111年專門職業及技術人員高等考試
等 別: 高等考試
類 科: 電子工程技師
科 目: 工程數學( 包括線性代數、 微分方程、 向量分析、 複變函數與機率)

解答:先求齊次解,即y″+y′−2y=0⇒yh=C1e−2t+C2etCase I (0<t<2π):yp=Asint+Bcost⇒y′p=Acost−Bsint⇒y″p=−Asint−Bcost⇒y″p+y′p−2yp=(−3A−B)sint+(A−3B)cost=3sint−cost⇒{−3A−B=3A−3B=−1⇒{A=−1B=0⇒yp=−sint⇒y=yh+yp=C1e−2t+C2et−sint⇒y′=−2C1e−2t+C2et−cost⇒{y(0)=1=C1+C2y′(0)=0=−2C1+C2−1⇒{C1=0C2=1⇒y=et−sintCase II (t>2π):yp=Asin(2t)+Bcos(2t)⇒y′p=2Acos(2t)−2Bsin(2t)⇒y″p=−4Asin(2t)−4Bcos(2t)⇒y″p+y′p−2yp=(−6A−2B)sin(2t)+(2A−6B)cos(2t)=3sin(2t)−cos(2t)⇒{−6A−2B=32A−6B=−1⇒{A=−1/2B=0⇒yp=−12sin(2t)⇒y=yh+yp=C1e−2t+C2et−12sin(2t)⇒y′=−2C1e−2t+C2et−cos(2t)⇒{y(0)=1=C1+C2y′(0)=0=−2C1+C2−1⇒{C1=0C2=1⇒y=et−12sin(2t)⇒{y=et−sint,0<t<2πy=et−12sin(2t),t>2π

解答:{A=[12341111]AB=I2⇒B=[x1x5x2x6x3x7x4x8][123410111101]−r1+r2→r2→[1234100−1−2−3−11]2r2+r1→r1→[10−1−2−120−1−2−3−11]−r2→[10−1−2−1201231−1]⇒{{x1−x3−2x4=−1x2+2x3+34=1⇒取(x1,x2,x3,x4)=(1,−3,2,0){x5−x7−2x8=2x6+2x7+3x8=−1⇒取(x5,x6,x7,x8)=(1,1,−1,0)⇒B=[11−312−100]

解答:(一)令f(z)=(z+1)sinz4⇒f′(z)=sinz+(z+1)cosz4⇒f′(1/2)=sin(1/2)+(3/2)cos(1/2)4⇒∮C(z+1)sinz(2z−1)2dz=∮f(z)(z−1/2)2dz=2πi⋅f′(1/2)=πi(12sin12+34cos12)(二)令f(z)=cosz⇒f′(z)=−sinz⇒f″(z)=−cosz⇒f‴(z)=sinz⇒f[4](z)=cosz⇒f[5](z)=−sinz⇒f[6](z)=−cosz⇒∮coszz7dz=2πi6!⋅f[6](0)=−π360

解答:{σ2X=E[X2]−(E[X])2σ2Y=E[Y2]−(E[Y])2⇒{4=E[X2]−016=E[Y2]−0⇒{E[X2]=4E[Y2]=16又相關係數ρXY=Cov(X,Y)σX⋅σY⇒Cov(X,Y)=−0.25⋅2⋅4=−2=E[XY]−E[X]⋅E[Y]⇒E[XY]=−2−0⇒E[XY]=−2因此E[W]=E[(aX+3Y)2]=E[a2X2+6aXY+9Y2]=a2E[X2]+6aE[XY]+9E[Y2]=4a2−12a+144⇒當a=128=32時,E[W]=135為最小值;答:{(一)a=3/2(二)最小值E[W]=135
========================== END ========================
解題僅供參考,其他國考試題及詳解
沒有留言:
張貼留言