108年國中教育會考數學詳解

108年國中教育會考數學詳解

解：
$$-\frac { 5 }{ 3 } -\left( -\frac { 1 }{ 6 } \right) =-\frac { 5 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 6 } =-\frac { 10 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 6 } =-\frac { 9 }{ 6 } =-\frac { 3 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
105年至107年人口數量：(肉眼觀察)
南區：1250, 2400, 2000、北區：1000, 2000, 3200；
南區加北區：2250, 4400, 5200；
因此總人口逐年增加，$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\left( 2x-3 \right) \left( 3x+4 \right) =6x^2+8x-9x-12=6x^2-x-12，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
圖(三)的底面由四個三角形組成，因此表面積為$4a$，兩個底面的面積為$2\times 4a=8a$；
圖(三)的側面由兩個矩形組成，因此表面積為$2b$，三個側面的面積為$3\times 2b=6b$；

因此總表面積為$8a+6b$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{cases} \sqrt { 44 } =\sqrt { 2^{ 2 }\times 11 } =2\sqrt { 11 } =2\sqrt { a } \\ \sqrt { 54 } =\sqrt { 3^{ 2 }\times 6 } =3\sqrt { 6 } =3\sqrt { b } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=11 \\ b=6 \end{cases}\Rightarrow a+b=11+6=17，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$430萬瓩=430\times 萬\times 千瓦=430\times 10000\times 1000瓦=430\times 10^7瓦=4.3 \times 10^9 瓦，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$過(-3,4)且與y軸垂直的直線為y=4，因此該直線經過D，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
$$5x^2+17x-12=(x+4)(5x-3)=(x+a)(bx+c)\Rightarrow \begin{cases}a=4\\b=5\\c=-3\end{cases} \Rightarrow a+c=4-3=1\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

每個灰色正方形的左邊有兩個緊臨的白色等腰三角形，還有編號1、編號2、編號3及編號4的三角形(見上圖)，因此三角形共有$40\times 2+4=84$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

$$|d-5|=|d-c|\Rightarrow \overline{DB}= \overline{DC}\Rightarrow D為\overline {BC}的中點(見上圖)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

假設較短的底邊為$a=\overline{GC}=\overline{AE}\Rightarrow \overline{ED}=20-a$，見上圖；
由於$\angle EGF=45^\circ\Rightarrow \triangle EFG$為等腰直角三角形；
因此$\overline{FG}=\overline{EF}=\overline{DC}=8 \Rightarrow \overline{BG}=a+8$
由於兩梯形全等，所以$\overline{ED}=\overline{BG} \Rightarrow 20-a=a+8 \Rightarrow 2a=12\Rightarrow a=6$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：假設阿花買了桂圓蛋糕$a$盒，買了金棗蛋糕$10-a$盒；由題意可知:  $$\begin{cases} 350a+200(10-a)\le 2500 \\ 12a+6(10-a)\ge 75 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 150a\le 500 \\ 6a\ge 15 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 150a\le 500 \\ 6a\ge 15 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a\le \frac { 10 }{ 3 } \\ a\ge \frac { 5 }{ 2 } \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { 5 }{ 2 } \le a\le \frac { 10 }{ 3 } \Rightarrow a=3(a為整數)\Rightarrow 共花了350\times 3+200(10-3)\\ =1050+1400=2450元，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

假設$\angle BAD=a, \angle DAC=b$，見上圖；
$\overline{AB}$為對稱軸$\Rightarrow \angle EAB=\angle BAD=a$；
$\overline{AC}$為對稱軸$\Rightarrow \angle FAC=\angle DAC=b$；在$\triangle ABC\Rightarrow \angle A=a+b=180-\angle B-\angle C=180^\circ-62^\circ-51^\circ =67^\circ$
$\Rightarrow \angle EAF=2(a+b)=2\times 67^\circ=134^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
抽球後放回，所以每次抽到紅(或白)球的機率都一樣，也就是(紅球數/總球數)=2/55，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

由於$\overline{AC}=\overline{BC}$，因此假設$\angle A= \angle B=a \Rightarrow \angle C=180-2a$；
又$\overline{BC}<\overline{AB}\Rightarrow \angle A<\angle C\Rightarrow a<180-2a\Rightarrow 3a<180$；
$\angle A+\angle 2=a+2a=3a<180$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
假設咖啡每公克售價$a$元；由小涵自備容器花了295元買了250公克的咖啡可知: $250a-5=295 \Rightarrow a=300/250$；因此阿嘉沒有自備容器花了$y$元買了$x$公克可知: $x\times a=y \Rightarrow y =\frac{300}{250}x$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

PQRS為平行四邊形$\Rightarrow \overline{PQ}//\overline{SR} \Rightarrow \triangle APQ\sim \triangle ABC \Rightarrow \frac{\overline{DE}}{\overline{DF}}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{BC}} =\frac{3}{7} \Rightarrow$ 假設$\overline{DE}=3h, \overline{DF}=7h \Rightarrow \overline{EF}=7h-3h=4h$，見上圖；
三角形ABC面積=14$\Rightarrow \overline{BC}\times\overline{DF}\div 2=14 \Rightarrow 7\times 7h \div 2=14 \Rightarrow h=\frac{4}{7}$；
平行四邊形PQRS面積=$\overline{SR}\times \overline{EF}=3\times 4h=12h=12\times\frac{4}{7}=\frac{48}{7}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

轉一圈需30分鐘，因此兩車廂間隔$30/36=5/6$分鐘；

21號至9號相差$36-21+9=24$個車廂，間隔$24\times \frac{5}{6}=20$分鐘，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

假設圓與$\overline{AC}$的切點為$F$，因此$\overline{CF}=\overline{CE}=4$；$\overline{BE}=\overline{BD}=1$；並假設$\overline{AF}=\overline{AD}=a$，見上圖；
由於三角形ABC為直角三角形，所以$\overline{AC}^2=\overline{BC}^2+\overline{AB}^2$，即$(a+4)^2=5^2+(a+1)^2\Rightarrow 6a=10\Rightarrow a=5/3$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
假設旅行團選擇甲案(來回均坐車)共有$a$人，選擇乙案(1次搭車、1次步行)共有$b$人；
因此搭纜車總人次為$2a+b=15+10\Rightarrow 2a+b=25$；而總花費$300a+200b=4100$； $$\begin{cases} 300a+200b=4100 \\ 2a+b=25 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3a+2b=41 \\ 2a+b=25 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=9 \\ b=7 \end{cases}\Rightarrow 總人數a+b=16$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} A+B+C=10 \\ B+C=x \\ C=y \end{cases}\Rightarrow A=10-(B+C)=10-x，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：由題意知： $$\begin{cases} 420=35\times 12 \\ a=35\times b \end{cases}且12與b互質$$
20若是a的因數，則2是a的因數；又2也是420的因數，因此最大公因數至少是$35\times 2=70$；因此(A)與(B)是錯誤的！
又$25=5\times 5$，5是420的因數，但25不是420的因數；因此25可能是$a$的因數。
，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
內心就是三角形內切圓的圓心，也就是內心至三邊等矩，就是內切圓的的半徑長。因此I至L的矩離與I'至L的矩離都是內切圓半徑長，所以$\overline{II'}$與直線L平行；
由於$\angle C\ne \angle A=\angle A' \Rightarrow \angle ICB\ne \angle I'A'C \Rightarrow \overline{IC}$和$\overline{I'A'}$不平行；
由以上兩點，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

若$Q=C \Rightarrow \angle APQ=\angle APC= (180+45)\div 2= 112.5^\circ <130^\circ$；
若$Q=B \Rightarrow \angle APQ=\angle APB= (180+90)\div 2= 135^\circ >130^\circ$；
因此$Q$在$\overset{\frown}{BC}$；
若$Q$在$\overset{\frown}{BC}$的中點，則 $\angle APQ=\angle APB= (180+45+22.5)\div 2= 123.75^\circ <130^\circ$；因此$Q$比較接近$B$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

甲的作法：如上圖，直線L是$\overline{AD}$的中垂線，並交$\overline{AB}$於P點，交$\overline{AC}$於Q點；由於L是中垂線，所以$\overline{PA}=\overline{PD}$且$\overline{QA} =\overline{QD}$，$\triangle APQ$與$\triangle PDQ$符合SSS要求，兩三角形全等(對應點不完全正確)；

乙的作法：如上圖，$\overline{QD}//\overline{AP}$且$\overline{AQ}//\overline{PD}$，因此APDQ為一平行四邊形，所以$\triangle APQ$與$\triangle DQP$(不是$\triangle PDQ$)全等；
嚴格來說：$\triangle ABC\cong \triangle DEF$頂點應相呼應!!!!!
依照心測中心的試題疑義回應，維持原答案，即$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

由題意可知拋物線方程式為 $y=a(x+3)^2, a>0$；

$$\triangle ABC為正三角形\Rightarrow \triangle CAD三個角分別為30^\circ-60^\circ-90^\circ\\ \overline{CD}=2\Rightarrow \overline{AD}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow C=(-3+\frac{2}{\sqrt{3}}, 2) 代入方程式可得 2=a(\frac{2}{\sqrt{3}})^2\Rightarrow a=\frac{3}{2}\\\Rightarrow 拋物線方程式為 y=\frac{3}{2}(x+3)^2，當x=0時，y=\frac{3}{2}\times 3^2=\frac{27}{2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\left( 1 \right) 0.9=\frac { SPF-1 }{ SPF } \Rightarrow 0.1\times SPF=1\Rightarrow SPF=\bbox[red,2pt]{10}\\ \left( 2 \right) \begin{cases} 第1代防護率=\frac { 25-1 }{ 25 } =0.96 \\ 第2代防護率=\frac { 50-1 }{ 50 } =0.98 \end{cases}\Rightarrow 防護率增加\frac { 98-96 }{ 98 } \approx 0.02\Rightarrow 文宣\bbox[red,2pt]{不合理}$$

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解：

(1) $\frac{90}{60}=\frac{150}{敏敏影長}\Rightarrow 敏敏影長=\bbox[red,2pt]{100}公分$
(2)$\frac{90}{60}=\frac{b}{120+a}\Rightarrow b=(120+a)\frac{3}{2}$；又$\frac{a}{120+a}=\frac{150}{b}\Rightarrow b=\frac{150(120+a)}{a}$
因此$(120+a)\frac{3}{2}=\frac{150(120+a)}{a}\Rightarrow a=100 \Rightarrow b=(120+100)\frac{3}{2}=330$，因此高圓柱高度為$\bbox[red,2pt]{330}$公分。

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--end-- 解題僅供參考