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2024年11月1日 星期五

112年政大轉學考-微積分(二)詳解

國立政治大學112學年度轉學生招生考試

科目:微積分(二)
系所別:應用數學系二年級

解答:(a) limx03x+22ln(t1)dtx2=limx0ddx3x+22ln(t1)dtddxx2=limx03ln(3x+1)2x=limx0ddx(3ln(3x+1))ddx(2x)=limx093x+12=92(b) u=cosxdu=sinxdxsinx1+cos2xdx=11+u2du=tan1u+C=tan1cosx+C(c) {u=arctan(x)dv=4dx{du=dx1+x2v=4x4arctan(x)dx=4xarctan(x)4x1+x2dx=4xarctan(x)2ln(1+x2)+C104arctan(x)dx=[4xarctan(x)2ln(1+x2)]|10=π2ln2(d) {u=csc(x)dv=csc2(x)dx{du=csc(x)cot(x)dxv=cotxI=4sin3(x)dx=4csc3(x)dx=4csc(x)cot(x)4csc(x)cot2(x)dx=4csc(x)cot(x)4csc(x)(csc2(x)1)dx=4csc(x)cot(x)I+4csc(x)dx2I=4csc(x)cot(x)+41sinxdxI=4csc(x)cot(x)+21sin(x/2)cos(x/2)dxI=2csc(x)cot(x)+tan2(x/2)tan2(x/2)sin(x/2)cos(x/2)dx=2csc(x)cot(x)+sec2(x/2)tan(x/2)dx=2csc(x)cot(x)+2ln(|tanx2|)+C
解答:(a) n3+np<nnp=1n(p/21)By p-series test, if p21>1(p>4),then n=11np/21 will converge.And by comparison-test, the series n=1n3+np will converge(b) limnni=13π4nsec2(iπ4n)=103π4sec2πx4dx=3[tanπx4]|10=3
解答:dydx=1y21+x211y2dy=11+x2dxarcsiny=arctanx+Cy=sin(arctanx+C)y(0)=sinC=0C=0y=sin(arctanx)y=x1+x2
解答:{x=ρsinϕcosθy=ρsinϕsinθz=ρcosϕz=ρcosϕ=x2+y2=ρsinϕϕ=π4V=π/20π/2π/4120ρ2sinϕdρdϕdθ=83π/20π/2π/4sinϕdϕdθ=46π/201dθ=26π
解答:r(t)=eti+(1+t)jr(t)=eti+jCFdr=10((et(1+t)2+2(1+t))i+(e2t(1+t)+2et+2)j)(eti+j)dt=10(e2t(1+t)(2+t)+2et(t+2)+2)dt=[12e2t(t+1)2+2et(t+1)+2t]|10=2e2+4e12
解答:r(t)=(2cost)i+(2sint)jC:x2+y2=4Cy3dx+x3dy=

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解題僅供參考,轉學考歷年試題及詳解

2 則留言:

  1. 第六題最後那個雙重積分.D表示的是以原點為圓心半徑為2的圓的區域,但不能直接把(x^2+y^2)看作4,要當作r^2下去做積分,答案應是24*pi.

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