112年公務人員高等考試三級考試試題
類 科:天文、氣象
科 目:應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
解答:(一)f(x,y)=x3−3y2+6xy−x−9y+10⇒∇f=(fx,fy)=(3x2+6y−1,−6y+6x−9)⇒∇f(1,−1)=(3−6−1,6+6−9)=(−4,3)⇒最大方向導數=||∇f(1,−1)||=√(−4)2+32=5(二)f(x,y)=x2+y2+2x−2y+12=(x+1)2+(y−1)2+10≥10當x=−1及y=1時(符合x2+y2=2≤4),f(x,y)有最小值10當x2+y2=4時⇒f(x,y)=2x−2y+16,利用 Lagrange 算子求極值{f=2x−2y+16g=x2+y2−4⇒{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{2=2xλ−2=2yλ⇒−1=xy⇒x=−y⇒g(x,−x)=0⇒x2=2⇒x=±√2⇒f(√2,−√2)=16+4√2為最大值因此最大值=16+4√2,最小值=10解答:(一)A=[1221]⇒det(A−λI)=0⇒(λ+1)(λ−3)=0⇒λ1=−1,λ2=3λ1=−1⇒(A−λ1I)x=0⇒x1+x1=0,取v1=[−11]λ2=3⇒(A−λ2I)x=0⇒x1=x2,最v2=[11]⇒P=[v1v2]=[−1111](二)→x′(t)=A→x(t)⇒→x(t)=c1eλ1tv1+c2eλ2tv2=c1e−t[−11]+c2e3t[11]初始值→x(0)=[11]=c1[−11]+c2[11]⇒{−c1+c2=1c1+c2=1⇒{c1=0c2=1⇒→x(t)=e3t[11]
解答:(一)f(x)=x2⇒f(x)為偶函數⇒bn=0,∀na0=12π∫π−πf(x)dx=12π[13x3]|π−π=π23an=1π∫π−πf(x)cos(nx)dx=1π[1n3((n2x2−2)sin(nx)+2nxcos(nx))]|π−π=4n2(−1)n⇒f(x)=π23+∞∑n=14n2(−1)ncos(nx)(二)假設u(x,t)=X(x+π)T(t),則ux(−π,t)=ux(π,t)=0⇒X′(0)T(t)=X′(2π)T(t)=0⇒X′(0)=X′(2π)=0又ut(x,t)=uxx(x,t)⇒X(x+π)T′(t)=X″
======================= END =======================
解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
感謝解答!
回覆刪除請問最後一題偏微分方程的解答您有想法嗎?
是否可能為題目的邊界條件給定的有問題呢?
一般教科書上的偏微分方程式例題的邊界都是x=0與x=L
該題則改為x= -π 與 x= π
如您所解的最後根本無法解答,又或是要用數值解才可能有解答
我個人給一個意見,是否可能使用平移的方式將邊界從-π到π平移到0到2π呢?
以上個人建議供參!
作者已經移除這則留言。
刪除重新改寫,看看有沒有問題!!
刪除