105年北市松山家商教甄-數學詳解

臺北市立松山家商 105 學年度第 1 次教師甄選

第壹部分： 填充題 (佔 64 分) ： 每題答對得 8 分。

1. 下圖 1 堆一層需 1 個積木，圖 2 堆兩層需 4 個積木，圖 3 堆三層需 9 個積木，若依此積木堆疊原則不變，則堆 100 層需要 _______ 個積木才能堆疊完成圖形。

 

$$把一堆積木切作兩塊(如上圖)，一堆是1+2+\cdots + 100，另一堆是1+2+\cdots +99；\\因此需要5050+ 4950 =\bbox[red,2pt]{10000}個積木$$

2. 設小宏， 小霖， 小廷， 小安， …等 8人參加桌球賽，採單淘汰賽，如圖安排賽程，若第一輪比賽小宏和小霖對打，但小廷和小安不對打，則共有_______種賽程排法。

 

$$如上圖，共有24+12=\bbox[red,2pt]{36}種排法$$

3. 設$\triangle ABC$的三邊長為$a、b、c$，且$a、b、c$為方程式$x^3-14x^2+62x-88=0$的三根， 求$\triangle ABC$的面積 = _______

$$a,b,c為x^3-14x^2+62x-88=0的三根\Rightarrow \cases{a+b+c= 14 \\ ab+bc+ca=62 \\ abc=88}\\ 令s=(a+b+c)\div 2=14\div 2=7 \Rightarrow \triangle 面積=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{s(s^3-(a+b+c)s^2+ (ab+bc+ca)s -abc)} =\sqrt{7(7^3-14\cdot 7^2+62\cdot 7-88)} \\ = \sqrt{7\cdot 3} =\bbox[red, 2pt]{\sqrt {21}}$$

4. 已知四邊形 $ABCD$ 內接於一圓，若$\angle ABC=60^\circ，\overline{AB} =10，\overline{BC} =6，\overline{CD} =4$，試求$\overline{AD}$之值 = _______

$$\cos \angle ABC = {\overline{AB}^2+\overline{BC}^2 - \overline{AC}^2 \over 2\times \overline{AB}\times \overline{BC}} \Rightarrow \cos 60^\circ = {100+36-\overline{AC}^2 \over 2\times 10\times 6} \Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{76};\\ 同理，\cos \angle ADC = {\overline{AD}^2+\overline{DC}^2 - \overline{AC}^2 \over 2\times \overline{AD}\times \overline{DC}} \Rightarrow \cos 120^\circ =-{1\over 2} ={\overline{AD}^2+4^2 - 76 \over 8\times \overline{AD} } \\ \Rightarrow \overline{AD} =\bbox[red, 2pt]{6}$$

5. 設$A(2,5)、B(5,1)、C(3,7)，P$ 為$\overline{BC}$上一點， 若$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AB}$上之正射影為$\left( {6\over 25}, {8\over 25}\right)$，則$P$之坐標為 _______

$$\cases{A(2,5)\\ B(5,1)\\ C(3,7)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB} =(3,-4)\\ \overleftrightarrow{BC}: y=-3x+16 } \Rightarrow P(t,-3t+16) \Rightarrow \overrightarrow{AP}=(t-2,-3t+11) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AP}在\overrightarrow{AB} 的正射影=\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB}\times {\overrightarrow{AB}\over |\overline{AB}|^2} = {15t-50\over 25}(3,-4) = \left({6\over 25},-{8\over 25} \right) \\ \Rightarrow \cases{45t-150=6 \\ -60t+200 =-8} \Rightarrow t={52\over 15} \Rightarrow P({52\over 15},{52\over 15}\cdot(-3)+16) =\bbox[red, 2pt]{\left( {52\over 15},{28\over 5}\right)}$$

6. 在以 O 為原點的直角坐標平面上， 區域 D 由不等式組$\cases{4x-y \le 7\\ 3x-4y+11 \ge 0\\ x+3y \ge 5}$ 所決定，若$M(x,y)$ 為$D$上的動點， 點$A$的坐標為$(4,3)$，則$z=\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OA}$的最大值為 _______

$$區域D之頂點為\cases{P(3,5)\\ Q(2,1)\\ R(-1,2)}，並令f(x,y)= \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OA}=4x+3y \Rightarrow \cases{f(P)=27\\ f(Q)=11\\ f(R)=2} \\ \Rightarrow 最大值為\bbox[red, 2pt]{27}$$

7. 設二次函數$f(x)= ax^2-12x+(2-a)(a\ne 0)$ 的圖形是恰經過四個象限開口向上的拋物線﹐則試求出整數 $a$ 最小值時，此拋物線的焦點坐標為 _______

$$開口向上\Rightarrow a\gt 0；又圖形經過四個象限，即 \alpha \beta=2-a \lt 0，其中\alpha ,\beta 為f(x)=0之相異實根；\\因此a\gt 2 \Rightarrow a=3 \Rightarrow y=f(x)=3x^2-12x-1=3(x-2)^2-13 \Rightarrow (x-2)^2=4\cdot {1\over 12}(y+13)\\ \Rightarrow 頂點坐標為(2,-13) \Rightarrow 焦點坐標為(2,-13+{1\over 12})= \bbox[red, 2pt]{\left(2,-{155\over 12}\right)}$$

8. 設$x、y$ 非負整數，$x+2y$是 5 的倍數，$x+y$是 3 的倍數，且 $2x+y \ge 99$，則 $7x+5y$的最小值為 _______

$$\cases{x+2y=5m \\ x+y=3n} ,m,n為非負整數 \Rightarrow \cases{x=-5m+6n\\ y=5m-3n} \Rightarrow \cases{2x+y=-5m+9n \ge 99  \\ 7x+5y= -10m+27n}\\ 依題意在條件\cases{x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y \ge 99}成立下，求7x+5y的最小值；\\也就是在區域D:\cases{-5m+6n \ge 0\\ 5m-3n\ge 0\\ -5m+9n\ge 99}中，求f(m,n)=-10m+27n的最小值\\ \Rightarrow (m,n)=(11,18),(12,18),(12,19)... \Rightarrow \cases{f(11,18)=376 \\ f(12,18)=366\\ f(12,19)=393} \Rightarrow 最小值為\bbox[red,2pt]{366}$$

第貳部份 :計算證明題 (佔 36 分) 每題 12 分

1. 在某城市的一個郵局內，郵務士的每日分信量與日俱增， 假設某一郵務士在擔任分信工作 $t$ 日後，分信量$Q(t)$ 是由函數 $Q(t)=a+b({5\over 2})^{-0.5t}$所決定的（其中$a ,b$為常數）。若一新手剛開始工作時（ $t=0$），一天的分信量為 6000，工作 4 天後的分信量為 9360， 若此新手工作 N 天後（其中 N 為正整數），分信量會超過 9500，則 N 最小為何？($\log 2\approx 0.3010$) = _______

$$Q(t)=a+b\left({5\over 2}\right)^{-0.5t} \Rightarrow \cases{Q(0) =a+b = 6000 \\Q(4) =a+{4\over 25}b= 9360} \Rightarrow \cases{a= 10000\\ b=-4000}\\ Q(N)=a+b\left({5\over 2}\right)^{-0.5N} =10000-4000\left({5\over 2}\right)^{-0.5N}\gt 9500 \Rightarrow {1\over 8} \gt \left({5\over 2}\right)^{-0.5N} \\ \Rightarrow \log {1\over 8} \gt \log \left({5\over 2}\right)^{-0.5N} \Rightarrow -3\log 2 \gt (-0.5N)(1-2\log 2) \Rightarrow {-3\log 2\over 1-2\log 2} \gt -0.5N \\ \Rightarrow N\gt {6\log 2\over 1-2\log 2} \approx {6\times 0.301\over 1-2\times 0.301} \approx 4.54 \Rightarrow N的最小值=\bbox[red, 2pt]{5}$$

2. 已知 $x,y$ 滿足下列條件$\cases{x+y=4\\ (x^2+y^2)(x^3+y^3)= 280}$ ， 試求序對$(x,y)$的解。

$$x+y=4 \Rightarrow (x^2+y^2)(x^3+y^3 )=\left((x+y)^2-2xy \right)\left((x+y)^3-3xy(x+y) \right)\\ =(16-2xy)(64-12xy) =280 \Rightarrow (8-xy)(16-3xy)=35 \\ \Rightarrow 3(xy)^2-40(xy)+93=0 \Rightarrow (xy-3)(3xy-31)=0 \Rightarrow \cases{xy=3\\ xy=31/3} \\ \Rightarrow \cases{\cases{x+y=4\\ xy=3} \Rightarrow x,y為\alpha^2-4\alpha+3=0之二根\Rightarrow (x,y)=(1,3),(3,1)\\ \cases{x+y=4\\ xy=31/3} \Rightarrow x,y 為\beta^2-4\beta +{31\over 3}=0之二根\Rightarrow (x,y)= \left(2\pm {\sqrt{57}\over 3}i, 2\mp {\sqrt{57}\over 3}i\right)} \\ \Rightarrow (x,y) =\bbox[red, 2pt]{(1,3),(3,1), \left(2+ {\sqrt{57}\over 3}i, 2- {\sqrt{57}\over 3}i\right),\left(2- {\sqrt{57}\over 3}i, 2+ {\sqrt{57}\over 3}i\right)}$$

3. 有一個正整數 $n$，已知 $n^2$ 可以表示為兩個連續正整數的立方差，且 $2n+287$ 是一個正整數完全平方，求 $n$ 的值。

 

↓學校公布的解答

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解題僅供參考，其他教甄試題及詳解