107年警專37期數學科(甲組)詳解

解： $$-1\le x\le 5\Rightarrow -10\le -2x\le 2\Rightarrow -6\le -2x+4\le 6\Rightarrow |-2x+4|\le 6\\ \Rightarrow a=-2,b=6\Rightarrow b-a=6-(-2)=8$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\begin{cases} f'(3)=0 \\ f(3)=-11 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 6a+b=0 \\ 9a+3b=-18 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=-12 \end{cases}\Rightarrow a+b=-10$$
故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
$\vec{AB}=(3,-1),\vec{AC}=(9,-2),\vec{AD}=(12,-4)=4\vec{AB}$，因此將C去掉後，其他三點會在同一直線上，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$a=\sqrt { 2+\sqrt { 3 }  } -\sqrt { 2-\sqrt { 3 }  } \Rightarrow a^{ 2 }=(2+\sqrt { 3 } )-2\times 1+(2-\sqrt { 3 } )=2\Rightarrow a={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\\ \Rightarrow \log _{ 4 }{ a } =\log _{ 4 }{ \left( { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right)  } =\frac { \log _{ 2 }{ \left( { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right)  }  }{ \log _{ 2 }{ \left( { 2 }^{ 2 } \right)  }  } =\frac { \frac { 1 }{ 2 }  }{ 2 } =\frac { 1 }{ 4 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$(A)\sqrt [ 6 ]{ 4 } =4^{ \frac { 1 }{ 6 }  }=2^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\\ (B)\left( \frac { 1 }{ 4 }  \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 }  }=\left( { 2 }^{ -2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 }  }={ 2 }^{ \frac { -2 }{ 3 }  }\\ (C)\frac { 4\times { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }{ 8 } ={ 2 }^{ 2 }\times { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\times { 2 }^{ -3 }={ 2 }^{ \frac { -1 }{ 2 }  }\\ (D)\sqrt { 2\sqrt [ 3 ]{ 4 }  } =\sqrt { 2\times { 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } } =\sqrt { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 3 }  } } ={ 2 }^{ \frac { 5 }{ 6 }  }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
$S_n$有最大值，代表$a_n$為最小的正值；又$|a_8|=|a_{15}|\Rightarrow a_1>0, 公差d<0$
$$\left| a_{ 8 } \right| =\left| a_{ 15 } \right| \Rightarrow \left| a_{ 1 }+7d \right| =\left| a_{ 1 }+14d \right| \Rightarrow a_{ 1 }+7d=-\left( a_{ 1 }+14d \right) \Rightarrow a_{ 1 }=\frac { -21 }{ 2 } d\\ \Rightarrow a_{ n }>0\Rightarrow a_{ 1 }+(n-1)d>0\Rightarrow \frac { -21 }{ 2 } d+(n-1)d>0\Rightarrow \left( n-\frac { 23 }{ 2 }  \right) d>0\\ \Rightarrow n-\frac { 23 }{ 2 } <0\Rightarrow n<11.5\Rightarrow n=11(符合條件的最大值)$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
假設該地區居民有$n$人，且其中$a$人患有此疾病，$n-a$人沒有此疾病；
檢驗出患有此病的人數為$0.9a+0.05(n-a)$，依題意其中$\frac{54}{71}$真的患有此疾病，即: $$\left[ 0.9a+0.05(n-a) \right] \times \frac { 54 }{ 71 } =0.9a\Rightarrow \left[ 1+\frac { 0.05 }{ 0.9a } (n-a) \right] \times \frac { 54 }{ 71 } =1\\ \Rightarrow 1+\frac { 1 }{ 18a } (n-a)=\frac { 71 }{ 54 } \Rightarrow \frac { 1 }{ 18a } (n-a)=\frac { 17 }{ 54 } \Rightarrow \frac { n-a }{ a } =\frac { 17 }{ 3 } \\ \Rightarrow \frac { n }{ a } -1=\frac { 17 }{ 3 } \Rightarrow \frac { n }{ a } =\frac { 20 }{ 3 } \Rightarrow \frac { a }{ n } =\frac { 3 }{ 20 } =0.15$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
假設該數列有$a$個1及$(10-a)$個-1，則數列和為$a+(-1)\times(10-a)=2a-10,a=0,\dots,10$，共有11種值，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

不能有空盒，先各分一球給三個盒子，則題目變成甲+乙+丙=27，其中甲乙丙皆為非負整數，且甲、乙兩個盒子的球數為偶數。因此我們有

甲=0, 乙=0,2,4,...,26，共14種分法

甲=2, 乙=0,2,4,...,24，共13種分法

甲=4, 乙=0,2,4,...,22，共12種分法

.....

甲=26, 乙=0，共1種分法

總共有$14+13+12+...+1=\frac{15\times 14}{2}=105$種分裝方法，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$xy+z為奇數\Rightarrow \begin{cases} xy為偶數且z為奇數 \\ xy為奇數且z為偶數 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( 全部扣除xy皆為奇數 \right) 且z為奇數 \\ xy皆為奇數且z為偶數 \end{cases}\\ \Rightarrow 機率=\begin{cases} \left( 1-\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 3 }  \right) \times \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 5 }{ 24 }  \\ \frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 3 }{ 4 } =\frac { 3 }{ 24 }  \end{cases}=\frac { 5 }{ 24 } +\frac { 3 }{ 24 } =\frac { 1 }{ 3 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\sigma =\sqrt { E(X^{ 2 })-{ \bar { X }  }^{ 2 } } \Rightarrow 4^{ 2 }=\frac { x_{ 1 }^{ 2 }+x_{ 2 }^{ 2 }+\cdots +x_{ 5 }^{ 2 } }{ 5 } -3^{ 2 }\Rightarrow x_{ 1 }^{ 2 }+x_{ 2 }^{ 2 }+\cdots +x_{ 5 }^{ 2 }=125$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：由於$y=\frac{5}{4}x+20$，兩者為正線性相關，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\pi \approx 3.14\Rightarrow \frac { \pi  }{ 2 } <2<\frac { 2\pi  }{ 3 } \Rightarrow \sin { \frac { \pi  }{ 2 }  } >\sin { 2 } >\sin { \frac { 2\pi  }{ 3 }  } \Rightarrow 1>\sin { 2 } >\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\angle A+\angle B+\angle C=180^{ \circ  }\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \angle C+\frac { 2 }{ 3 } \angle C+\angle C=180^{ \circ  }\Rightarrow 2C=180^{ \circ  }\\ \Rightarrow \angle C=90^{ \circ  },\angle B=60^{ \circ  },\angle A=30^{ \circ  }\Rightarrow a:b:c=1:\sqrt { 3 } :2\\ \Rightarrow { \left( \frac { 2b }{ a+c }  \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { 2\sqrt { 3 } k }{ k+2k }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 12k^{ 2 } }{ 9k^{ 2 } } =\frac { 4 }{ 3 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：該直線通過$\left(0,-\frac{c}{b}\right)$及$\left(-\frac{c}{a},0\right)$；由於不通過第二象限，所以$-\frac{c}{a}>0$且$-\frac{c}{b}<0$，即$ac<0且bc>0$，兩者相乘可得$ac\times bc<0\Rightarrow abc^2<0\Rightarrow ab<0$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

$C:x^2+y^2-4x+2y-8=0\Rightarrow (x-2)^2+(y+1)^2=13\Rightarrow$圓心O=(2,-1)；令$\vec{u}=\vec{OA}=(2,3)$，則L的方向向量需與$\vec{u}$垂直。選項(A)的座標與點A的向量$\vec{v}=(4-1,2-4)=(3,-2)$且$\vec{u}\cdot\vec{v}=6-6=0$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\cos { \theta  } =\frac { \vec { u } \cdot \vec { v }  }{ \left| \vec { u }  \right| \left| \vec { v }  \right|  } \\ (A)\cos { \theta  } =\frac { 2\sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 5 } \times \sqrt { 3 }  } =\frac { 2\sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 15 }  } \\ (B)\cos { \theta  } =\frac { 2-\sqrt { 2 }  }{ \sqrt { 15 }  } \\ (C)\cos { \theta  } =\frac { -2-\sqrt { 2 }  }{ \sqrt { 15 }  } <0\\ (D)\cos { \theta  } =\frac { -2\sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 15 }  } <0$$ 只有(A),(B)的餘弦值為正值，其角度小於$90^\circ$，又選項(A)的餘弦值較大，其角度較小，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\begin{vmatrix} -a+3b & 2a+4b \\ -c+3d & 2c+4d \end{vmatrix}=\left( -a+3b \right) \left( 2c+4d \right) -\left( 2a+4b \right) \left( -c+3d \right) =2\left( \left( -a+3b \right) \left( c+2d \right) -\left( a+2b \right) \left( -c+3d \right)  \right) \\ =2\left[ -ac-2ad+3bc+6bd+ac-3ad+2bc-6bd \right] =2\left[ -2ad+3bc-3ad+2bc \right] =2\left[ 2\left( bc-ad \right) +3\left( bc-ad \right)  \right] \\ =2\left[ 5\left( bc-ad \right)  \right] =10\left( bc-ad \right) =-10\times \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=-10\times 3=-30$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
假設$P=(a,b,c),且|a|=|b|=|c|$；P到x軸的距離是2，即$b^2+c^2=2^2\Rightarrow 2b^2=4 \Rightarrow b^2=2$；P到原點的距離為$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{2+2+2}=\sqrt{6}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\frac { b }{ a } +\frac { a }{ b } \ge 2\sqrt { \frac { b }{ a } \times \frac { a }{ b }  } =2\Rightarrow \left( a+2b \right) \left( \frac { 1 }{ a } +\frac { 2 }{ b }  \right) \\ =1+2\times \frac { a }{ b } +2\times \frac { b }{ a } +4=5+2\left( \frac { b }{ a } +\frac { a }{ b }  \right) \ge 5+2\times 2=9$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

$$\vec { AB } =(1,4,-1),\vec { AC } =(3,4,0)\Rightarrow \vec { AB } \times \vec { AC } =\left( 4,-3,-8 \right) \\ \Rightarrow \triangle ABC=\frac { 1 }{ 2 } \left| \vec { AB } \times \vec { AC }  \right| =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 4^{ 2 }+(-3)^{ 2 }+(-8)^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 89 } >\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 81 } =4.5$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
A, B在平面E的異側$\Rightarrow (1-2\times 2+2\times 3-k)(3-2\times 2+2-k)<0 \Rightarrow (k-1)(k-3)<0\Rightarrow 1<k<3$；
A到E的距離大於B到E的距離，即 $$\left| \frac { 1-4+6-k }{ \sqrt { 1^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+2^{ 2 } }  }  \right| >\left| \frac { 3-4+2-k }{ \sqrt { 1^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+2^{ 2 } }  }  \right| \Rightarrow \left| 3-k \right| >\left| 1-k \right|$$ 只有$k=\frac{3}{2}$符合上述兩條件，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

通過(5,2,0)及(4,3,8)的直線方程式為$\frac { x-5 }{ -1 } =\frac { y-2 }{ 1 } =\frac { z }{ 8 } \Rightarrow \left( -t+5,t+2,8t \right)$
(A) $t=-1\Rightarrow \left( -t+5,t+2,8t \right)=\left( 6,1,-8 \right)$
(B) $t=3\Rightarrow \left( -t+5,t+2,8t \right)=\left( 2,5,24 \right)$
(C) $t=-2\Rightarrow \left( -t+5,t+2,8t \right)=\left( 7,0,-16 \right)$
以上三點皆在直線上，也就是三點都同時在$E_1及E_2$上，只有(D)不在直線上，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$det\left( B^{ 2 } \right) =0\Rightarrow det\left( \begin{bmatrix} 1 & x \\ 4 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & x \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \right) =det\left( \begin{bmatrix} 1+4x & 2x \\ 8 & 1+4x \end{bmatrix} \right) =0\\ \Rightarrow { \left( 4x+1 \right)  }^{ 2 }-16x=0\Rightarrow { \left( 4x-1 \right)  }^{ 2 }=0\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 4 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
恰r次成功的機率為$C^n_rp^r(1-p)^{n-r}$，其餘皆正確，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$f\left( \theta  \right) =2\cos { \theta  } -\sqrt { 5 } \sin { \theta  } +1=3\left( \frac { 2 }{ 3 } \cos { \theta  } -\frac { \sqrt { 5 }  }{ 3 } \sin { \theta  }  \right) +1\\ =3\left( \sin { \alpha  } \cos { \theta  } -\cos { \alpha  } \sin { \theta  }  \right) +1=3\sin { \left( \alpha -\theta  \right)  } +1\\ \Rightarrow x=3+1=4,y=-3+1=-2\Rightarrow x-2y=4+4=8$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\frac { { \left( \cos { 4° } +i\sin { 4° }  \right)  }^{ 10 }\times { \left( \cos { 5° } +i\sin { 5° }  \right)  }^{ 6 } }{ { \left( \cos { 2° } -i\sin { 2° }  \right)  }^{ 10 } } =\frac { \left( \cos { 40° } +i\sin { 40° }  \right) \times \left( \cos { 30° } +i\sin { 30° }  \right)  }{ \cos { 20° } -i\sin { 20° }  } \\ =\frac { \left( \cos { 40° } +i\sin { 40° }  \right) \times \left( \cos { 30° } +i\sin { 30° }  \right) \times \left( \cos { 20° } +i\sin { 20° }  \right)  }{ \left( \cos { 20° } -i\sin { 20° }  \right) \times \left( \cos { 20° } +i\sin { 20° }  \right)  } \\ =\frac { { \left( \cos { 5° } +i\sin { 5° }  \right)  }^{ 8 }\times { \left( \cos { 5° } +i\sin { 5° }  \right)  }^{ 6 }{ \times \left( \cos { 5° } +i\sin { 5° }  \right)  }^{ 4 } }{ \cos ^{ 2 }{ 20° } +\sin ^{ 2 }{ 20° }  } =\frac { { \left( \cos { 5° } +i\sin { 5° }  \right)  }^{ 18 } }{ 1 } \\ =\cos { 90° } +i\sin { 90° } =i$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { n }{ 3 } -\frac { 1^{ 2 }+2^{ 2 }+\cdots +n^{ 2 } }{ n^{ 2 } }  \right)  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { n }{ 3 } -\frac { n\left( n+1 \right) \left( 2n+1 \right)  }{ 6n^{ 2 } }  \right)  } \\ =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { 2n^{ 3 } }{ 6n^{ 2 } } -\frac { 2n^{ 3 }+3n^{ 2 }+n }{ 6n^{ 2 } }  \right)  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { -3n^{ 2 }-n }{ 6n^{ 2 } }  } =-\frac { 3 }{ 6 } =-\frac { 1 }{ 2 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\frac { 2x-1 }{ x+1 } =1\Rightarrow 2x-1=x+1\Rightarrow x=2\Rightarrow f\left( 1 \right) =3\times 2-2=4$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$x\rightarrow 3\Rightarrow \begin{cases} \left| 5-2x \right| =2x-5 \\ \left| x-2 \right| =x-2 \\ \left| x-5 \right| =5-x \\ \left| 3x-7 \right| =3x-7 \end{cases}\Rightarrow \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \frac { \left| 5-2x \right| -\left| x-2 \right|  }{ \left| x-5 \right| -\left| 3x-7 \right|  }  } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \frac { 2x-5-(x-2) }{ 5-x-(3x-7) }  } \\ =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \frac { x-3 }{ -4x+12 }  } =-\frac { 1 }{ 4 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$(A)\bigcirc :5250=2\times 3\times 5^{ 3 }\times 7\Rightarrow 分母不可為3的倍數,也不可為7的倍數\Rightarrow n必為21的倍數\\ (B)\bigcirc :(a-b)^{ 2 }=(a+b)^{ 2 }-4ab=有理數-無理數\Rightarrow a-b為無理數\\ (C)\times :a^{ 2 }-b^{ 2 }=(a+b)(a-b)\Rightarrow 0=0\times (a-b)\Rightarrow a-b不一定是有理數\\ (D)\bigcirc :a^{ 2 }=\frac { a^{ 5 } }{ a^{ 3 } } =\frac { 有理數 }{ 有理數 } \Rightarrow a^{ 2 }為有理數\Rightarrow a^{ 2018 }=a^{ 3\times 672+2 }=a^{ 3\times 672 }\times a^2=有理數\times 有理數$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(ABD)}$

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解：
(A) $\bigcirc:$共軛複數皆為其解
(B)$\bigcirc:$過三點$(0,0), (3,\sqrt{3}),(3,-\sqrt{3})$的圓心座標為$(r,0)$，則$\sqrt{(r-3)^2+3}=r\Rightarrow -6r+12=0\Rightarrow r=2\Rightarrow$圓面積=$r^2\pi=4\pi$
(C)$\bigcirc: f(x)$為三次式，至少有一實根k，在複數平面的座標為(k,0)，且在圓方程式:$(x-2)^2+y^2=2^2$上，即$(k-2)^2=4\Rightarrow k=4(原點不為其根,a=0不合)$
(D)$\times: f(x)=(x-4)(x-(3+\sqrt{3}i))(x-(3-\sqrt{3}i))$
$=(x-4)(x^2-6x+12)\Rightarrow f(3)=(-1)\times 3=-3$
(E)$\times: a+b+c=f(1)-1=(-3)\times 7-1=-21-1=-22$,不是3的倍數
故選$\bbox[red,2pt]{(ABC)}$

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解：
(A) $\times$: 首數為n，代表a為(n+1)位數，$a^2$為$2(n+1)=2n+2$位數
(C)$\times: a=5\Rightarrow n=0; a=\frac{1}{5}\Rightarrow 首數=-1\ne 0$
故選$\bbox[red,2pt]{(BDE)}$

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解：

(B)$\times:   \overline{AC}=b=c\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}>1.5\Rightarrow$此三角形不存在
(C)$\times:$三角形等比例放大縮小，其三角度數不變，非唯一
(D)$\times:a+b=5\ngtr c$，不符合兩邊和大於第三邊

故選$\bbox[red,2pt]{(AE)}$

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解： $$(A)\bigcirc :\left< a_{ 1 }+a_{ 2 },a_{ 3 }+a_{ 4 },a_{ 5 }+a_{ 6 },a_{ 7 }+a_{ 8 },a_{ 9 }+a_{ 10 } \right> =\left< 2a_{ 1 }+d,2a_{ 1 }+5d,2a_{ 1 }+9d,2a_{ 1 }+13d,2a_{ 1 }+17d \right> \\ 為一等差數列,首項為2a_{ 1 },公差為4d\\ (B)\times :\frac { \log { x^{ n } }  }{ \log { x^{ n-1 } }  } =\frac { n }{ n-1 } \times \frac { \log { x }  }{ \log { x }  } =\frac { n }{ n-1 } \Rightarrow 比值不固定,非等比數列\\ (C)\bigcirc :\frac { { \left( -1 \right)  }^{ n+1 }{ 3 }^{ x+n } }{ { \left( -1 \right)  }^{ n }{ 3 }^{ x+n-1 } } =\left( -1 \right) \times 3=-3\Rightarrow \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ k+1 }{ 3 }^{ x+k } } 為公比為-3的等比級數\\ (D)\times :\left| r \right| =3>1\Rightarrow 級數不存在\\ (E)\times :\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ n } +\frac { 1 }{ n } +\cdots +\frac { 1 }{ n }  \right)  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { 3n }{ n }  \right)  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( 3 \right)  } =3\neq 0$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(AC)}$

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解：
(A)$\times:P(A\cap B)=P(\emptyset)=0\ne P(A)\times P(B)\Rightarrow A, B$非獨立事件
(E)$\times:$三事件獨立，尚需滿足$P(A\cap B\cap C)=P(A)\times P(B)\times P(C)$

故選$\bbox[red,2pt]{(BCD)}$

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解：
(A)$\times:   L_1$與$L_3$可能平行或歪斜
(C)$\times:$可能平行也可能相交
(D)$\times:$若$L_1//L_2$，則$L$可能在E上
故選$\bbox[red,2pt]{(BE)}$

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解： $$(A)\times :A=\begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix}\Rightarrow det(A)=0\Rightarrow A^{ -1 }不存在\\ (B)\bigcirc \\ (C)\bigcirc \\ (D)\bigcirc \\ (E)\times :AB不一定等於BA，所以(A-B)^{ 2 }=A^{ 2 }-AB-BA-B^{ 2 }不一定等於A^{ 2 }-2AB-B^{ 2 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(BCD)}$

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解： $$(A)\bigcirc :P_{ 10 }=1024\times P_{ 0 }\Rightarrow p^{ 10 }=1024(1-p)^{ 10 }=2^{ 10 }\times (1-p)^{ 10 }\Rightarrow p=2(1-p)\Rightarrow p=\frac { 2 }{ 3 } \\ (B)\times :P_{ 0 }+P_{ 1 }+\cdots +P_{ 10 }=\sum _{ n=0 }^{ 10 }{ C^{ 10 }_{ n }p^{ n }(1-p)^{ 10-n } } ={ \left[ p+\left( 1-p \right)  \right]  }^{ 10 }=1\\ \Rightarrow \left( P_{ 0 }+P_{ 1 }+\cdots +P_{ 10 } \right) \div 11=\frac { 1 }{ 11 } \\ (C)\times :\begin{cases} P_{ 6 }=C^{ 10 }_{ 6 }{ \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 6 }{ \left( \frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ 4 }=210\times \frac { { 2 }^{ 6 } }{ 3^{ 10 } }  \\ P_{ 7 }=C^{ 10 }_{ 7 }{ \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 7 }{ \left( \frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ 3 }=240\times \frac { { 2 }^{ 6 } }{ 3^{ 10 } } = \end{cases}\Rightarrow P_{ 7 }>P_{ 6 }\Rightarrow P_{ 6 }不是最大值\\ (D)\bigcirc :P_{ 4 }=C^{ 10 }_{ 4 }{ \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 4 }{ \left( \frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ 6 }=210\times \frac { { 2 }^{ 4 } }{ 3^{ 10 } } <P_{ 6 }\\ (E)\times :第n次投擲出現正面的機率都是p\neq P_{ 1 }=C^{ 10 }_{ 1 }p(1-p)^{ 9 }$$
故選$\bbox[red,2pt]{(A,D)}$

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解：

$\tan{x}$的週期為$\pi$，(A)及(B)的週期皆為$2\pi$；(C)$\cot{x}$的週期與$\tan{x}$相同；(D)$\sin{2x}$的週期為$\pi$；(E)$\sin{\frac{x}{2}}$的週期為$4\pi$；故選$\bbox[red,2pt]{(C,D)}$

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-- END --