112年台北市聯合轉學考-升高二(高中)-數學詳解

臺北市高級中等學校 112 學年度聯合轉學考招生考試
升高二數學科試題（高中）

一、單選題：(共 70 分)

解答： $$1,-1,1,-1,1,-1是公比為-1的等比數列，故選 \bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$4\times 10^{-13}\lt a\lt 5\times 10^{-13} \Rightarrow 16\times 10^{-26} \lt x^2 \lt 25\times 10^{-26} \\ \Rightarrow 1.6\times 10^{-25} \lt x^2 \lt 2.5\times 10^{-25} \Rightarrow n=-25，故選 \bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{|x-\sqrt{15}| \gt 2\\ |x-\sqrt{68}| \lt 4} \Rightarrow \cases{x \gt 2+\sqrt{15}或x\lt -2+\sqrt{15}\\-4+\sqrt{68}\lt x\lt 4+\sqrt {68}} \Rightarrow \cases{x=6,7,8,\dots或1,0,-1,\dots\\ x=4,5,\dots,12} \\ \Rightarrow x=6,7,\dots,12，共7個整數點，故選 \bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$820\times 60\%=492 \Rightarrow 1+2+4+\cdots+73+102=364(\le 64\%)\\ 364+143=507(\le 69\%) \Rightarrow 364(64\%)\lt 492\le 507(69\%) \Rightarrow x\in (64,69]，故選 \bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$11^4-12\times 11^3+15\times 11^2-46\times 11+25 = 11^3(11-12)+15\times 11^2-46\times 11+25 \\=-1\times 11^3+15\times 11^2-46\times 11+25 =11^2(-11+15)-46\times 11+25\\ = 4\times 11^2-46\times 11+25 =11(44-46)+25=-22+25=3，故選 \bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$Y=1.2X+8\Rightarrow Y是X的線性組合 \Rightarrow 相關係數=1，故選 \bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答： $$假設a,b 為f(x)=0的兩根，即f(a)=f(b)=0，依圖形可知1\lt a\lt b \Rightarrow g(a)=g(b)=0\\ 又g(x)=x\cdot f(x) \Rightarrow g(0)=0 \Rightarrow g(x)=0的三根為0,a,b，只有(B)與(D)符合此條件\\ 此外,f(1)=a+b+c =g(1) \Rightarrow 兩圖形在x=1有交點，故選 \bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$假設\cases{O(0,0)\\ A(1,0)\\ B(1,\sqrt 3)\\ B'(-2,0)} \Rightarrow \cases{\overline{OB}= \overline{OB'}=2\\ \overline{BB'}=2\sqrt 3} \Rightarrow \cos \theta={4+4-12\over 2\cdot 2\cdot 2}=-{1\over 2} \Rightarrow \theta=120^\circ \\ A(1,0)逆時鐘旋轉120^\circ 的極坐標[1,120^\circ]，故選 \bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{\theta為第二象限角\\ \cos\theta =k\lt 0} \Rightarrow \cases{\sin \theta =\sqrt{1-k^2} \\ \tan \theta=\sqrt{1-k^2}/k}\Rightarrow   \tan(90^\circ+\theta) = \tan(90^\circ-\theta)=-{k\over \sqrt{1-k^2}}\\，故選 \bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答： $$\cases{123 交換0次\\ 132 交換1次\\ 213 交換1次\\ 231 交換2次\\ 312 交換2次\\ 321 交換3次 } \Rightarrow 共交換9次，共望值={9\over 3!}={3\over 2}，故選 \bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{\square \square 0:有3\times 2=6個\\ \square \square 2:有2\times 2=4個 } \Rightarrow 共有10個偶數\\ 全部有3\times 3\times 2=18個三位數,因此偶數的機率={10\over 18}={5\over 9}，故選 \bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$假設兩直線為\cases{L_1:ax+by=c\\ L_2: 2x+y=d},由圖形可知：一直線(L_1)斜率為正，另一直線(L_2)斜率為負 \\ 因此L_1斜率＝-{b\over a} \gt 0 \Rightarrow ab\lt 0\\ 又\cases{L_1的y截距\gt 0 \Rightarrow c/b \gt 0 \\ L_1的x截距\lt 0 \Rightarrow c/a\lt 0\\L_2的y截距為負 \Rightarrow   d\lt 0} ，再加上原點(0,0)在不等式交集區，因此c\gt 0\\ 因此\cases{a\lt 0\\ b\gt 0\\ c\gt 0\\ d\lt 0}，故選 \bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$a=0,\pm 1,\pm {1\over 2}，共5種不同的a值，故選 \bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\#(A\cup B\cup C)=19+22+25-14-14-12+\#(A\cap B\cap C)=26+\#(A\cap B\cap C)\\ \Rightarrow 三類都不喜歡人數=38-(26+\#(A\cap B\cap C)=12-\#(A\cap B\cap C)\\ 而\#(A\cap B\cap C)最大為7(只喜歡一類，二三類都不喜歡的有0人)\\ \Rightarrow 12-\#(A\cap B\cap C)=12-7=5，故選 \bbox[red, 2pt]{(A)}$$

二、多重選擇題：(共 30 分)

解答： $$(A)\times: \log 0.1\lt a=\log 0.2023 \lt \log 1=0 \Rightarrow -1\lt a\lt 0 \\(B)\times: \log b=0.2023 \Rightarrow 10^0\lt b=10^{0.2023} \lt 10^1 \Rightarrow 1\lt b\lt 10\\ (C)\bigcirc: \cases{a\lt 0\\ b\gt 1} \Rightarrow b\gt a\\ (D)\times: \cases{a\lt 0\\ b\gt 0} \Rightarrow ab\lt 0 \\(E)\bigcirc: \cases{-1\lt a\lt 0\\ b\gt 1} \Rightarrow a+b\gt 0\\，故選 \bbox[red, 2pt]{(CE)}$$

解答： $$圓C: x^2+y^2-2x-6y-6=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y-3)^2=4^2 \Rightarrow \cases{圓心O(1,3)\\ 圓半徑r=4}\\ 直線L與圓相交兩點 \Rightarrow d(O,L)\lt r \Rightarrow {|3m+4| \over \sqrt{m^2+1}}\lt 4 \Rightarrow (3m+4)^2 \lt 16(m^2+1) \\ \Rightarrow m(7m-24)\gt 0 \Rightarrow  m\gt 24/7或m\lt 0，故選 \bbox[red, 2pt]{(AE)}$$

解答： $$3\sin A=4\sin B=5\sin C \Rightarrow \sin A:\sin B:\sin C=20:15:12 = \overline{BC}: \overline{AC}: \overline{AB}\\ (A)\times: \overline{AB}: \overline{AC}=12:15 \Rightarrow \overline{AC}\gt \overline{AB} \\(B) \bigcirc: \cases{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=(12k)^2 +(15k)^2=369k^2\\ \overline{BC}^2=(20k)^2= 400k^2} \Rightarrow \overline{BC}^2\gt \overline{AB}^2+\overline{AC}^2 \Rightarrow \angle A為鈍角\\ (C)\bigcirc: \sin A:\sin B:\sin C=20:15:12 \Rightarrow \angle A最大\\ (D)\bigcirc: \cos B={12^2+20^2-15^2\over 2\cdot 12\cdot 20}={319\over 480} \approx 0.66 \lt 0.75 \\(E)\bigcirc: \cases{\cos B \approx 0.66\\ \cos 60^\circ=0.5} \Rightarrow \angle B\lt 60^\circ\\，故選 \bbox[red, 2pt]{(BCDE)}$$

解答： $$\cases{a_1=2\\ a_n=a_{n-1}+2(n-1) =n^2-n+2}\\ (A)\bigcirc: a_2=a_1+2 =2+2=4\\ (B)\bigcirc: a_3=a_2+ 4=8 \\ (C)\times: a_4=a_3+6=14 \ne 16\\(D)\times: a_n=a_{n-1}+2(n-1) \\(E) \times:a_n= n^2-n+2\\ ，故選 \bbox[red, 2pt]{(AB)}$$

解答： $$假設f(x)=ax^3+bx^2+cx+ d \Rightarrow (x+1)f(x)=ax^4+ (a+b)x^3+ (b+c)x^2+ (c+d)x+ d\\ f(x)除以x-2餘４\Rightarrow f(2)=4 \Rightarrow 8a+4b+ 2c+ d=4 \cdots(1)\\ 利用長除法: (x+1)f(x)=(x^3-2)(ax+a+b)+(b+c)x^2+(2a+c+d)x+ 2a+2b+d\\ \Rightarrow \cases{Q(x)=ax+a+b\\ b+c=0 \cdots(2)\\ 2a+c+d=7 \cdots(3) \\ 2a+2b+d=-2  \cdots(4)}，由(1)-(4)可得\cases{a=1\\ b=-3\\ c=3\\ d=2} \Rightarrow f(x)=x^3-3x^2+3x+2\\ (A)\bigcirc: f(x)除以x-2餘４\Rightarrow f(2)=4\\ (B)\times: Q(x)=x-2 \Rightarrow Q(1)=-1 \ne 1 \\(C) \bigcirc: Q(2)=2-2=0\\ (D) \bigcirc: f(1)=a+b+c+d =3\\ (E)\bigcirc: f'(x)=3x^2-6x+3 \Rightarrow f''(x)=6x-6 =0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow 對稱中心(1,f(1)=3)\\，故選 \bbox[red, 2pt]{(ACDE)}$$

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解題僅供參考，其他轉學考試題及詳解