113年專門職業及技術人員高等考試
等 別:高等考試
類 科:電機工程技師
科 目:工程數學(包括線性代數、微分方程、複變函數與機率)

解答:L{f(t)}=12β3L{sin(βt)}−12β2L{tcos(βt)}⇒F(s)=12β3⋅βs2+β2−12β2⋅s2−β2(s2+β2)2⇒F(s)=1(s2+β2)2

解答:(一) P為對稱矩陣⇒P=[accb]⇒PA+ATP=[accb][01−5−6]+[0−51−6][accb]=−I2⇒[−10ca−5b−6ca−5b−6c2c−12b]=[−100−1]⇒{c=1/10a−5b=6c2c+1=12b⇒{a=11/10b=c=1/10⇒P=[11/101/101/101/10](二) P=[11/101/101/101/10]⇒det(P−λI)=λ2−65λ+110=0⇒特徵值λ=35±√2610
解答:(一) r(t)=[3t,4t2,8t4]⇒切線向量r′(t)=[3,8t,32t3]⇒單位切線向量r′(t)||r′(t)||=1√32+(8t)2+(32t3)2[3,8t,32t3]=1√1024t6+64t2+9[3,8t,32t3](二) By Gauss Divergence Theorem, ∬
解答:\textbf{(一) } \iint P\,dxdy=1 \Rightarrow \int_0^\infty \int_0^\infty ke^{-x-y/2}\,dxdy =\int_0^\infty ke^{-y/2}\, dy= \left. \left[ -2ke^{-y/2} \right] \right|_0^\infty =2k=1\\ \qquad \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{k={1\over 2}} \\\textbf{(二) } p(y) =\int_0^\infty {1\over 2}e^{-x-y/2}\,dx= {1\over 2}e^{-y/2} \Rightarrow E\{Y\} =\int_0^\infty y\cdot {1\over 2}e^{-y/2}\,dy = \left. \left[ -(y+2)e^{-y/2}\right] \right|_0^\infty =\bbox[red, 2pt]2 \\ \textbf{(三) }E\{X^2Y^2\} =\int_0^\infty \int_0^\infty {1\over 2}x^3y^2e^{-x-y/2} \,dxdy = \int_0^\infty {1\over 2}y^2 \left. \left[ -(x^3+3x^2+6x+6)e^{-x-y/2} \right] \right|_0^\infty\, dy \\\qquad = \int_0^\infty3y^2e^{-y/2}\, dy = 3\left. \left[ -2(y^2+4y+8)e^{-y/2} \right] \right|_0^\infty =3\times 16= \bbox[red, 2pt]{48}
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解題僅供參考,高普考歷年試題及詳解
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