2016年6月17日 星期五

94學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源:技專校院入學測驗中心




利用長除法可知: a-1=-4且b+1=5,即a=-3, b=4,因此a+b=1,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。


:令C=(x,y),2(x+4)=3(1-x)且2(y-4)=3(-1-y),則x=-1,y=1,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



:只有(B)的x次方為正整數,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。


:$${ \left( 0.0625 \right)  }^{ -1.5 }={ \left( \frac { 625 }{ 10000 }  \right)  }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  }={ \left( \frac { 25 }{ 100 }  \right)  }^{ -3 }={ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ -3 }={ 4 }^{ 3 }=64,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$


:$${ 2 }^{ 2x+1 }+{ 2 }^{ 3x }=5\cdot { 2 }^{ x+4 }\Rightarrow 2\cdot { \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 2 }+{ \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 3 }=80\cdot { 2 }^{ x }\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( { \left( { 2 }^{ x } \right)  }^{ 2 }+2{ \left( { 2 }^{ x } \right)  }-80 \right) =0\\ \Rightarrow { 2 }^{ x }\left( { 2 }^{ x }+10 \right) \left( { 2 }^{ x }-8 \right) =0\Rightarrow { 2 }^{ x }=8\Rightarrow x=3,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$



:(x,y,z)=(4,1,1),(2,2,1),(1,1,2),只有三組解,xyz=4最大,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

:$$\overline { PQ } =\overline { PR } \Rightarrow \sqrt { 1+{ (k-2) }^{ 2 } } =\sqrt { { (k-4) }^{ 2 }+3^{ 2 } } \Rightarrow k^{ 2 }-4k+5=k^{ 2 }-8k+25\\ \Rightarrow 4k=20\Rightarrow k=5 ,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$



:$$f\left( 3 \right) =f\left( 2\times 2-1 \right) =\frac { 2\times 2 }{ 3\times 2+1 } =\frac { 4 }{ 7 } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$


:$$x=\frac { \left( { 2 }^{ a }+{ 2 }^{ -a } \right) \pm \sqrt { { \left( { 2 }^{ a }+{ 2 }^{ -a } \right)  }^{ 2 }-4 }  }{ 2 } ={ \frac { \left( { 2 }^{ a }+{ 2 }^{ -a } \right) \pm \sqrt { { 2 }^{ 2a }+{ 2 }^{ -2a }-2 }  }{ 2 }  }\\ =\frac { \left( { 2 }^{ a }+{ 2 }^{ -a } \right) \pm \sqrt { { \left( { 2 }^{ a }-{ 2 }^{ -a } \right)  }^{ 2 } }  }{ 2 } =\frac { \left( { 2 }^{ a }+{ 2 }^{ -a } \right) \pm \left( { 2 }^{ a }-{ 2 }^{ -a } \right)  }{ 2 } ={ 2 }^{ a },{ 2 }^{ -a }>0,\\故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$


:$$\log { x } =2\log { x } \Rightarrow x=x^{ 2 }\Rightarrow x(x-1)=0\Rightarrow x=1(0不合)\\ \Rightarrow y=\log { 1 } \Rightarrow y=0\Rightarrow a+b=1+0=1,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$



:$$S\left( x \right) =\frac { { 3 }^{ x }-{ 3 }^{ -x } }{ 2 } \Rightarrow S^{ 2 }\left( x \right) =\frac { { 3 }^{ 2x }+{ 3 }^{ -2x }-2 }{ 4 } \Rightarrow { 3 }^{ 2x }+{ 3 }^{ -2x }=4S^{ 2 }\left( x \right) +2\\ \Rightarrow C\left( 2x \right) =\frac { { 3 }^{ 2x }+{ 3 }^{ -2x } }{ 2 } =\frac { 4S^{ 2 }\left( x \right) +2 }{ 2 } =2S^{ 2 }\left( x \right) +1,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$



:$$a={ \left( 0.7 \right)  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }={ \left( \frac { 7 }{ 10 }  \right)  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\\ b={ \left( 0.49 \right)  }^{ \frac { 1 }{ 5 }  }={ \left[ { \left( \frac { 7 }{ 10 }  \right)  }^{ 2 } \right]  }^{ \frac { 1 }{ 5 }  }={ \left( \frac { 7 }{ 10 }  \right)  }^{ \frac { 2 }{ 5 }  }\\ c={ \left( 0.343 \right)  }^{ \frac { 1 }{ 7 }  }={ \left[ { \left( \frac { 7 }{ 10 }  \right)  }^{ 3 } \right]  }^{ \frac { 1 }{ 7 }  }={ \left( \frac { 7 }{ 10 }  \right)  }^{ \frac { 3 }{ 7 }  }\\ \frac { 3 }{ 7 } >\frac { 2 }{ 5 } >\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow a>b>c,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$


:$$\left( \log _{ 3 }{ 4 }  \right) \left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 8 }{ 27 }  \right) =\left( 2\log _{ 3 }{ 2 }  \right) \left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 3 }  \right) =\left( 2\log _{ 3 }{ 2 }  \right) \left( 2\log _{ 2 }{ 3 }  \right) \\ =4,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$


:六個字排列有6!排法,但其中有三組兩個字母相同,所以有\(\frac{6!}{2!2!2!},故選\bbox[red,2pt]{(A)}\)。


:$${ C }_{ 11 }^{ 11 }+{ C }_{ 10 }^{ 11 }+{ C }_{ 9 }^{ 11 }+{ C }_{ 8 }^{ 11 }+{ C }_{ 7 }^{ 11 }+{ C }_{ 6 }^{ 11 }={ C }_{ 0 }^{ 11 }+{ C }_{ 1 }^{ 11 }+{ C }_{ 2 }^{ 11 }+{ C }_{ 3 }^{ 11 }+{ C }_{ 4 }^{ 11 }+{ C }_{ 5 }^{ 11 }\\ =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=0 }^{ 11 }{ { C }_{ n }^{ 11 } } =\frac { 1 }{ 2 } \times { 2 }^{ 11 }={ 2 }^{ 10 }=1024,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$


:個位數有4種選擇、十位數有4種選擇、百位數有3種選擇,共有\(4\times 4\times 3=48,故選\bbox[red,2pt]{(D)}\)。


:$$共有六種三位數:\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right) ,總和為1332,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$


:6個相異數字,其中5個與中獎號碼相同,一個不同,有14種;第1個不同或第2個不同...第6個不同,有6種可能,所以共有14x6=84,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



:$${ C }_{ 3 }^{ 7 }{ C }_{ 2 }^{ 4 }{ C }_{ 2 }^{ 2 }=\frac { 7! }{ 4!3! } \times \frac { 4! }{ 2!2! } \times \frac { 2! }{ 2! } =210,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$


:$${ \left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 7{ x }^{ k } }  \right)  }^{ 6 }=\sum _{ n=0 }^{ 6 }{ { C }_{ n }^{ 6 } } { \left( { x }^{ 2 } \right)  }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ 7{ x }^{ k } }  \right)  }^{ 6-n }=\sum _{ n=0 }^{ 6 }{ { C }_{ n }^{ 6 } } { { \left( \frac { 1 }{ 7 }  \right)  }^{ 6-n } }x^{ 2n+nk-6k }\\ { x }^{ 2 }係數為\frac { 15 }{ 49 } \Rightarrow \begin{cases} { C }_{ n }^{ 6 }\times { \left( \frac { 1 }{ 7 }  \right)  }^{ 6-n }=\frac { 15 }{ 49 }  \\ 2n+nk-6k=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} n=4 \\ 2\times 4+4\times k-6k=2 \end{cases}\\ \Rightarrow 6=2k\Rightarrow k=3,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

:此題相當於從5人中選出2人當委員,有\(C_2^5=10\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。



:每一題的期望值=\(5\times\frac{1}{4}\),20題的期望值=\(5\times\frac{1}{4}\times 20=25\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



:每一題猜對的機率皆為\(\frac{1}{4}\),15題皆答對的機率=\({\left(\frac{1}{4}\right)}^{15}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。


:剛好命中一發機率=A命中且BC皆不命中+B命中且AC皆不命中+C命中且AB皆不命中
=\(\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}+\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{26}{60},故選\bbox[red,2pt]{(B)}\)。




48位女生: 甲校20位、乙校28位
52位男生: 甲校40-20=20位、乙校60-28=32位
乙校男生/全部=32/100=8/25,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。


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