110年嘉義縣竹崎高中及永慶高中特招-數學詳解

嘉義縣立竹崎高級中學暨永慶高級中學

110 學年度高級中等學校特色招生考試

第一部分：選擇題

解答：$$對稱y軸 \Rightarrow f(x)=f(-x)\\(A)\times: \cases{f(x)=x+1\\f(-x)=-x+1} \Rightarrow f(x)\ne f(-x)\\ (B)\bigcirc: f(x)=2=f(-x)\\ (C)\bigcirc: f(x)=x^2+1=f(-x)\\ (D)\bigcirc: f(x)=2x^2=f(-x)\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：

$$對同弧的圓周角相等\Rightarrow \angle DCE =\angle DBE=30^\circ (對同弧\overset{\Large{\frown}}{DE});\\ 又\angle BDE=\angle DCE +\angle A \Rightarrow 30^\circ = 10^\circ +\angle A \Rightarrow \angle A=20^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$兩個小\triangle 合併邊就是大\triangle 的中線，即對稱軸，因此小\triangle 對應角之和=180^\circ，原角必為直角\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$影片由原來的2800MB加上後來的1200MB，共有4000MB，占全部8000MB的一半，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$利用長除法(見上圖)可得餘式為14x+7，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$只要檢視個位數的運算，3^2+6^2個位數為5，而7^2的個位數為9，因此33^2+56^2\ne 67^2\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$f(f(f(3)))=f(f(2))= f(4)=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{f(0)\gt 0 \Rightarrow y截距=b\gt 0\\ f(2020)\gt f(2021)\Rightarrow f遞減，斜率為負值}\qquad \qquad   \Rightarrow 直線為左上右下，且f(0)\gt 0 \\\Rightarrow 直線不過第三象限，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$假設剩下的車廂編號為1-6，並假設該員工要開1號車廂，可能的情形有四種如下\\ \begin{array}{} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline \times & \bigcirc & \times & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc \\    \bigcirc & \times  & \bigcirc &\times  & \bigcirc & \bigcirc \\   \bigcirc  & \bigcirc & \times  & \bigcirc &\times  & \bigcirc\\ \bigcirc  & \bigcirc & \bigcirc & \times  & \bigcirc & \bigcirc \\\hline\end{array}，其中\cases{\times: 車廂有人 \\ \bigcirc:空車廂}\quad；\\ 只有第一種1號車廂有人，其它三種1號車廂是空的，機率為{3\over 4}={75\%}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$((3\oplus1)\odot 2)\oplus 4 = (4 \odot 2)\oplus 4 = 3\oplus 4= 2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$2025=45^2 \Rightarrow \sqrt{\sqrt{2025}} =\sqrt{45}；又6^2\lt 45 \lt 7^2，因此\sqrt{45}的整數部分為6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$1TB= 2^{10}GB = 2^{10}\times 2^{10} MB=2^{20}MB= 2^{20}\times 2^{10}KB=2^{30}KB =2^{30}\times 2^{10}B =2^{40}B\\ 由於2^{10}\approx 1000，因此2^{40}\approx 1000,000,000,000，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{a_1a_2a_3a_4與0000的漢明距離=1 \Rightarrow a_1a_2a_3a_4有1個1,3個0 \\ b_1b_2b_3b_4與0000的漢明距離=3 \Rightarrow b_1b_2b_3b_4 有3個1,1個0} \\ 例\cases{a_1a_2a_3a_4=0100\\ b_1b_2b_3b_4=0111} \Rightarrow 兩者漢 明距離=2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{劣豆每斤2k元\\ 阿拉豆每斤5k元} \Rightarrow \cases{4000元的劣豆相當於4000/2k=2000/k斤\\ 2000元的阿拉豆相當於2000/5k =400/k斤} \\ \Rightarrow 兩豆混合後共({2000\over k}+{400\over k})={2400\over k}斤，一斤賣30元\\，共賣{2400\over k}\times 30={72000\over k}元 =4000+2000 =6000元\\ \Rightarrow k={72000\over 6000}=12 \Rightarrow 劣豆單價=2\times 12=24元，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$八個圓周長:\sum_{k=0}^72\pi (20+40k) =40\pi\sum_{k=0}^7 (1+2k)=40\pi(8+56)=2560\pi\\ 再加\overline{AB}=300-20=280，其中\cases{A(-300,0)\\ B(-20,0)}，總共2560\pi+280，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

第二部分：選填題

解答：

$$\theta=180^\circ-130^\circ=50^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(C)(A)}$$

解答：$$在第一週，只有甲有確診人數，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$在前五週，丙的確診人數最少，但在第七週之後卻是最多，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$重疊區域為一個正六邊形，且邊長=\overline{AB}=6 \Rightarrow 面積=6 \times {\sqrt 3\over 4}\times 6^2 =54\sqrt 3，故選\bbox[red,2pt]{((C)(B))}$$

解答：$$\cases{鋁罐長度a\\ 寶特瓶長度b} \Rightarrow 4a+2b=2a+5b \Rightarrow 2a=3b \Rightarrow a:b=3:2，故選\bbox[red,2pt]{(B)(A)}$$

解答：$${紅色+黃色\over 全部} ={3+3\over 3+3+5+4} ={6\over 15}={2\over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(A)(C)}$$

解答：$$84-3\times =(8-4)\times 3=12，故選\bbox[red,2pt]{(A)(B)}$$

解答：$$總和為質數的情形:1+6,2+9,3+8,4+7,4+9,5+6,5+8,共7種情形，\\機率為{7\over 5\times 4}={35\over 100}=35\%，故選\bbox[red,2pt]{(B)(C)}$$

解答：$$步道長a公尺\Rightarrow \cases{標示牌有a/100+1個\\ 路燈有a/60+1盞} \Rightarrow {a\over 100}+1+{a\over 60}+1=98 \Rightarrow {8a\over 300}=96 \Rightarrow a=3600\\ \Rightarrow \cases{標示牌有a/100+1=37個\\ 路燈有a/60+1=61盞} \Rightarrow 兩者相差61-37=24，故選\bbox[red,2pt]{(B)(C)}$$

解答：$$假設檔案大小為100，依題意可得下表:\\\begin{array}{} 成員& 速度等級 & 速度 &分配檔案大小&傳輸時間\\\hline 甲& \text{wifi6} & 12k&40 & 40/12k\\ & & & 100& 100/12k\\\hdashline 乙& \text{wifi5} & 3k & 30 & 30/3k\\ 丙 & \text{wifi4} & k & 30 & 30/k\\\hline\end{array}\\ 因此由甲一人全部上傳需時{100\over 12k}，\\而三人 上傳分配的檔案需時為 40/12k+30/3k+30/k=130/3k；\\ \Rightarrow {100/12k \over 130/3k} ={10\over 52}={5\over 26}，故選\bbox[red,2pt]{(A)(C)}$$

解答：

$$\angle A'=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-52^\circ-106^\circ=22^\circ，又\angle A=\angle A'=22^\circ；\\\overline{AE}\parallel \overline{BC} \Rightarrow \angle DFE=\angle B=52^\circ = \angle A+\angle ADB = 22^\circ+\angle ADB \\\Rightarrow \angle ADB=52^\circ-22^\circ=30^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(C)(A)}$$

========================= END =============================

解題僅供參考，其他特招試題及詳解