111年台北市聯合轉學考-升高二(高中)-數學詳解

臺北市高級中等學校 111 學年度聯合轉學考招生考試
升高二數學科試題（普高）

一、單選題：(共 70 分)

解答： $${\sqrt 6\over 3-\sqrt 6}-{5\over \sqrt 6+1} ={\sqrt 6(3+\sqrt 6)\over (3-\sqrt 6)(3+\sqrt 6)}-{5(\sqrt 6-1)\over (\sqrt 6+1)(\sqrt 6-1)} = {3\sqrt 6+6\over 3}-{5\sqrt 6-5\over 5} \\=\sqrt 6+2-(\sqrt 6-1)=3，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答： $$A=10^{3.6045} =1000\times 10^{0.6045} \Rightarrow \log A=3+0.6045 \approx 3+0.301\times 2=3+2\log 2=3+\log 4 \\ \Rightarrow A\approx 10^3\times 4=4000，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$y-3=m(x-2)代表經過(2,3),(x,y)且斜率為m的直線，因此欲求與P(2,3)連成直線的斜率最小\\只有\overline{PB}與 \overline{PE}的斜率是負值，其它皆為正值，而\overline{PB}較陡，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$假設\cases{P(0,1)\\ Q(12,10)} \Rightarrow 直線L=\overleftrightarrow{PQ}: y={3\over 4}x+1\\ x^2+y^2-8hx-7hy+k=0 \Rightarrow (x-4h)^2+(y-{7\over 2}h)^2=16h^2+{49\over 4}h^2-k \\ \Rightarrow 圓心Ｏ(4h,{7\over 2}h) 在L上\Rightarrow {7\over 2}h= {3\over 4}\cdot 4h+1 \Rightarrow h=2 \Rightarrow O(8,7) \Rightarrow 圓半徑r=12-8=4\\ \Rightarrow 16h^2+{49\over 4}h^2-k=4^2 \Rightarrow 64+49-k=16 \Rightarrow k=97，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$a_1=-2 \Rightarrow a_2=-{1\over 3} \Rightarrow a_3={1\over 2} \Rightarrow a_4=3\Rightarrow a_5=-2 \Rightarrow a_6=-{1\over 3} \\ \Rightarrow 循環數=4 \Rightarrow 99=24\times 4=3 \Rightarrow a_{99}=a_3= {1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{a_1=2\\ r=2 } \Rightarrow a_n=2^n \Rightarrow k=\log_{a_1}a_2 + \log_{a_2}a_3 + \log_{a_3}a_4 + \log_{a_4}a_5 =\log_2 4+ \log_4 8+\log_8 16+ \log_{16}32 \\={\log 4\over \log 2} +{\log 8\over \log 4} +{\log 16\over \log 8} +{\log 32\over \log 16} ={2\log 2\over \log 2} +{3\log 2\over 2\log 2} +{4\log 2\over 3\log 2} +{5\log 2\over 4\log 2} \\=2+ {3\over 2}+{4\over 3} +{5\over 4} =6{1\over 12}，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答： $$\cases{(B)平均值=16 \Rightarrow 各數與平均值的差距:10,5,0,5,10 \\(D)平均值=15 \Rightarrow 各數與平均值的差距:10,10,0,10,10\\ (E)平均值=15 \Rightarrow 各數與平均值的差距:10,5,0,5,10} \\ \Rightarrow (D)的變異最大，故選\bbox[red, 2pt]{(Ｄ)}$$

解答： $$有一天要排二科，其它三天排一科；假設排二科的是：\\週一：\cases{英數:其他三科三天任排有3!=6種排法\\ 英(非數):各有4種排法，共12種排法}\\ 週二：國社，社自，國自各有2種，共6種\\ 週三：\cases{數國，數社，數自各2種，共6種排法\\ 國社，國自，社自各１種，共3種}\\ 週四與週三情況相同，有9種排法\\ 因此共有18+6+9+9=42種，故選\bbox[red, 2pt]{(Ｄ)}$$

解答： $$假設紅色巧克力有a顆，加上其他色有12顆，共有12+a顆\\\Rightarrow 期望值={C^a_1C^{12}_2 +2C^a_2C^{12}_1 +3C^a_3 \over C^{12+a}_3} ={6\over 5} \Rightarrow a=8，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答：

$$共有7種，如上圖，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$若甲乙兩對在第一個第一輪對戰的機率={ 2\times 10!\over 12!}={1\over 66}\\ 共有四個第一輪，因此機率為{4\over 66}={2\over 33}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{\cos 73^\circ =\sin 17^\circ \\ \cos 146^\circ=\sin 34^\circ\\ \cos 219^\circ =-\sin 51^\circ\\ \cos 292^\circ =-\sin 24^\circ \\ \cos 365^\circ=\sin85^\circ} \Rightarrow \sin 85^\circ \gt \sin 34^\circ \gt \sin 17^\circ \gt -\sin 24^\circ \gt -\sin 51^\circ \\ \Rightarrow 中位數為\sin 17^\circ =\cos 73^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$假設\cases{塔尖C\\ 塔底O} 及\cases{\overline{OA}=a \\\overline{OB}=b} \Rightarrow \cases{a^2+b^2=100^2\\ 塔高\overline{OC}=a\tan 45^\circ=b\tan 60^\circ \Rightarrow a=\sqrt 3b} \\ \Rightarrow (\sqrt 3b)^2+b^2= 4b^2= 100^2\Rightarrow b=50 \Rightarrow 塔高=50\sqrt 3\approx 86.6，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$只要\sqrt{身高} \lt 1.3\Rightarrow 身高\lt 1.69，新制高於舊制，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

二、多重選擇題：(共 30 分)

解答： $$((A) \times:f(x)=ax^3-18x^2+49x+k= 2(x+p)^3+ b(x+p)+1 = 2x^3+ 6px^2+ (6p^2+b)x +2p^3+p+1\\\Rightarrow \cases{a=2\\ 6p=-18 \\6p^2+b=49\\ 2p^3+bp+1=k } \Rightarrow \cases{a=2\\ p=-3\\ b=-5} \Rightarrow k=-38 \\(B)\bigcirc: 理由同(A)\\(C)\times: f(2)=8a-72+98+k = 16+26-38=4 \ne 6\\ (D)\times: f'(x)=6x^2-36x+49 \Rightarrow f''(x)=12x-36=0 \Rightarrow x=3 \Rightarrow 對稱中心(3,f(3))\\ (E)\bigcirc:f'(-p)=f'(3)= 54-108+49=-5 \Rightarrow y=-5(x-3)+f(3)=-5x+15+1 \Rightarrow y=-5x+16\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BE)}$$

解答： $$(A)\bigcirc: \cases{\mu_x'={n\mu_x +\mu_x\over n+1}=\mu_x \\ \mu_y'={n\mu_y+ \mu_y\over n+1} = \mu_y} \\(B) \times:多了一筆數據\mu_x,\sum(x_i-\mu_x)不變，新的標準差\sigma_x' \lt \sigma_x \\(C)(Ｄ)(Ｅ)\bigcirc: 多了一筆數據(\mu_x, \mu_y)落在原迴歸直線上\Rightarrow 迴歸直線不變，相關係數也不變\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ACDE)}$$

解答： $$(A)\bigcirc: \sin A={5\sqrt 3\over 14} \Rightarrow \cos A=\pm {11\over 14},由於\overline{BC}=5不是最長邊，\angle A不是鈍角，因此\cos A={11\over 14} \\(B) \bigcirc:{\overline{BC}\over \sin A}={\overline{AB}\over \sin C} \Rightarrow {5\over 5\sqrt 3/14} ={7\over \sin C} \Rightarrow \sin C={\sqrt 3\over 2} \\(C)\times: \sin C={\sqrt 3\over 2}  \Rightarrow \angle C=60^\circ 或120^\circ; \cos A={49+\overline{AC}^2-25\over 14\cdot \overline{AC}}={11\over 14} \Rightarrow \overline{AC}=8或3\\ \qquad \Rightarrow \cases{\overline{AC}=8 \Rightarrow \angle C=60^\circ\\ \overline{AC}=3 \Rightarrow \angle C=120^\circ} \Rightarrow \angle C不一定是60^\circ \\(D)\times: \overline{AC}不確定\Rightarrow 面積不確定\\ (E) \bigcirc:{\overline{BC}\over \sin A}={5\over 5/\sqrt 3/14}=2R \Rightarrow R={7\over \sqrt 3} ={7\sqrt 3\over 3}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABE)}$$

解答： $$(x+1)(x-3)\lt 0 \Rightarrow -1\lt x\lt 3\\(A)\bigcirc: |x-1|\lt 2 \Rightarrow -2\lt x-1\lt 2 \Rightarrow -1\lt x\lt 3 \\(B) \times: x=0 \Rightarrow  x^2(x+1)(x-3)= 0 \not \lt 0 \Rightarrow 解集合不同\\(C)\times: x^2(x-2) \lt (x-2)(2x+3) \Rightarrow x^3-2x^2 \lt 2x^2-x-6 \Rightarrow x^3-4x^2+x+6\lt 0\\ \qquad \Rightarrow (x+1)(x-2)(x-3)\lt 0 \Rightarrow 2\lt x\lt 3 或x\lt -1 \\(D) \bigcirc: x^2+x+1 =(x+{1\over 2})^2+{3\over 4}\gt 0 \Rightarrow (x+1)(x-3)\lt 0 \Rightarrow -1\lt x\lt 3 \\(E)\times: (x+1)(x-3)(x^2+x-1) =(x+1)(x-3)(x- {-1+\sqrt 5\over 2})(x- {-1-\sqrt 5\over 2})\lt 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AD)}$$

解答： $$(A)\times: f(x)=(x-3)(x+1)p(x)+2x+1 \Rightarrow f(-1)=-1 \ne 1\\ (B)\times: f(1)=5 \ne 3\\ (C) \bigcirc:f(1)=5 \Rightarrow f(1)-5=0 \Rightarrow f(x)-5=(x-1)P(x) \\(D)\bigcirc: 假設f(x)=(x^2-1)Q(x)+ ax+b \Rightarrow \cases{f(-1)=-1=-a+b\\ f(1)=5=a+b} \Rightarrow\cases{a=3\\ b=2} \Rightarrow 餘式：3x+2 \\ (E)\bigcirc: f(x)=(x^2-2x-3)p(x)+2x+1 \Rightarrow xf(x)=x (x^2-2x-3)p(x)+2x^2+x \\ \qquad =x (x^2-2x-3)p(x)+2(x^2-2x-3)+ 5x+6 \Rightarrow 餘式為5x+6\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CDE)}$$

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解題僅供參考，其他轉學考試題及詳解