107年國中教育會考數學詳解

107年國中教育會考數學詳解

解：

圖(D)左右對稱(其實也是上下對稱)，，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

---

解： $$\begin{cases} a=\left( \frac { 3 }{ 14 } -\frac { 2 }{ 15 }  \right) -\frac { 1 }{ 16 }  \\ b=\frac { 3 }{ 14 } -\left( \frac { 2 }{ 15 } -\frac { 1 }{ 16 }  \right)  \\ c=\frac { 3 }{ 14 } -\frac { 2 }{ 15 } -\frac { 1 }{ 16 }  \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=\frac { 3 }{ 14 } -\frac { 2 }{ 15 } -\frac { 1 }{ 16 }  \\ b=\frac { 3 }{ 14 } -\frac { 2 }{ 15 } +\frac { 1 }{ 16 }  \\ c=\frac { 3 }{ 14 } -\frac { 2 }{ 15 } -\frac { 1 }{ 16 }  \end{cases}\Rightarrow a=c\neq b$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

---

解： $$(0,-4)代入該函數可得-4=0+a\Rightarrow a=-4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解：
36的因數中，超過10的只有12、18及36，且$48=12\times 4$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

---

解： $$\begin{cases} 7x-3y=8 \\ 3x-y=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 7x-3y=8 \\ 9x-3y=24 \end{cases}\Rightarrow 2x=16\Rightarrow x=8\Rightarrow y=16\Rightarrow x+y=24$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

---

解： $$(A)\times: \cases{阿馮抽出紅球的機率為 \frac{2}{5}；\\小潘抽出紅球的機率為\frac{4}{10}=\frac{2}{5}} \Rightarrow 兩者機率相同\\ (B)\times:理由同上\\(C) \bigcirc: \cases{阿馮抽出黃球的機率為\frac{2}{5}\\小潘抽出黃球的機率為\frac{2}{10}= \frac{1}{5}} \Rightarrow 阿馮機率大\\(D)\times: 理由同上\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解： $$\sqrt { 6 } \times \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  } -1 \right) =\frac { \sqrt { 6 }  }{ \sqrt { 3 }  } -\sqrt { 6 } =\sqrt { 2 } -\sqrt { 6 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

---

解：

$$x^2-8x-3\times 11=0\Rightarrow (x-11)(x+3)=0\Rightarrow a=11,b=-3\Rightarrow a-2b=11+6=17$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

---

解：

$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180-60^\circ-100^\circ=20^\circ$，又$\overline{DE} =\overline{DC}=4\div 2=2\Rightarrow \triangle DEC$為等腰，即$\angle DEC=\angle C=20^\circ$，因此$\angle EDB=\angle DEC+\angle C=40^\circ\Rightarrow$扇形面積=$2^2\times \pi \times \frac{40}{360}=\frac{4\pi}{9}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

---

解：假設單價為$a$元，10台銷售額為61000$\Rightarrow   (a-800)\times 10 = 61000 \Rightarrow a =6900$；
前20台銷售額+後30台銷售額=$20\times (6900-800)+30\times 6900=122000+207000=329000$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

---

解：

由於$\overline{AB}=\overline{DE},\overline{AE}=\overline{BC}, \overline{AC}=\overline{AD}$，因此$\triangle ABC$與$\triangle DEA$滿足SSS，即兩者全等；因此$\angle DAE=\angle BCA=x, \angle ADE=\angle BAC=y\Rightarrow x+y=180^\circ-115^\circ=65^\circ$
$\Rightarrow \angle BAE = x+y+\angle CAD=65^\circ+60^\circ=125^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

---

解：由題意可知: $x<0$且$\overline{OB}=\overline{OA}= \overline{AC}+\overline{OC} =1+|x|=1-x$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

---

解：
假設她至少需印$a$張卡片，則成本為$1000+5a$，銷售額為$15a$。
利潤超過成本的2成，即$15a-(1000+5a)>0.2\times(1000+5a)\Rightarrow 9a>1200 \Rightarrow a>133.3$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

---

解：

$\angle A=180-\angle B-\angle C=180-44-56=80\Rightarrow \angle IAC=\angle A\div 2=40$；
$\angle ACI=\angle DCI=\angle C\div 2=28$；
$\angle AIC = 180-\angle IAC-\angle ACI=180-40-28=112^\circ$，又$\angle DIC=90-\angle DCI = 90-28=62^\circ$，因此$\angle AID=\angle AIC+\angle DIC=112+62=174^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

---

解：
(A)左下角三角形的斜邊不是13而是12，顯然錯誤
(B)右上方三角形的長邊12與5不相等，無法密合
(C)右下角的直角形顛倒，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

---

解：
此4個數分別為$7,7+d,7+2d,7+3d$，由於$7+3d\le 50\Rightarrow d\le 14$；
(A) $20=7+13(d=13)$
(B) $25=7+3\times 6(d=6)$
(C) $30=7+23(d=23)$
(D) $35=7+4\times 7(d=7)$
故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

---

解： $$a-b=3.1\times 10^{ -4 }-5.2\times 10^{ -8 }=10^{ -4 }\left( 3.1-5.2\times 10^{ -4 } \right) =10^{ -4 }\left( 3.1-0.00052 \right) \\ =10^{ -4 }\times 3.09948=0.000309948$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

---

解：

甲的作法如上圖，$\angle BPC與\angle APC$互補，又$\angle APC\neq \angle A$，作法錯誤

甲的作法若改成以C為圓心，如上圖，由於$\overline{CA}=\overline{CP}\Rightarrow \angle CPA=\angle A$，因此$\angle BPC+\angle CPA=180^\circ\Rightarrow \angle BPC+\angle A=180^\circ\Rightarrow$兩者互補。此作法就會正確！

乙的作法如上圖，ABPC為一四邊形，四個角總和為360；由於$\angle ABP+\angle ACP=180^\circ$，所以$\angle A+\angle BPC=180^\circ$，即兩者互補。
只有標準差不會變動，其餘皆為增加，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

---

解：

由圖形可知甲的成績中位數a=82, 乙的中位數b=63，顯然a>b;
80分略低甲班的中位數，即甲班超過一半的人成績高於80分；而80分超過乙班的Q3，即超過75%的乙班學生成績低於80分，所以c>d；故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

---

解：

$\triangle AEB$三內角分別為$90^\circ-60^\circ-30^\circ$，因此$\overline{AE}=6\sqrt{3}\div \sqrt{3}=6$
$\angle BEA=\angle BEA'=60^\circ\Rightarrow \angle AEG=60^\circ\Rightarrow \overline{EG}= \overline{AE}\div 2=6\div 2=3$，因此
$\overline{AF}=\overline{GD}=\overline{BC}-\overline{A'E}-\overline{EG}=13-6-3=4$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

---

解：

先求$L$與$y=3x^2+a$的交點，即$3x^2+a=-2\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{-2-a}{3}}$；又$\overline{AB}=2\Rightarrow \sqrt{\frac{-2-a}{3}}=1\Rightarrow a=-5$
$L$與$y=-2x^2+b$的交點，即$-2x^2+b=-2\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{b+2}{2}}$；又$\overline{CD}=4\Rightarrow \sqrt{\frac{b+2}{2}}=2\Rightarrow b=6$
因此$a+b=-5+6=1$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

---

解：

利用大角對大邊及對同弧的圓周角與弦切角相等，兩個特性來說明
$\overline{AP}>\overline{CP}\Rightarrow \angle C>\angle A$，又$\angle C=\angle APE及\angle A=\angle CPF$；同理$\angle B=\angle EPD且\angle D=\angle FPB$；由 $$\angle APD=\angle CPB\Rightarrow \angle APE+\angle EPD=\angle CPF+\angle FPB \Rightarrow \angle C+\angle B=\angle A+\angle D\\  \angle C>\angle A\Rightarrow \angle D>\angle B$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

---

解：假設原來蘋果、芭樂與柳丁的數量分別為9a, 7a及6a，搾完果汁後三種水果的數量分別為6b, 3b及4b。由於柳丁的數量沒有改變，即$6a=4b\Rightarrow b=\frac{3a}{2}$，也就是說搾完果汁後三種水果的數量分別為$6\times\frac{3a}{2}=9a, 3\times\frac{3a}{2}=\frac{9a}{2}及4\times\frac{3a}{2}=6a$。由此可知蘋果一直都是$9a$，只有使用芭樂，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

---

解：

延長$\overline{GF}$交$\overline{AC}$於$Q$點，見上圖。
$\overline{AB}//\overline{QG}\Rightarrow \angle A=\angle FQE$；又$\overline{AC}//\overline{FH}\Rightarrow \angle FQE=\angle GFH\Rightarrow \angle A=\angle GFH$，因此$\triangle ABC\sim\triangle FGH\sim\triangle ADE \Rightarrow \frac{\triangle ADE}{\triangle GFH}=\frac{{\overline{DE}}^2}{{\overline{GH}}^2}=\frac{(4a+5a)^2}{(6a)^2}=\frac{81}{36}=\frac{9}{4}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

---

解：
假設阿郁有$x$元，方形禮盒每盒$a$元，圓形禮盒每盒$b$元，則 $$\begin{cases} 3a+7b-240=x \\ 7a+3b+240=x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 兩式相加 \\ 兩式相減\quad  \end{cases}\equiv \begin{cases} 5a+5b=x \\ a-b=-120 \end{cases}\\ \Rightarrow x-10a=5a+5b-10a=-5a+5b=-5\left( a-b \right) =-5\times \left( -120 \right) =600$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

解：

解:
 $由於L是\overline{AB}$的中垂線，所以$\overline{CA}=\overline{CB}=9$；
在直角$\triangle OAC$中，$\overline{AC}^2=\overline{OA}^2+\overline{OC}^2 \Rightarrow 81=\overline{OA}^2+25 \Rightarrow \overline{OA}=2\sqrt{14}$
$\Rightarrow a=-2\sqrt{14}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

解：

(1) $(1+3+4+4+2+1+4+1)\div 8=20\div 8=2.5$

(2)假設第9次取出a，第10次取出b，則10次得分平均值為$(1+3+4+2+1+4+1+a+b)\div 10=\frac{20+a+b}{10}$，若$2.2\le\frac{20+a+b}{10}le2.4\Rightarrow 22\le 20+a+b\le 24\Rightarrow 2\le a+b\le 4\Rightarrow a+b=2,3,4$
$\Rightarrow (a,b)=(1,1),(1,2), (2,1),(1,3),(3,1),(2,2)$，其機率為$\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}\times 6=\frac{3}{8}$

答：(1) 2.5  (2)有可能，其機率為$\bbox[red,2pt]{\frac{3}{8}}$

---

---

解：假設格子的長度皆為1，則

$R_1=\overline{AC}+\overline{CD}+\overline{DB}=\sqrt{10}+\sqrt{2}+\sqrt{10}=\sqrt{2} +2\sqrt{10}$

$R_2=\overline{AE}+\overline{ED}+\overline{DF}+\overline{FB} =\sqrt{2}+\sqrt{10}+1+\sqrt{5}$

$R_3=\overline{AG}+\overline{GB}=\sqrt{20}+\sqrt{10}=2\sqrt{5}+\sqrt{10}$

$R_1-R_3=\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{5}$，由於$(\sqrt{10}+\sqrt{2})^2=12+4\sqrt{5}> 20=(2\sqrt{5})^2\Rightarrow R_1>R_3$

$R_2-R_1=1+\sqrt{5}-\sqrt{10}$，由於$(1+\sqrt{5})^2=6+2\sqrt{5}>10=(\sqrt{10})^2$，所以$R_2>R_1$

總結以上可得 $R_2>R_1>R_3$，因此最長路徑為$R_2$，最短路徑為$R_3$
另解： $$\begin{cases} \overline { DB } <\overline { DF } +\overline { FB }  \\ \overline { AC } =\overline { DE }  \\ \overline { CD } =\overline { AE }  \end{cases}\Rightarrow \overline { AC } +\overline { CD } +\overline { DB } <\overline { AE } +\overline { ED } +\overline { DF } +\overline { FB } \Rightarrow R_{ 1 }<R_{ 2 }\\ \begin{cases} \overline { DB } =\overline { GB }  \\ \overline { AG } =\overline { AD } <\overline { AC } +\overline { CD }  \end{cases}\Rightarrow \overline { AC } +\overline { CD } +\overline { DB } >\overline { AG } +\overline { GB } \Rightarrow R_{ 3 }<R_{ 1 }\\ \Rightarrow R_3<R_1<R_2$$