111年專科學力鑑定-初級統計詳解

教育部 111 年自學進修專科學校學力鑑定考試

專業科目(一)：初級統計

解答： $$中位數=眾數=0，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$相當於在100人中，由小至大排名第40，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$同一母體(非兩個不同母體)作前後測，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$用名稱作分類，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$顯然該報告推論某品牌汽車發生故障的使用里程數，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$母體是研究的對象，樣本是母體的一部分，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$P(0\lt Z\lt 1.96)= P(Z\lt 1.96)-P(Z\lt 0) =(1-P(Z\gt 1.96))-0.5 = 0.5-P(Z\gt 1.96)\\ =0.5-0.025 = 0.475，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $${160-70-33-27\over 160}={30\over 160} =0.1875，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$相關係數線性相關係，並不代表兩變數的獨立性，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$假設X代表一公升汽油行駛的里程數，此題在於檢定P(X\gt 30)的正確性，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$莖葉圖常見的作法(0-100排列):將十位數字為9的數字排在最上一列、十位數字為8的\\排在第二列,\dots,十位數字為0的排在最下一列；每一列再由小到大排列；故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$時數不一定是整數，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$「通數」可以作加減乘除，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$本題的評分無法作加減(兩個好相加變一個不好)，只能排序，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$每題答對機率p={1\over 4},答錯機率=1-p={3\over 4} \Rightarrow 答對5題機率=C^{10}_5 p^5(1-p)^5 = {10!\over 5!5!} ({1\over 4} \times {3\over 4})^5 \\=252 \times ({3\over 16})^5= 0.0584，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$由小到大排列:2.6,3.4,4.1,5.7,10.4，排第三位為4.1，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $${3.3-3\over 0.6/\sqrt{60}} =0.5\times \sqrt{60}= 3.873，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$該樣本期望值=母體平均數，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$P(X\lt 2) = P(Z\lt {2-4\over \sqrt 4}) =P(Z\lt -1) = P(Z\gt 1)=0.1587，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$四個地區\Rightarrow 地區自由度=3 \Rightarrow 空格(1)= 36530.6/3= 12176.9，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$n=16為小樣本，且去年母體變異數未知，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$(A)\times: 信賴區間越窄\\(B)\times: 樣本數少則信賴區間越寬\\ (C)\bigcirc: 信賴水準與信賴區間呈正比\\ (D)\times: 理由同(C)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：

$$卡方圖形不對稱，且只與自由度有關，如上圖，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$1小時有4通電話相當於30分鐘有2通電話(\lambda=2) \Rightarrow P(X=0)={1\over 0!}e^{-2}2^0  =e^{-2}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$兩母體變異數相等檢定，檢定統計量F={s_1^2 \over s_2^2} ={0.653^2 \over 0.627^2} =1.0847，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$觀測值都一樣代表平均數=觀測值，因此標準差=0，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$總平均\bar {\bar x} ={24.6+15.2+ 18.4\over 3} =19.4 \Rightarrow SSB = 5((24.6-19.4)^2+(15.2-19.4)^2 +(18.4-19.4)^2)\\ =5 (27.04+17.64+ 1)= 5\times 45.68= 228.4，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $${P(夫婦同時看)\over P(太太看)}={P(夫婦同時看)\over 0.4}=0.8 \Rightarrow P(夫婦同時看)=0.4\times 0.8=0.32，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$極端值不影響排名，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$搭飛機次數由小至大:4,4,5,6,7,9,10\\ \cases{7\times {1\over 4} =1.75 \Rightarrow Q_1=排名第2 =4 \\ 7\times {3\over 4}=5.25 \Rightarrow Q_3=排名第6=9} \Rightarrow IQR=Q_3-Q_1= \bbox[blue,2pt]5，公布的答案為\bbox[blue, 2pt]{(A)}$$

解答： $$變異係數={\sigma \over \mu} ={15\over 60}=0.25，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$p值是在H_0為真時，不是H_a為真時，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$分布為對稱，因此中位數=平均數，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$拒絕虛無假設，即有足夠證據拒絕平均年齡=50.2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$平均一小時有3部車遭竊\Rightarrow \lambda=3 \Rightarrow P(X=2)={1\over 2!}e^{-\lambda} \lambda^2 ={9\over 2}e^{-3} =4.5\times 0.0498 = 0.2241\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$C^4_2 \cdot 0.4^2\cdot (1-0.4)^4 =6\cdot 0.16\cdot 0.6^4 = 0.31104，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $${1\over 6}(15-3+15-6+15-9)= {1\over 6}\times 27=4.5，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$婚姻狀況只有已婚、未婚、離婚，等少數狀況，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$這是超機何分布(\text{hypergeometric prob. dist. )} \Rightarrow f(x)={r \choose x} {N-r \choose n-x}/{N\choose n} \\ \Rightarrow f(0)={{2\choose 0}{20-2\choose 10-0} \over {20\choose 10}} =0.2368,其中\cases{N:筆電總數\\ n:出貨數(想成10台一箱)\\ r:瑕疵總數\\ x:出貨瑕疵數}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$小樣本且兩母體為常態分佈、變異數未知(已知不同)\\ \Rightarrow 檢定統計量={\bar x_1-\bar x_2\over \sqrt{s_1^2/n_1 +s_2^2/n_2}} ={78.25-72.6\over \sqrt{4.82^2/12 +8.54^2/15}} =2.167，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$n\ge {(z_{\alpha/2})^2 \cdot \sigma^2 \over E^2} ={1.645^2 \cdot 16^2\over 4^2} =43.2964，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$檢定統計量\chi^2 ={(45-50)^2\over 50} +{(55-50)^2\over 50} =1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}，但公布的答案是\bbox[blue, 2pt]{(D)}$$

解答： $$P(Z\gt 1.28)=0.1 =10\% \Rightarrow Z值需大於1.28 \Rightarrow {X-60\over 10} \gt 1.28 \Rightarrow X\gt 72.8，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$Z={70-60\over 10}=1\Rightarrow 0.84\lt Z\lt 1.28 \Rightarrow 70分在B等，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$372/2480= 0.1545，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\bar p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\bar p(1-\bar p)\over   n} =0.15 \pm 1.96 \sqrt{0.15\cdot 0.85\over 2480} =0.15\pm 0.014 =(0.136,0.164)，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\begin{array} {} & X & Y & X^2 & Y^2 & XY \\\hline & 24 & 0 & 576 & 0 & 0 \\ & 29 & 0.1 & 841 & 0.01 & 2.9 \\ & 33 & 0.2 & 1089 & 0.04 & 6.6 \\ &40 & 0.6 & 1600 & 0.36 & 24 \\\hdashline \sum & 126& 0.9 & 4106 & 0.41 & 33.5\end{array} \\ \Rightarrow 相關係數 r={n\sum XY -\sum X\cdot \sum Y\over \sqrt{n\sum X^2 -(\sum X)^2}\cdot \sqrt{n\sum Y^2-(\sum Y)^2}}\\={4\cdot 33.5-126\cdot 0.9 \over \sqrt{4\cdot 4106-126^2} \cdot \sqrt{4\cdot 0.41-0.9^2}} ={20.6 \over 2\sqrt{137}\cdot \sqrt{83}/10} = 0.9659，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$斜率=r\times {\sigma(Y)\over \sigma(X)} =0.9659 \times \sqrt{n\sum Y^2-(\sum Y)^2\over n\sum X^2-(\sum X)^2} =0.9659 \times \sqrt{4\cdot 0.41-0.9^2\over 4\cdot 4106-126^2}\\ =0.9569\times 0.0389 =0.0376，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$全部1600人，其中400人想跳槽，跳槽機率=400/1600=0.25，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$非生產線400人中，有100人想跳槽、300人想留在公司，機率為300/1600= 0.1875，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考，其他歷年試題及詳解