93學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：2-1+3=4，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：x=-2代入可得${(-2)}^4+{(-2)}^3-2\times(-2)-5$=16-8+4-5=7，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：P=$\left(\frac{3-1}{2},\frac{-4}{2}\right)$=(1,-2)，與原點距離=$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\begin{cases} f\left( a \right) =2 \\ f\left( b \right) =4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { 3 }^{ a }=2 \\ { 3 }^{ b }=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=\log _{ 3 }{ 2 }  \\ b=\log _{ 3 }{ 4 } =2a \end{cases}\Rightarrow f\left( a+b \right) =f\left( 3a \right) \\={ 3 }^{ 3a }={ \left( { 3 }^{ a } \right)  }^{ 3 }={ 2 }^{ 3 }=8，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\log _{ 10 }{ \left( 10x \right)  } =\log _{ 10 }{ 10 } +\log _{ 10 }{ x } =1+\frac { 1 }{ 3 } =\frac { 4 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\left( 3-2i \right) \left( 4+5i \right) =12+15i-8i+10=22+7i，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：x截距=$\frac{-c}{a}<0 \Rightarrow ac>0$，斜率=$\frac{-a}{b}>0\Rightarrow ab<0$，因此 P(ac,ab)=(+,-)，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\int _{ -1 }^{ 1 }{ \left( 2x+1 \right) \left( x+1 \right)  } dx=\int _{ -1 }^{ 1 }{ 2x^{ 2 }+3x+1 } dx=\left. \left( \frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }+\frac { 3 }{ 2 } { x }^{ 2 }+x \right)  \right| _{ -1 }^{ 1 }\\ =\left( \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 3 }{ 2 } +1 \right) -\left( -\frac { 2 }{ 3 } +\frac { 3 }{ 2 } -1 \right) =\frac { 4 }{ 3 } +2=\frac { 10 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：圓心(1,-3)至直線的距離=$\left|\frac{3-12-11}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=\frac{20}{5}$=4=半徑，表示圓與直線相切，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$y=x^2\Rightarrow y'=2x \Rightarrow 2a=4\Rightarrow a=2\\ \Rightarrow b=a^2=4\Rightarrow a+b=2+4=6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\begin{cases} \int _{ 0 }^{ x }{ f\left( t \right)  } dt={ x }^{ 2 } \\ \int _{ 1 }^{ x }{ g\left( t \right)  } dt=2x-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f\left( t \right) =2t \\ g\left( t \right) =2 \end{cases}\Rightarrow f\left( x \right)+g\left( x \right)=2x+2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$2\sin ^{ 2 }{ \theta  } +11\cos { \theta  } -7=0\Rightarrow 2\left( 1-\cos ^{ 2 }{ \theta  }  \right) +11\cos { \theta  } -7=0\\ \Rightarrow 2\cos ^{ 2 }{ \theta  } -11\cos { \theta  } +5=0 \Rightarrow \left( 2\cos { \theta  } -1 \right) \left( \cos { \theta  } -5 \right) =0\\ \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \theta =\frac { \pi  }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\sin { 10° } =a\Rightarrow \cos { 10° } =\sqrt { 1-{ a }^{ 2 } } \Rightarrow \sin { 200° } =-\sin { 20° } =-2\sin { 10° } \cos { 10° } \\ =-2\times a\times \sqrt { 1-{ a }^{ 2 } } =-2a\sqrt { 1-{ a }^{ 2 } } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\overrightarrow { AB } =\left( -3,4 \right) \Rightarrow \frac { -3 }{ a } =\frac { 4 }{ b } \Rightarrow a=\frac { -3 }{ 4 } b\Rightarrow \left| \overrightarrow { v }  \right| =3\Rightarrow a^{ 2 }+b^{ 2 }=9\Rightarrow \frac { 9 }{ 16 } b^{ 2 }+b^{ 2 }=9\\ \Rightarrow b^{ 2 }=9\times \frac { 16 }{ 25 } \Rightarrow b=\frac { 12 }{ 5 } \Rightarrow a=\frac { 12 }{ 5 } \times \frac { -3 }{ 4 } =\frac { -9 }{ 5 } \Rightarrow 2a+b=\frac { -6 }{ 5 } \\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\overline { AB } =5<\overline { BC } =7<\overline { AC } =8\Rightarrow \angle B>\angle A>\angle C\Rightarrow \cos { \angle C } >\cos { \angle A } >\cos { \angle B } \\ \begin{cases} \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } =40\cos { \angle A }  \\ \overrightarrow { BC } \cdot \overrightarrow { BA } =35\cos { \angle B }  \\ \overrightarrow { CA } \cdot \overrightarrow { CB } =56\cos { \angle C }  \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow { CA } \cdot \overrightarrow { CB } >\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } >\overrightarrow { BC } \cdot \overrightarrow { BA } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { x }{ x-2 } -\frac { 4x }{ x^{ 2 }-4 }  \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { x\left( x+2 \right)  }{ \left( x+2 \right) \left( x-2 \right)  } -\frac { 4x }{ x^{ 2 }-4 }  \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { x^{ 2 }-2x }{ x^{ 2 }-4 }  \right)  } \\ =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { x }{ x+2 }  \right)  } =\frac { 2 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $${ \left( \sqrt { 6 } +\sqrt { 2 } i \right)  }^{ 2 }=6+2\sqrt { 12 } i-2=4+4\sqrt { 3 } i，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ x & 1 & 2 \\ 3 & x & 1 \end{matrix} \right| =36\Rightarrow 1+3x^{ 2 }+12-9-2x-2x=36\\ \Rightarrow 3x^{ 2 }-4x-32=0\Rightarrow a+b=\frac { 4 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$\sin{\theta}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}=\frac{4}{5}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

面積=$6\times 4\div 2=12$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $${\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2\overline{AB}\times \overline{AC}\cos{A}\Rightarrow 36=16+25-40\cos{A}\\ \Rightarrow \cos{A}=\frac{1}{8} \Rightarrow \sin{A}=\frac{\sqrt{63}}{8}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$9x^{ 2 }+5y^{ 2 }+18x-20y-16=0\Rightarrow 9\left( x^{ 2 }+2x+1 \right) +5\left( y^{ 2 }-4y+4 \right) =45\\ \Rightarrow \frac { { \left( x+1 \right)  }^{ 2 } }{ 5 } +\frac { { \left( y-2 \right)  }^{ 2 } }{ 9 } =1\Rightarrow a=3\Rightarrow 長軸=2a=6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$16x^{ 2 }-9y^{ 2 }=144\Rightarrow \frac { x^{ 2 } }{ 9 } -\frac { y^{ 2 } }{ 16 } =1\Rightarrow a=3\Rightarrow \left| \overline { AP } -\overline { AQ }  \right| =2a=6\\ ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$f\left( x \right) =\frac { 3x+2 }{ 2x-1 } \Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { 3 }{ 2x-1 } -\frac { 2\left( 3x+2 \right)  }{ { \left( 2x-1 \right)  }^{ 2 } } \Rightarrow f'\left( 1 \right) =3-10=-7\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$\int _{ 1 }^{ 5 }{ \sqrt { x-1 }  } dx=\frac { 2 }{ 3 } \left. { \left( x-1 \right)  }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } \right| _{ 1 }^{ 5 }=\frac { 2 }{ 3 } \times 8=\frac { 16 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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