國立嘉義高級中學 110 學年度第 1 次教師甄選
一、 填充題(共 10 題, 每題 8 分,共 80 分)
解答:利用排容原理:6!(1−12!+13!−14!+15!−16!)=720×91144=455⇒6!−455=265解答:1314588=22×3×11×23×433⇒N=(1+2+22)(1+3)(1+11)(1+23)(1+433)=7×4×12×24×434=28×32×72×31
解答:令{f(a,b,c)=abcg(a,b,c)=a+b2+c3−11及f=λg⇒{∂∂af=λ∂∂ag∂∂bf=λ∂∂bg∂∂cf=λ∂∂cg⇒{bc=λ⋯(1)ac=2bλ⋯(2)ab=3c2λ⋯(3)則{(1)/(2)(1)/(3)⇒{b/a=1/2bc/a=1/3c2⇒{a=2b2a=3c3⇒2b2=3c3⇒b2=32c3將{a=3c3b2=3c3/2代入g(a,b,c)=0⇒c3=2⇒b2=3⇒a=6⇒abc=6⋅√3⋅3√2=24/3⋅33/2
解答:1,4的中間值是52,而2,3的中間值也是52,兩者相等;因此可取f(x)=(x−52)2⇒f最低為2次
解答:
假設樓頂為P(0,0,h),O為原點,依題意{∠OAP=30∘⇒¯OA=√3h∠OBP=60∘⇒¯OB=h/√3∠OCP=45∘⇒¯OC=h⇒{cos∠ABO=h2/3+2500−3h2100h/√3cos∠OBC=h2/3+2500−h2100h/√3,由於∠ABO+∠OBC=180∘⇒h2/3+2500−3h2=−(h2/3+2500−h2)⇒h2=1500⇒h=10√15
令{¯AF=a¯FB=b,則依Ceva 定理:3⋅3⋅a2⋅4⋅b=1⇒ab=89
解答:如果你有背log7=0.845⇒30log7=25.35⇒730為25+1=26位數否則改用log7≈(log6+log8)÷2=(4log2+log3)÷2=(4×0.301+0.4771)÷2≈0.84⇒0.84×30=25.2,答案也是相同的;也可以730=4915⇒4815<730<5015⇒15log48<log730<15log50由於{15log48=15(4log2+log3)=15(4×0.301+0.4771)=25.216515log50=15(2−log2)=15(2−0.301)=25.485⇒25.2165<log730<25.485⇒答案也是相同的;
解答:an+2=2an+1+3an+1⇒an+2+14=2(an+1+14)+3(an+14)⇒bn+2=2bn+1+3bn,其中{bn=an+1/4b0=a0+1/4=5/4b1=a1+1/4=9/4⇒λ2−2λ−3=0⇒(λ−3)(λ+1)=0⇒λ=3,−1⇒bn=C1⋅3n+C2⋅(−1)n,其中C1及C2為常數由於{b1=9/4=3C1−C2b0=5/4=C1+C2⇒{C1=7/8C2=3/8⇒bn=78⋅3n+38⋅(−1)n⇒b50=78⋅350+38⇒a50=78⋅350+38−14=78⋅350+18
解答:A2=A⇒A的特徵值(eigenvalue) 不是0就是1a2+b2+c2+d2=tr(AAT)≥tr(A2)=tr(A)=所有特徵值的和,可能是0,1,2(∵A為2×2)若a2+b2+c2+d2=0,則a=b=c=d=0,即A=0(不合題意)因此最小值=1
解答:切點P∈Γ:y=x2+x+1⇒P(t,t2+t+1)⇒過P之切線L斜率m=y′(t)=2t+1又切線過A(1,−2),因此L:y=(2t+1)(x−1)−2;P∈L⇒t2+t+1=(2t+1)(t−1)−2⇒t2−2t−4=0⇒t=1±√5代入P可得二切點{B(1+√5,8+3√5)C(1−√5,8−3√5)⇒{→AB=(√5,10+3√5)→AC=(−√5,10−3√5)⇒△ABC=12‖√510+3√5−√510−3√5‖=12×20√5=10√5
解答:
解答:an+2=2an+1+3an+1⇒an+2+14=2(an+1+14)+3(an+14)⇒bn+2=2bn+1+3bn,其中{bn=an+1/4b0=a0+1/4=5/4b1=a1+1/4=9/4⇒λ2−2λ−3=0⇒(λ−3)(λ+1)=0⇒λ=3,−1⇒bn=C1⋅3n+C2⋅(−1)n,其中C1及C2為常數由於{b1=9/4=3C1−C2b0=5/4=C1+C2⇒{C1=7/8C2=3/8⇒bn=78⋅3n+38⋅(−1)n⇒b50=78⋅350+38⇒a50=78⋅350+38−14=78⋅350+18
解答:A2=A⇒A的特徵值(eigenvalue) 不是0就是1a2+b2+c2+d2=tr(AAT)≥tr(A2)=tr(A)=所有特徵值的和,可能是0,1,2(∵A為2×2)若a2+b2+c2+d2=0,則a=b=c=d=0,即A=0(不合題意)因此最小值=1
解答:切點P∈Γ:y=x2+x+1⇒P(t,t2+t+1)⇒過P之切線L斜率m=y′(t)=2t+1又切線過A(1,−2),因此L:y=(2t+1)(x−1)−2;P∈L⇒t2+t+1=(2t+1)(t−1)−2⇒t2−2t−4=0⇒t=1±√5代入P可得二切點{B(1+√5,8+3√5)C(1−√5,8−3√5)⇒{→AB=(√5,10+3√5)→AC=(−√5,10−3√5)⇒△ABC=12‖√510+3√5−√510−3√5‖=12×20√5=10√5
二、 計算證明題(共 2 題,每題 10 分,共 20 分)
解答:假設x=√2+√3+√5是有理數,則(x−√5)2=(√2+√3)2⇒x2=2(√6+√5x)⇒x4=4(6+5x2+2√30x)⇒14x4−6−5x22x=√30⇒有理數=無理數,矛盾,因此√2+√3+√5不是有理數,故得證解答:
(1)令{甲得1票:向上走一步乙得1票:向右走一步⇒Pm,n:從原點O(0,0),走格子點至P(n,m)不經過(a,a)的機率m個上、1個右的排列數為(m+1)!m!=m+1,其中{開頭為右的數列有1個開頭為上右的數列也只有1個,因此符合不經過(a,a)的數列有m+1−2=m−1個⇒Pm,1=m−1m+1;m個上、2個右的排列數為(m+2)!m!2!=(m+2)(m+1)2,其中{開頭為右的數列有m+1個開頭為上右的數列有m個開頭為上上右右的數列有1個,因此符合不經過(a,a)的數列有(m+2)(m+1)2−(m+1)−m−1=(m+1)(m−2)2個⇒Pm,2=m−2m+2;(2)從(0,0)至(n,m)的方法數=從(0,0)至(n−1,m)的方法數+從(0,0)至(n,m−1)的方法數因此Pm,n=(m+n−1)!(m−1)!n!Pm−1,n+(m+n−1)!m!(n−1)!Pm,n−1(m+n)!m!n!=mm+nPm−1,n+nm+nPm,n−1(3)由(1)可猜Pm,n=m−nm+n,m≥n利用歸納法,令k=m+n,當k=2時,{m=2,n=0⇒P2,0=2−02+0=1m=n=1⇒P1,1=1−11+1=0,顯然成立;假設k=N時亦成立;當k=N+1時,Pm,n=mm+nPm−1,n+nm+nPm,n−1=mm+n⋅m−n−1m+n−1+nm+n⋅m−n+1m+n−1=m2−n2−m+n(m+n)(m+n−1)=(m−n)(m+n−1)(m+n)(m+n−1)=m−nm+n亦成立,故得證
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