台灣聯合大學系統106學年度學士班轉學生考試
科目:微積分
類組別:A2
甲、填充題:共8題,每題8分,共64分
解答:顯然當x2−1=0時,即x=±1,f不可微;又f(x)=x2−1⇒f′(x)=0⇒x=0因此x=±1,0為臨界點,共3個
解答:limx→0√ax+b−2x=1,當x→0,分母為0,因此分子也必須為0⇒√b−2=0⇒b=4因此limx→0√ax+b−2x⇒limx→0√ax+4−2x=limx→0(√ax+4−2)′(x)′=limx→0a2√ax+4−2=a2=1⇒a=2⇒{a=2b=4
解答:當p(或q)遞增時,x及y同時遞減,因此兩者為complementary(互補)
解答:f(x)=(tanx)2+ex⇒f′(x)=2tanxsec2x+ex⇒f′(0)=1
解答:∫10∫x0e−x2dydx=∫10xe−x2dx=∫1012e−udu(u=x2⇒du=2xdx)=[−12e−u]|10=12(1−e−1)
解答:此題相當於求f(x,y)−150x−250y的最大化,限制條件為150x+250y≤50000因此令{P(x,y)=f(x,y)−150x−250y=100x3/4y1/4−150x−250yg(x,y)=150x+250y−50000⇒{Px=λgxPy=λgyg=0⇒{75x−1/4y1/4−150=150λ25x3/4y−3/4−250=250λ兩式相除→75x−1/4y1/4−15025x3/4y−3/4−250=35⇒375x−1/4y1/4=75x3/4y−3/4⇒5y=x代入g(x,y)⇒750y+250y=50000⇒y=50⇒x=250⇒當{x=250y=50時,能最大化P(x,y)
解答:∫60∫2x/3x√y3+1dydx=∫20∫3y0x√y3+1dxdy=∫20[12x2√y3+1]|3y0=∫2092y2√y3+1dy=∫9132√udu(u=y3+1)=[u3/2]|91=27−1=26
解答:limn→∞|an+1an|=limn→∞|(n+1)!(n+1)n+1⋅nnn!|=limn→∞n+1n⋅(nn+1)n=1e<1⇒絕對收斂
解答:當p(或q)遞增時,x及y同時遞減,因此兩者為complementary(互補)
解答:f(x)=(tanx)2+ex⇒f′(x)=2tanxsec2x+ex⇒f′(0)=1
解答:∫10∫x0e−x2dydx=∫10xe−x2dx=∫1012e−udu(u=x2⇒du=2xdx)=[−12e−u]|10=12(1−e−1)
解答:此題相當於求f(x,y)−150x−250y的最大化,限制條件為150x+250y≤50000因此令{P(x,y)=f(x,y)−150x−250y=100x3/4y1/4−150x−250yg(x,y)=150x+250y−50000⇒{Px=λgxPy=λgyg=0⇒{75x−1/4y1/4−150=150λ25x3/4y−3/4−250=250λ兩式相除→75x−1/4y1/4−15025x3/4y−3/4−250=35⇒375x−1/4y1/4=75x3/4y−3/4⇒5y=x代入g(x,y)⇒750y+250y=50000⇒y=50⇒x=250⇒當{x=250y=50時,能最大化P(x,y)
解答:the average value of f on [0,1] is 2⇒∫10fdx1−0=2⇒∫10fdx=2因此∫10x2f″(x)=[x2f′(x)−2xf(x)]|10+2∫10f(x)dx=f′(1)−2f(1)+2∫10f(x)dx=2−2⋅2+2⋅2=2
乙、計算、證明題:共3題,每題12分,共36分
解答:f(x,y)=e−xy/4⇒{fx=−y4e−xy/4fy=−x4e−xy/4⇒{fxx=y216e−xy/4fxy=−14e−xy/4+xy16e−xy/4fyy=x216e−xy/4⇒d(x,y)=fxxfyy−f2xy因此{fx=0⇒y=0fy=0⇒x=0⇒d(0,0)=−116<0⇒(0,0,f(0,0))為一鞍點,非極值⇒無極值解答:∫60∫2x/3x√y3+1dydx=∫20∫3y0x√y3+1dxdy=∫20[12x2√y3+1]|3y0=∫2092y2√y3+1dy=∫9132√udu(u=y3+1)=[u3/2]|91=27−1=26
解答:limn→∞|an+1an|=limn→∞|(n+1)!(n+1)n+1⋅nnn!|=limn→∞n+1n⋅(nn+1)n=1e<1⇒絕對收斂
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解題僅供參考,其他大學轉學考相關試題及詳解
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