國立東石高中 112 學年度第一次教師甄選
一、填充題(每格 5 分,共 80 分)
解答:x=θ−sinθ⇒dx=(1−cosθ)dθ⇒面積=∫ydx=∫y(t)x′(t)dt=∫2π0(1−cosθ)(1−cosθ)dθ=∫2π01−2cosθ+cos2θdθ==∫2π032−2cosθ+12cos2θdθ=[32θ−2sinθ+14sin2θ]|2π0=3π
解答:a=cosπ3=12⇒|1aa2a332a+1a2+2a3a23a+22a+13a1111|=|11/21/41/8325/43/435/223/21111|−3r1+r2→r2,−3r1+r3→r3,−r1+r4→r4→|11/21/41/801/21/23/8015/49/801/23/47/8|−2r2+r3→r3,−r2+r4→r4→|11/21/41/801/21/23/8001/43/8001/41/2|−r3+r4→r4→|11/21/41/801/21/23/8001/43/80001/8|=1⋅12⋅14⋅18=164
解答:x+y+z=5,6,…,12⇒H35+H36+⋯+H312=21+28+36+45+55+66+78+91=420
解答:an=Cn2⋅3n−2⇒limn→∞(32a2+33a3+⋯+3nan)=limn→∞n∑k=23kak=limn→∞n∑k=23kCk23k−2=limn→∞n∑k=218k(k−1)=limn→∞(18n∑k=2(1k−1−1k))=18
解答:f(θ)=2sinθ+13+cosθ⇒f′(θ)=0⇒6cosθ+sinθ+2(3+cosθ)2=0⇒6cosθ+sinθ+2=0取x=tanθ2⇒{sinθ=2x1+x2cosθ=1−x21+x2⇒6⋅1−x21+x2+2x1+x2+2=0⇒2x2−x−4=0⇒{x=1+√334⇒{sinθ=(4+4√33)/(25+√33)cosθ=−(9+√33)/(25+√33)⇒f(θ)=3+√338x=1−√334⇒{sinθ=(4−4√33)/(25−√33)cosθ=(−9+√33)/(25−√33)⇒f(θ)=3−√338⇒3−√338≤t≤3+√338
8. 有一個袋子,裡面裝了 2 顆紅球,3 顆白球,4 顆黃球,5 顆黑球(球的材質、大小都相同),將袋中的球取出,一次取一顆,取後不放回,求白球先被取完之機率= _____。
解答:(a−2b+3c−4d)40−(a+2b−3c−4d)20=((a−4d)−((2b−3c))40−((a−4d)+(2b−3c))40=40∑k=0C40k((a−4d)k(−1)40−k(2b−3c)40−k−(a−4d)k(2b−3c)40−k)當k=偶數時,左右項次相消;因此僅剩下k=奇數的項次,也就是(a−4d)39(2b−3c)+(a−4d)37(2b−3c)3+⋯+(a−4d)(2b−3c)39⇒項數=40⋅2+38⋅4+36⋅6+⋯+2⋅40=20∑k=1(42−2k)⋅2k=20∑k=1(84k−4k2)=17640−11480=6160
解答:取{u=2x+3y+zv=3x−2y+zw=2x+3y+2z⇒‖uxuyuzvxvyvzwxwywz‖=‖2313−21232‖=18u2+v2+z2=1的體積=43π⇒(2x+3y+z)2+(3x−2y+z)2+(x+3y+2z)2=1的體積=43π×118=2π27
解答:
解答:1x+1+1x+2y=1⇒x2+2xy−x−1=0取{f(x,y)=2x+yg(x,y)=x2+2xy−x−1⇒{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{2=λ(2x+2y−1)1=λ(2x)⇒2=2x+2y−12x⇒x=y−12代入g=0⇒12y2−12y−1=0⇒y=3+2√36(負值不合)2x+y=2y−1+y=3y−1=3+2√32−1=1+2√32=12+√3
解答:sin2π7+sin4π7−sinπ7=2sin3π7cosπ7−sin6π7=2sin3π7cosπ7−2sin3π7cos3π7=2sin3π7(cosπ7−cos3π7)=2sin3π7(2sin2π7sinπ7)=4sinπ7sin2π7sin3π7令{x=sinπ7sin2π7sin3π7y=cosπ7cos2π7cos3π7⇒xy=18sin2π7sin4π7sin6π7=18sin2π7sin3π7sinπ7⇒xy=18x⇒x(y−18)=0⇒y=18(x≠0)又8x2=(2sin2π7)(2sin22π7)(2sin23π7)=(1−cos2π7)(1−cos4π7)(1−cos6π7)=(1−cos2π7)(1+cos3π7)(1+cosπ7)=⋯=1−18+0=78⇒x=√78⇒4x=√72完整計算過程
16.將 2 顆綠色珠子,4 顆紅色珠子,3 顆藍色珠子串成一個項圈,試求共有幾種不同方法(假設珠子大小一樣) =____。
解答:
解答:考慮x=x+32x−4⇒2x2−5x−3=0⇒(2x+1)(x−3)=0⇒ 不動點x=−12,3原式an+1=an+32an−4⇒an+1+1/2an+1−3=an+32an−4+1/2an+32an−4−3=−25⋅an+1/2an−3⇒⟨an+1/2an−3⟩為一等比數列,公比為−25⇒an+1/2an−3=a1+1/2a1−3⋅(−25)n−1=(−25)n⇒an=−3⋅2n−12⋅(−5)n(−5)n−2n=3⋅2n+1+(−5)n2n+1−2⋅(−5)n參考資料
二、計算題(需有計算過程) (每題 10 分,共 20 分)
解答:I=∫∞−∞x4e−x2/2dx=∫∞−∞y4e−y2/2dy⇒I2=∫∞−∞∫∞−∞x4y4e−(x2+y2)/2dydx令{x=rcosθy=rsinθ⇒I2=∫2π0∫∞0cos4θsin4θ⋅r9e−r2/2drdθ=∫2π0cos4θsin4θ[−e−r2/2(r8+8r6+48r4+192r2+384)]|∞0dθ=∫2π0384cos4θsin4θdθ=[9x−3sin(4x)+38sin(8x))]|2π0=18π⇒I=√18π=3√2π解答:考慮x=x+32x−4⇒2x2−5x−3=0⇒(2x+1)(x−3)=0⇒ 不動點x=−12,3原式an+1=an+32an−4⇒an+1+1/2an+1−3=an+32an−4+1/2an+32an−4−3=−25⋅an+1/2an−3⇒⟨an+1/2an−3⟩為一等比數列,公比為−25⇒an+1/2an−3=a1+1/2a1−3⋅(−25)n−1=(−25)n⇒an=−3⋅2n−12⋅(−5)n(−5)n−2n=3⋅2n+1+(−5)n2n+1−2⋅(−5)n參考資料
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