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2023年7月13日 星期四

112年高考三級-應用數學詳解

112年公務人員高等考試三級考試試題

類 科:天文、氣象
科 目:應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)

解答()f(x,y)=x33y2+6xyx9y+10f=(fx,fy)=(3x2+6y1,6y+6x9)f(1,1)=(361,6+69)=(4,3)=||f(1,1)||=(4)2+32=5()f(x,y)=x2+y2+2x2y+12=(x+1)2+(y1)2+1010x=1y=1(x2+y2=24)f(x,y)10x2+y2=4f(x,y)=2x2y+16 Lagrange 算子求極值{f=2x2y+16g=x2+y24{fx=λgxfy=λgyg=0{2=2xλ2=2yλ1=xyx=yg(x,x)=0x2=2x=±2f(2,2)=16+42=16+42,=10
解答()A=[1221]det(AλI)=0(λ+1)(λ3)=0λ1=1,λ2=3λ1=1(Aλ1I)x=0x1+x1=0v1=[11]λ2=3(Aλ2I)x=0x1=x2,v2=[11]P=[v1v2]=[1111]()x(t)=Ax(t)x(t)=c1eλ1tv1+c2eλ2tv2=c1et[11]+c2e3t[11]x(0)=[11]=c1[11]+c2[11]{c1+c2=1c1+c2=1{c1=0c2=1x(t)=e3t[11]
解答()f(x)=x2f(x)bn=0,na0=12πππf(x)dx=12π[13x3]|ππ=π23an=1πππf(x)cos(nx)dx=1π[1n3((n2x22)sin(nx)+2nxcos(nx))]|ππ=4n2(1)nf(x)=π23+n=14n2(1)ncos(nx)()u(x,t)=X(x+π)T(t),ux(π,t)=ux(π,t)=0X(0)T(t)=X(2π)T(t)=0X(0)=X(2π)=0ut(x,t)=uxx(x,t)X(x+π)T(t)=X

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 解題僅供參考,其他歷年試題及詳解

3 則留言:

  1. 感謝解答!
    請問最後一題偏微分方程的解答您有想法嗎?
    是否可能為題目的邊界條件給定的有問題呢?
    一般教科書上的偏微分方程式例題的邊界都是x=0與x=L
    該題則改為x= -π 與 x= π
    如您所解的最後根本無法解答,又或是要用數值解才可能有解答

    我個人給一個意見,是否可能使用平移的方式將邊界從-π到π平移到0到2π呢?
    以上個人建議供參!

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