104 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試甄試類(群)組別:大學組數學乙
單選題,共 20 題,每題 5 分
解答:f(x)=3x3+x2+x−2⇒{f(−1)=−3+1−1−2=1≠0f(1/3)=1/9+1/9+1/3−2≠0f(2/3)=24/27+4/9+2/3−2=54/27−2=0f(1)=3+1+1−2=3≠0⇒x=2/3為f(x)=0的根,故選(C)
解答:f(1)=f(3)=0⇒f(x)=(x−1)(x−3)(ax+b),再將{f(0)=3f(2)=−3代入f(x)⇒{3b=3−(2a+b)=−3⇒{a=1b=1⇒f(x)=(x−1)(x−3)(x+1)⇒x2的係數=−1−3+1=−3,故選(C)
解答:{A(2,log2)B(a,10a)L:y−x=0⇒{¯AB斜率m1=10a−log2a−2L:斜率m2=1;由於L⊥¯AB⇒m1m2=−1⇒10a−log2a−2=−1⇒10a−log2+a−2=0;令f(a)=10a−log2+a−2⇒{f(0)=−1−log2≠0f(1)=9−log2≠0f(log(3/2))=log(3/4)−1/2≠0f(log2)=2−log2+log2−2=0,故選(D)
解答:(A)log150=log(1002×3)=2−log2+log3=2−0.301+0.4771=2.1761(B)√5≈2.236(C)a=100.3⇒loga=0.3<log2⇒a<2(D)15/7≈2.14因此√5最大,故選(B)
解答:{三個1、二個3、一個4任意排列有6!3!2!=60種排法三個1、二個3任意排列有5!3!2!=10種排法⇒任意排列−4開頭−4結尾=60−10−10=40,故選(B)
解答:第2,3次出現(正,反),(反正)或(正,正)就可得獎,機率為0.4⋅0.6+0.6⋅0.4+0.4⋅0.4=0.64,故選(D)
解答:{已感染:p{90%被驗出已感染10%被驗出未感染未感染:1−p{10%被驗已感染90%被驗出未感染⇒被驗出已感染=0.9p+0.1(1−p)=0.26⇒0.8p=0.16⇒p=0.2=20%,故選(C)
解答:xi000011111111yi111111110000x2i000011111111y2i111111110000xiyi000011110000⇒{∑xi=∑yi=∑x2i=∑y2i=8∑xiyi=4⇒r=∑xiyi−(∑xi)(∑yi)/n√∑x2i−(∑xi)2/n⋅√∑y2i−(∑yi)2/n=4−8⋅8/128−82/12=−4/38/3=−12,故選(D)
解答:新的平均值a′=(36a+x37)÷37⇒新的標準差b′=√b2+a2+x237−(a′)2;其他不一定求得出,故選(B)
解答:{L1:y=√3x,斜率m1=√3L2:x=ky+2,斜率m2=1/k⇒{L1與x軸交於原點OL2與x軸交於AL1與L2交於B,依題意△OAB為正三角形⇒∠AOB=∠ABO⇒m1=−m2⇒1k=−√3⇒k=−√3/3,故選(C)
解答:假設{生產A產品x單位生產B產品y單位⇒{需要甲原料2x+4y單位需要乙原料x+4y單位需要丙原料x+y單位利潤為2x+5y;因此{0≤2x+4y≤720≤x+4y≤600≤x+y≤30所圍封閉區域頂點坐標{A(30,0)B(24,6)C(12,12)D(0,15)代入f(x,y)=2x+5y⇒{f(A)=60f(B)=78f(C)=84f(D)=75⇒獲得最大利潤84時,需要{甲原料:2x+4y=72單位,無剩料乙原料:x+4y=60單位,無剩料丙原料:x+y=24單位,有剩料⇒丙原料有剩餘,故選(C)
解答:{→u=(1,1)→v=(−1,1)→n=(x,y)=a→u+b→v⇒{|→u|=√2|→v|=√2→u⋅→v=0⇒→u⊥→v⇒|→n|2=|a→u|2+|b→v|2(畢氏定理)⇒x2+y2=2a2+2b2⇒a2+b2=x2+y22,故選(A)
解答:假設長方形{短邊長為a長邊長為b⇒{cos30∘=22+22−a22⋅2⋅2⇒√32=8−a28⇒a2=8−4√3cos150∘=22+22−b22⋅2⋅2⇒−√32=8−b28⇒b2=8+4√3⇒長方形面積=ab=√(8−4√3)(8+4√3)=√64−48=4,故選(B)
解答:(√3)2=|→u+→v|2=|→u|2+2→u⋅→v+|→v|2=1+2→u⋅→v+1⇒→u⋅→v=1/2⇒|→u−→v|2=(→u−→v)⋅(→u−→v)=|→u|2−2→u⋅→v+|→v|2=1−1+1=1⇒|→u−→v|=1,故選(A)
解答:[111301120111]⇒{x+y+z=3⋯(1)y+z=2⋯(2)y+z=1⋯(3),由(2)及(3)可知:無解,故選(C)
解答:{A組:P(5,4),Q(8,3)B組:R(3,3),S(7,2)⇒{LP=過P且斜率為−3/4的直線:y=−3x/4+31/4LQ=過Q且斜率為−3/4的直線:y=−3x/4+9LR=過R且斜率為−3/4的直線:y=−3x/4+21/4LS=過S且斜率為−3/4的直線:y=−3x/4+29/4⇒d(LP,LS)=25=0.4<min{d(LP,LR),d(LQ,LR),d(LQ,LS)},故選(D)
解答:A=[abcd]=[ab1−a1−b]⇒A2=[a2+b(1−a)ab+b(1−b)a(1−a)+(1−a)(1−b)b(1−a)+(1−b)2]=[0.280.240.720.76]⇒{a2+b(1−a)=0.28ab+b(1−b)=0.24⇒a2+b(1−a)=ab+b(1−b)+0.04⇒a2−2ab+b2=0.04⇒(a−b)2=0.04⇒a−b=0.2(−0.2違反a>b)⇒b=a−0.2⇒a2+(a−0.2)(1−a)=0.28⇒1.2a=0.48⇒a=0.4,故選(B)
解答:顧客與機器各有3種出法,共9種情形,其中3種顧客贏、3種平手、3種顧客輸,因此期望值為(2+1−1)×3/9=6/9=2/3,故選(A)
解答:假設出現正面a次、反面b次的期望值為E(a,b),其中a+b=5;由於E(a,b)=−E(b,a),1≤a,b≤4,因此只需考慮E(5,0)與E(0,5);{E(5,0)=820/25E(0,5)=−500/25⇒E(5,0)+E(0,5)=320/32=10,故選(B)
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解題僅供參考,其他歷屆試題及詳解
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