93學年四技二專統測--數學(B)詳解

93學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：2-1+3=4，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：x=-2代入可得${(-2)}^4+{(-2)}^3-2\times(-2)-5$=16-8+4-5=7，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：P=$\left(\frac{3-1}{2},\frac{-4}{2}\right)$=(1,-2)，與原點距離=$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\begin{cases} f\left( a \right) =2 \\ f\left( b \right) =4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { 3 }^{ a }=2 \\ { 3 }^{ b }=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=\log _{ 3 }{ 2 }  \\ b=\log _{ 3 }{ 4 } =2a \end{cases}\Rightarrow f\left( a+b \right) =f\left( 3a \right) \\={ 3 }^{ 3a }={ \left( { 3 }^{ a } \right)  }^{ 3 }={ 2 }^{ 3 }=8，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\log _{ 10 }{ \left( 10x \right)  } =\log _{ 10 }{ 10 } +\log _{ 10 }{ x } =1+\frac { 1 }{ 3 } =\frac { 4 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\begin{cases} f\left( 1 \right) =0 \\ f\left( -2 \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1+m+n-2=0 \\ -8+4m-2n-2=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m+n=1 \\ 2m-n=5 \end{cases}\Rightarrow m=2,n=-1\\ \Rightarrow 2m+n=4-1=3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：a+b<0且a>0，可知b<0；因此，ab<0, b<0，P(ab,b)在第三象限，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\log _{ 10 }{ \left( x+\sqrt { 6 }  \right)  } +\log _{ 10 }{ \left( x-\sqrt { 6 }  \right)  } =1\Rightarrow \log _{ 10 }{ \left[ \left( x+\sqrt { 6 }  \right) \left( x-\sqrt { 6 }  \right)  \right]  } =1\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }-6=10\Rightarrow x=4\left( \because x-\sqrt { 6 } >0,\therefore -4不合 \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\frac { 1 }{ 2 } \log _{ 3 }{ { \left( \frac { 2 }{ 9 }  \right)  }^{ 6 } } -\frac { 1 }{ 4 } \log _{ 3 }{ { \left( \frac { 10 }{ 3 }  \right)  }^{ 8 } } +\log _{ 3 }{ { \left( \frac { 25 }{ 6 }  \right)  } } \\=\log _{ 3 }{ { \left( \frac { 2 }{ 9 }  \right)  }^{ 3 } } -\log _{ 3 }{ { \left( \frac { 10 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } } +\log _{ 3 }{ { \left( \frac { 25 }{ 6 }  \right)  } } \\ =\log _{ 3 }{ { \left[ \frac { { 2 }^{ 3 } }{ { 3 }^{ 6 } } \times \frac { { 3 }^{ 2 } }{ { 5 }^{ 2 }\times { 2 }^{ 2 } } \times \frac { { 5 }^{ 2 } }{ 2\times 3 }  \right]  } } =\log _{ 3 }{ { \left[ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 5 } }  \right]  } } =-5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\begin{cases} a=\sin { 770° } =\sin { \left( 770°-360°\times 2 \right)  } =\sin { 50° }  \\ b=\cos { \left( -380° \right)  } =\cos { \left( 380°-360° \right)  } =\cos { 20° } =\sin { 70° }>a  \\ c=\tan { 1150° } =\tan { \left( 1150°-360°\times 3 \right)  } =\tan { 70° } >1 >b\end{cases}\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

$$\angle CBO=\angle A+\angle ACB \Rightarrow 60^\circ = 30^\circ + \angle ACB \Rightarrow \angle ACB=30^\circ\\ \Rightarrow \overline{BC}=\overline{AB}=30 \Rightarrow \overline{CO}=\overline{BC}\times\sin{\angle CBO}=30\sin{60^\circ}=15\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\begin{cases} { a }_{ 4 }=10 \\ { a }_{ 8 }=22 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { a }_{ 1 }+3d=10 \\ { a }_{ 1 }+7d=22 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { a }_{ 1 }=1 \\ d=3 \end{cases}\Rightarrow { a }_{ 35 }={ a }_{ 1 }+34d\\ =1+102=103，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$S=\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right)  }{ 1-r } =\frac { 3\left( 1-{ 4 }^{ n } \right)  }{ 1-4 } =4095\Rightarrow { 4 }^{ n }=4096\Rightarrow n=6\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$S=\frac { 3 }{ 5 } +\frac { 5 }{ { 5 }^{ 2 } } +\frac { 9 }{ { 5 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 2^{ n }+1 }{ { 5 }^{ n } } +\cdots =\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 2^{ k }+1 }{ { 5 }^{ k } }  \right)  } =\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 2 }{ { 5 } }  \right)  } ^{ k }+\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ { 5 } }  \right)  } ^{ k }\\ =\frac { \frac { 2 }{ { 5 } }  }{ 1-\frac { 2 }{ { 5 } }  } +\frac { \frac { 1 }{ { 5 } }  }{ 1-\frac { 1 }{ { 5 } }  } =\frac { 2 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 11 }{ 12 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

4x-2y+5=0的斜率=2，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
2x+4y+5=0的斜率為$\frac{-1}{2}$，垂直線的斜率為2，因此垂直線皂方程式為y=2x+b。P(1,6)經過垂直線，即6=2+b, b=4，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

$$\triangle ABC面積=\overline{AB}\times \overline{AC}\div 2 = 2\times\frac{4}{3}\div 2 = \frac{4}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：
$$\left|\frac{-7-13}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=\frac{20}{5}=4，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\left| 3x-5 \right| <9\Rightarrow -9<3x-5<9\Rightarrow -4<3x<14\Rightarrow \frac { -4 }{ 3 } <x<\frac { 14 }{ 3 } \\ \Rightarrow x=-1,0,1,2,3,4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

$$x^2+y^2-4x-4y+4=0\Rightarrow {(x-2)}^2+{(y-2)}^2=2^2\Rightarrow 半徑=2=\overline{OA}\\ \Rightarrow \overline{AP}=\sqrt{2}\Rightarrow 正方形ABCD面積=2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=8，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：
萬位數不能選0，有4種選法、千位數也有4種選法、百位數有3種選法、十位數有2種選法，個位數只有1種選法，所以共有$4\times 4\times 3\times 2\times1$=96，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
每兩個頂點有一條直線，再扣除邊線剩下就是對角線，即$C_{2}^9-9$=36-9=27，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $${ \left( { x }^{ 3 }+\frac { 1 }{ x }  \right)  }^{ 30 }=\sum _{ n=0 }^{ 30 }{ { C }_{ n }^{ 30 } } { \left( { x }^{ 3 } \right)  }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ x }  \right)  }^{ 30-n }=\sum _{ n=0 }^{ 30 }{ { C }_{ n }^{ 30 } } { x }^{ 4n-30 }\\ \Rightarrow { x }^{ 82 }係數={ C }_{ 28 }^{ 30 }=435，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：
至少有二枚正面=全部-(沒有正面)-只有一個正面
沒有正面機率=${(\frac{1}{2})}^5$；只有一個正面機率=$5\times {(\frac{1}{2})}^5$；
至少有二枚正面=1-$\frac{1}{32}-\frac{5}{32}=1-\frac{6}{32}=\frac{26}{32}=\frac{13}{16}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
兩個50元硬幣: $100\times\frac{C_2^3}{C_2^{10}}=100\times\frac{3}{45}=\frac{20}{3}$
一個50元硬幣、一個10元硬幣:$60\times\frac{C_1^3C_1^7}{C_2^{10}}=60\times\frac{21}{45}$=28
兩個10元硬幣: $20\times\frac{C_2^7}{C_2^{10}}=20\times\frac{21}{45}=\frac{28}{3}$
三者相加=$\frac{20}{3}+28+\frac{28}{3}$=44，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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