102 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試甄試類(群)組別:大學組-數學甲
單選題,共 20 題,每題 5 分
解答:{(A)60∘=π3⇒rθ=10⋅π3=10π3>10(B)rθ=5⋅2=10(C)rθ=π⋅π=π2<10(D)rθ=30π⋅110=3π<10⇒10π3最大,故選(A)解答:{抽中1黑1黃的次數:C11C21=2抽中1黃1白的次數:C21C31=6抽中1黑1白的次數:C11C31=3⇒兩球不同色的機率=(2+6+3)/C62=11/15,故選(C)
解答:只需考慮x2,x及常數項,也就是(x2+2x)(7x5+√2x4−x3+3x2−3x+2)(√3x3+x+1)化簡→(x2+2x)(3x2−3x+2)(x+1)=(x+2)(3x3−3x2+2x)(x+1)化簡→(x+2)(−3x2+2x)(x+1)=(x+2)(−3x3−x2+2x)化簡→(x+2)(−x2+2x),x2係數=2−2=0,故選(A)
解答:→OP⊥→OQ⇒→OP⋅→OQ=0⇒(−4+2t,2+t)⋅(7+t,20−8t)=−6t2+14t+12=0⇒−2(3t+2)(t−3)=0⇒t=3⇒P=(−4+6,2+3)=(2,5),故選(D)
解答:f(ˉz)=¯f(z)⇒f(2+i)=f(¯2−i)=¯f(2−i)=¯1+3i=1−3i⇒(2−i)f(2+i)=(2−i)(1−3i)=−1−7i,故選(D)
解答:→n=→OA×→OB=(1,2,3)×(3,1,4)=5(1,1,−1)⇒平面E:x+y−z=0P在E上⇒6−t−9+2t+15−4t=0⇒t=4,故選(D)
解答:7<r<√(10−5)2+(14−7)2=√74,由於8<√74<9,因此r可以為8,故選(A)
解答:36π7=4π+8π7⇒8π7=π+π7在第三象限⇒tan36π7>0>sin36π7>cos36π7⇒csc36π7<sec36π7<0⇒csc36π7最小,故選(D)
解答:P(X=k)=Cnk/2n⇒54P(X=7)=P(X=8)⇒54Cn7=Cn8⇒5⋅n!7!(n−7)!=4⋅n!(n−8)!8!⇒5n−7=48⇒n=17,故選(C)
解答:{A(5,0)B(4,3)C(1,2)⇒{→u=→AB=(−1,3)→v=→AC=(−4,2)⇒cosA=→u⋅→v|→u||→v|=10√10⋅√20=1√2⇒sinA=1√2,故選(B)
解答:{3x+y+2z=7⋯(1)x+2y−z=6⋯(2)2x−y+5z=1⋯(3)4x+3y+z=13⋯(4)⇒(1)+(2)=(4)⇒刪掉(3)後剩下三式就有無限多解,故選(C)
解答:{P(2,loga2)Q(8,loga8)⇒¯PQ斜率=loga8−loga28−2=loga46=110⇒loga4=35⇒a3/5=4⇒35loga=log4=2×0.301=0.602⇒loga=53×0.602≈1⇒a≈10,故選(D)
解答:{|k−7|<8√2⇒7−8√2<k<7+8√2⇒k=−4,−3,…,18k2−4k−13>0⇒(k−2)2>17⇒k=7,8,⋯或−3,−4,…⇒k=−4,−3,7,8,…,18,共14個整數,故選(B)
解答:¯AB=¯AC⇒∠B=∠C⇒sinB=sinC=13⇒cosB=cosC=2√23⇒sin2B=2sinBcosB=2⋅13⋅2√23=4√29⇒sinA=sin(π−2B)=sin2B=4√29,故選(D)
解答:{O(0,0,0)A(1/2,2/3,3/4)B(1,1,1)⇒{→u=→OA=(1/2,2/3,3/4)→v=→OB=(1,1,1)⇒→n=→u×→v=112(−1,3,−2)⇒E:x−3y+2z=0由於點Q與直線L都在E上,因此d(P,E)=min
解答:M=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix} \Rightarrow \cases{M\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a +2 b\\ c +2 d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix} \\[1ex]M\begin{bmatrix}2\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2a\\ 2c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}} \Rightarrow \cases{a=1/2\\ b=1/4\\ c=1/2 \\d=-1/4} \\ \Rightarrow M= \begin{bmatrix} 1/2 & 1/4\\ 1/2 & -1/4\end{bmatrix} \Rightarrow M^{-1} =\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 & -2 \end{bmatrix},故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答:令\cases{O(0,0)\\ P(-2,7)} \Rightarrow \overleftrightarrow{OP}斜率=-3.5,因此過P的直線L不經第三象限,\\其斜率m需滿足-3.5\le m \le 0 \Rightarrow m=0,-1,-2,-3,共四個整數值,故選\bbox[red,2pt]{(A)}
解答:\cases{出現兩正面,機率為p^2,期望值為100p^2 \\出現兩反面,機率為(1-p)^2,期望值為150(1-p)^2 \\出現一正一反面,機率為2p(1-p),期望值為400p(1-p) } \\ \Rightarrow 期望值= 100p^2+ 150(1-p)^2+400p(1-p) = -150(p^2-{2\over3}p-1) =-150((p-{1\over 3})^2-{10\over 9})\\ \Rightarrow p={1\over 3}有極大值,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答:假設本金a \Rightarrow a(1+0.2)^{10}= a(1+p)^5 = 10000 \Rightarrow (1+0.2)^{10}= (1+p)^5 \\\Rightarrow 1+p=(1+0.2)^2 =1.44 \Rightarrow p=0.44,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解答:z^7 =7 = 7(\cos 2k\pi+i\sin 2k\pi),k\in \mathbb{Z} \Rightarrow z^3= 7^{3/7}(\cos {6k\pi\over 7}+i\sin {6k\pi\over 7}) 在第四象限\\ \Rightarrow {3\pi\over 2}\lt {6k\pi\over 7} \lt 2\pi,取k=2 \Rightarrow z^7=7(\cos 4\pi+i\sin 4\pi) \Rightarrow z=7^{1/7}(\cos {4\pi \over 7}+i\sin {4\pi \over 7}) \\ \Rightarrow {4\pi\over 7}在第二象限,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
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解題僅供參考,其他歷屆試題及詳解
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