國立羅東高級工業職業學校 112 學年度專任教師甄試
一、填充題(請在答案紙上作答,每一題 5 分,共 100 分):
解答:令{a=3√√2+1b=3√√2−1⇒{a3+b3=2√2ab=1x(x2−3)=x3−3x=(a+b)3−3(a+b)=(a3+b3+3ab(a+b))−3(a+b)=2√2+3(a+b)−3(a+b)=2√2解答:(→a⋅→b|→b|2)→b=(→c⋅→b|→b|2)→b⇒→a⋅→b=→c⋅→b⇒2+3k=4+5k⇒k=−1
解答:sinA:sinB:sinC=3:5:7⇒a:b:c=3:5:7⇒{a=3kb=5kc=7k⇒{cosA=(b2+c2−a2)/2bc=13/14cosB=(a2+c2−b2)/2ac=11/4cosC=(a2+b2−c2)/2ab=−1/2⇒cosA:cosB:cosC=13:11:−7
解答:1+(1+r)+(1+r+r2)+⋯+(1+r+⋯+rn−1)=n∑k=11−rk1−r=11−rn∑k=1(1−rk)=11−r(n−n∑k=1rk)={11−r(n−r−rn+11−r)r≠11+2+⋯+n=n(n+1)2r=1={n1−r−r(1−rn)(1−r)2r≠1n(n+1)2r=1
解答:1−RR+W−RR+Y+RR+W+Y=1−22+3−22+5+22+3+5=1835公式來源
解答:limn→∞(√1+2+⋯+(n+1)−√1+2+⋯+n)=limn→∞((√1+2+⋯+(n+1)−√1+2+⋯+n)(√1+2+⋯+(n+1)+√1+2+⋯+n)(√1+2+⋯+(n+1)+√1+2+⋯+n))=limn→∞(n+1(√(n+1)(n+2)/2+√n(n+1)/2))=11√2+1√2=√22
解答:∞∑k=1kk4+k2+1=∞∑k=1k(k2+k+1)(k2−k+1)=12∞∑k=1(1k2−k+1−1k2+k+1)=12(1−13+13−17+17−113+⋯)=12
解答:旋轉矩陣A=[cos60∘−sin60∘sin60∘cos60∘]=[1/2−√3/2√3/21/2]⇒A[xy]=[x′y′]⇒[xy]=A−1[x′y′]⇒[xy]=[1/2√3/2−√3/21/2][x′y′]=[(x′+√3y′)/2(−√3x′+y′)/2]代回原橢圓方程式⇒(x′+√3y′)212+(−√3x′+y′)216=1⇒13x′2+2√3x′y′+15y′2=48
解答:x29+y24=1⇒2x9+yy′2=0⇒y′=−4x9y假設切點為P(3cosθ,2sinθ)⇒切線斜率y′(3cosθ,2sinθ)=−12cosθ18sinθ=−2cosθ3sinθ⇒切線L:y=−23cotθ(x−3cosθ)+2sinθ⇒L與坐標軸的交點{A(0,2sinθ)B(3cosθ,0)柯西不等式:((2sinθ)2+(3cosθ)2)(sin2θ+cos2θ)≥(2+3)2⇒¯AB2=4sin2θ+9cos2θ≥52⇒¯AB的最小值=5
解答:此題相當於求兩曲線Γ1,Γ2與直線x+y=k(斜率=−1)切點的坐標和令{Γ1:y=(1−x)2⇒y′=−2(1−x)=−1⇒x=1/2⇒y(1/2)=1/4⇒x+y=3/4Γ2:y=1−x2⇒y′=−2x=−1⇒x=1/2⇒y(1/2)=3/4⇒x+y=5/4⇒(M,m)=(54,34)
解答:稜長=a⇒{A(0,0,0)B(a/√2,0,a/√2)C(0,a/√2,a/√2)D(a/√2,a/√2,0)⇒平面E=△BCD:x+y+z=√2a⇒正四面體的高h=d(A,E)=√2a√3=√6a3
解答:兩歪斜線L1,L2的距離d=1⇒稜長=√2⇒體積=√212×(√2)3=13
解答:
假設{↔AB為x軸¯AB中點O為原點⇒{O(0,0)A(−1/2,0)B(1/2,0)C(1√2−12,1√2)=(√2−12,√22)又∠OAP=θ⇒∠AOP=α=180∘−2θ⇒P(−12cosα,−12sinα)因此直線L=↔AC:x−y+12=0⇒d(P,L)=|√22sin(α−45∘)+12|√2d(P,L)最大值=√2+12√2⇒△APC面積最大=√2+14√2=2+√28,此時α=135∘⇒θ=(180∘−135∘)÷2=22.5∘=π8⇒(θ0,M)=(π8,2+√28)
解答:A是三位數⇒A=102+logr,1≤r<10,又B是四位數且logB的尾數是logA的3倍⇒B=103+3logr10000>B>8000⇒4>logB>3+3log2⇒4>3+3logr>3+3log2⇒1>3logr>3log2⇒2<r<3√10≈2.15⇒r=2.1(B必須是整數)⇒A=100×2.1=210
解答:本題送分
解答:sin29∘+sin236∘+2sin9∘sin36∘sin45∘=1−cos18∘2+1−cos72∘2+sin36∘(2sin9∘sin45∘)=1−12(cos18∘+cos72∘)+sin36∘(−cos54∘+cos36∘)=1−12(cos18∘+cos72∘)−sin36∘cos54∘+12sin72∘=1−12(cos18∘+cos72∘)−sin36∘sin36∘+12cos18∘=1−12cos72∘−sin236∘=1−12cos72∘−1−cos72∘2=12
解答:假設六位數中000000−999999,各位數字分別是a1,a2,…,a6⇒a1+a2+⋯+a6≤10⇒共有H710=8008個(含0,但不含1000000,互相抵消),需扣除ai=10的情形,因此共有8008−6=8002個
解答:假設x=100⇒{101=x+1102=x+27242409=7x3+24x2+24x+9因此我們可以取f(x)=(7x3+24x2+24x+9)10=(x+1)(x+2)p(x)+ax+b⇒{f(−1)=210=1024=−a+bf(−2)=1=−2a+b⇒{a=1023b=2047⇒724240910=(101×102)p(100)+1023×100+2047≡104347mod101⋅102而104347=101⋅102⋅10+1327⇒餘數為1327
解答:2x6−3x5+4x4−3x3+4x2−3x+2=(x2+x+1)(x2−x+1)(2x2−3x+2)=0⇒x={(−1±√3i)/2(1±√3i)/2(3±√7i)/4⇒第一象限的根:1+√3i2,3+√7i4
解答:本題送分
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解答:A是三位數⇒A=102+logr,1≤r<10,又B是四位數且logB的尾數是logA的3倍⇒B=103+3logr10000>B>8000⇒4>logB>3+3log2⇒4>3+3logr>3+3log2⇒1>3logr>3log2⇒2<r<3√10≈2.15⇒r=2.1(B必須是整數)⇒A=100×2.1=210
解答:本題送分
解答:sin29∘+sin236∘+2sin9∘sin36∘sin45∘=1−cos18∘2+1−cos72∘2+sin36∘(2sin9∘sin45∘)=1−12(cos18∘+cos72∘)+sin36∘(−cos54∘+cos36∘)=1−12(cos18∘+cos72∘)−sin36∘cos54∘+12sin72∘=1−12(cos18∘+cos72∘)−sin36∘sin36∘+12cos18∘=1−12cos72∘−sin236∘=1−12cos72∘−1−cos72∘2=12
解答:假設六位數中000000−999999,各位數字分別是a1,a2,…,a6⇒a1+a2+⋯+a6≤10⇒共有H710=8008個(含0,但不含1000000,互相抵消),需扣除ai=10的情形,因此共有8008−6=8002個
解答:假設x=100⇒{101=x+1102=x+27242409=7x3+24x2+24x+9因此我們可以取f(x)=(7x3+24x2+24x+9)10=(x+1)(x+2)p(x)+ax+b⇒{f(−1)=210=1024=−a+bf(−2)=1=−2a+b⇒{a=1023b=2047⇒724240910=(101×102)p(100)+1023×100+2047≡104347mod101⋅102而104347=101⋅102⋅10+1327⇒餘數為1327
解答:2x6−3x5+4x4−3x3+4x2−3x+2=(x2+x+1)(x2−x+1)(2x2−3x+2)=0⇒x={(−1±√3i)/2(1±√3i)/2(3±√7i)/4⇒第一象限的根:1+√3i2,3+√7i4
解答:本題送分
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解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
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