=a+b\\ \begin{array}{} a& b&  a\times b &\\\hline 1 & 16 & 16 &\times: (8-2)\lt (16-1)\\ 2 & 15 & 30 & \times: (6-5)\lt (15-2) \\ 3 & 14 & 42 & \times: (7-6)\lt (14-3)\\ 4 & 13 & 52 & \bigcirc\\ 5& 12 & 60& \times: (10-6)\lt (12-5) \\ 6 & 11 & 66 & \bigcirc\\ 7 & 10& 70 & \bigcirc\\ 8 & 9 & 72 & \bigcirc\\\hline \end{array}\\ \Rightarrow 共有\bbox[red,2pt]{4}張符合要求$$

解答： $$先喊a再喊16，與先喊16再喊a的結果是一樣的；原來有7\bigcirc與13\times，喊了16後變成12\bigcirc 8\times，如下表:\\\begin{array}{}座號& 1& 2& 3& 4& 5& 6 & 7& 8 & 9& 10 & 11& 12 & 13 & 14& 15 & 16& 17 & 18& 19 &20\\\hline 原始& \bigcirc & \times& \bigcirc &   \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \times & \times  & \times&   \times& \times &\bigcirc & \times&   \times& \bigcirc & \times &\times& \bigcirc & \times \\ 喊16& \times & \bigcirc & \times  & \times  & \times & \bigcirc  & \bigcirc  & \bigcirc  & \bigcirc  & \bigcirc  & \bigcirc  & \bigcirc  &\times & \bigcirc & \bigcirc &\bigcirc &\times &\times & \bigcirc &\times \\\hline\end{array}\\ 喊了a之後，希望變成13\bigcirc 7\times，也就是找\times比\bigcirc多一個的位置，可選\bbox[red,2pt]{2}號或\bbox[red,2pt]{8}號\\註:公布的答案是8號$$

解答：

$$紅色不相鄰有8種貼法，見上圖；每一種貼法，綠色可以有4種選擇，因此共有8\times 4=\bbox[red,2pt]{32}貼法$$

解答： $$甲=乙\Rightarrow 兩直角\triangle 底邊的高相等，即 m=|-2|=2；\\又邊長=\overline{AB}=\sqrt{(2-(-3))^2+(n-(-2))^2}  \Rightarrow 7^2 = 25+(n+2)^2 \\\Rightarrow n+2=\sqrt{24} \Rightarrow n=2\sqrt 6-2 \Rightarrow m+n=2\sqrt 6-2+2 =\bbox[red,2pt]{2\sqrt 6}$$

解答： $$6、1、6出現在61、62的前3個數字；1-9有9個數字，10-59有50\times 2=100個數字；\\因此1-59有109個數字，而109=3\times 36+1；\\因此第37次擦掉9、6、0，第\bbox[red,2pt]{38}次擦掉6、1、6；$$

解答：

$$見上圖，A在第 \bbox[red,2pt]{2}區塊$$

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