108年大學指考數學乙詳解

108學年度指定科目考試試題

數學乙

第壹部分：選擇題（占 74 分 ）
一、單選題

解：

$$\begin{cases} a=0.\overline{12}=\frac{12}{99}\\b=0.\overline{01} =\frac{1}{99} \end{cases} \Rightarrow a-b=\frac{11}{99}=0.\overline{11}=0.\bar{1}=\frac{1}{9}，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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解：

$$(x,y)需同時符合\begin{cases} y<2x \\ y<-3x+5 \end{cases}\\ (1)(20,-56)均符合\\ (2)(13,-33)\Rightarrow -33\nless -3\times (13)+5=-34\\ (3)(-1,1)\Rightarrow 1\nless 2\times (-1)=-2\\ (4)(-15,-29)\Rightarrow -29\nless 2\times (-15)=-30\\ (5)(-20,-29)\Rightarrow -29\nless 2\times (-20)=-40\\，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

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解：

$$\begin{bmatrix} a_{ 1 } & a_{ 2 } \\ a_{ 1 } & a_{ 2 } \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} b_{ 1 } \\ b_{ 2 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} a_{ 1 }b_{ 1 }+a_{ 2 }b_{ 2 } \\ a_{ 1 }b_{ 1 }+a_{ 2 }b_{ 2 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \vec { A } \cdot \vec { B } \\ \vec { A } \cdot \vec { B } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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二、多選題

解： $$\begin{cases}10\le\log{(ab)}<11\\ 1\le \log{(a/b)}<2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}10\le\log{a}+\log{b}<11\\ 1\le \log{a}-\log{b}<2\end{cases} \Rightarrow 11\le 2\log{a}<13 \Rightarrow 5.5\le \log{a}<6.5\\ \Rightarrow \log{a}的整數部分可能是5或6\Rightarrow a是6位數或7位數，故選\bbox[red,2pt]{(2,3)}。$$

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解：
(1) $$\times:中心放\bigcirc，剩下4個\bigcirc，其中3個放在2、4、6、8的三個位置，\\一定會造成(2, 5, 8)或(4,5,6)全都是\bigcirc，不符要求$$
(2) $$\bigcirc:中心放\bigcirc，若3個\bigcirc放在角上，會造成對角線全都是\bigcirc；若1個\bigcirc放在角上，\\剩下3個\bigcirc就必須放在邊上，會造成行或列全都是\bigcirc；因此一定是剛好有兩個\bigcirc放在角上$$ (3) $$\times: 右圖只有一個\times放在角上\begin{array}{c|c|c}\bigcirc&\bigcirc&\times\\\hline \times&\times&\bigcirc\\\hline \bigcirc&\times &\bigcirc\end{array}$$ (4) $$\bigcirc:先找到一個，再右旋7次，共有8個，如下\\\begin{array}{c|c|c}\bigcirc&\bigcirc&\times\\\hline \times&\bigcirc&\bigcirc\\\hline \bigcirc&\times &\times\end{array} \Rightarrow \begin{array}{c|c|c}\times&\bigcirc&\bigcirc\\\hline \bigcirc&\bigcirc&\times\\\hline \times &\times &\bigcirc\end{array} \Rightarrow \begin{array}{c|c|c}\bigcirc&\times&\bigcirc\\\hline \times&\bigcirc&\bigcirc\\\hline \times&\bigcirc &\times\end{array} \Rightarrow \begin{array}{c|c|c}\times&\bigcirc&\times\\\hline \times &\bigcirc&\bigcirc\\\hline \bigcirc &\times &\bigcirc\end{array} \Rightarrow \\ \begin{array}{c|c|c}\times&\times&\bigcirc\\\hline \bigcirc &\bigcirc&\times\\\hline \times&\bigcirc &\bigcirc\end{array} \Rightarrow \begin{array}{c|c|c}\bigcirc&\times&\times\\\hline \times&\bigcirc&\bigcirc\\\hline \bigcirc &\bigcirc &\times\end{array} \Rightarrow \begin{array}{c|c|c}\times&\bigcirc&\times\\\hline \bigcirc&\bigcirc&\times\\\hline \bigcirc&\times &\bigcirc\end{array} \Rightarrow \begin{array}{c|c|c}\bigcirc&\times&\bigcirc\\\hline \bigcirc &\bigcirc&\times\\\hline \times &\bigcirc &\times\end{array}$$ (5) $$\times:同理，先畫一個再旋轉，不只四個，如下:\\\begin{array}{c|c|c}\times&\bigcirc&\bigcirc\\\hline \bigcirc&\times&\times \\\hline \times&\bigcirc &\bigcirc \end{array} \Rightarrow \begin{array}{c|c|c}\bigcirc&\times&\bigcirc\\\hline \times&\times&\bigcirc\\\hline \bigcirc &\bigcirc &\times\end{array} \Rightarrow \begin{array}{c|c|c}\times &\bigcirc &\times \\\hline \bigcirc&\times&\bigcirc\\\hline \bigcirc&\times &\bigcirc\end{array} \Rightarrow \begin{array}{c|c|c}\bigcirc &\times&\bigcirc\\\hline \bigcirc &\times&\times\\\hline \times &\bigcirc &\bigcirc\end{array} \Rightarrow \\ \begin{array}{c|c|c}\bigcirc&\bigcirc&\times\\\hline \times&\times &\bigcirc\\\hline \bigcirc&\bigcirc &\times\end{array} \cdots$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2,4)}$

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解： $$(1)\times:兩人收集的6款可能完全一樣\\ (2)\bigcirc:甲收集1-7款，乙收集8-10加上1-7的其中四款，因此至少有4款是兩人都擁有\\ (3)\times: 甲1-6，乙5-10，丙3-4,7-10，沒有公仔是三人共有的\\ (4)\times: 甲1-7、乙4-10、丙1-3,7-10，因此三人共有的只有7\\ (5)\bigcirc: 甲乙共同擁有至少6個，最多4個不是共同擁有；丙收集甲乙兩人非共同擁的4個，\\再加上甲乙共同擁有的4個，因此三人交集至少4個$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2,5)}$

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解： $$(1)無法判定\\ (2)五天騎車最多花40\times 5=200分鐘；四天騎車+一天走路最少花30\times 4+60=180；200\nless 180\\(3)若四天步行(費時240分)+1天騎車(至少30分)>270；\\若二天步行(費時120分)+三天騎車(最多花120分)=240<250；因此一定是三天步行，兩天騎車 \\ (4)兩天通勤時間至少90分，代表最多一天騎車，也就是兩天通勤的方式為\\(騎車,步行), (步行, 騎車), (步行,步行) ，機率為3/4=0.75\\ (5)若第一天T=37，第二天T=40，機率為0.2\times 0.1=0.02\ne 0.01$$

故選$\bbox[red,2pt]{(3,4)}$

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三、選填題

解：
$$此三位數可能為100-999，共有900種\\符合a+b+c =9\Rightarrow \begin{array}{c|c|c} a&b+c&個數\\\hline 1&8&(0,8)-(8,0)共9種\\\hline 2&7&(0,7)-(7,0)共8種\\\hline \cdots&\cdots&\cdots \\\hline 8& 1&(0,1)-(1,0)共2種\\\hline 9&0&(0,0)共1種\end{array}\Rightarrow 共有9+8+\cdots+1=45種\\ \Rightarrow 機率為\frac{45}{900}= \bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 20 }}$$

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解：

$$f\left( x \right) =p\left( x \right) \left( x^{ 2 }+2 \right) +\left( x+1 \right) \Rightarrow xf\left( x \right) =xp\left( x \right) \left( x^{ 2 }+2 \right) +x\left( x+1 \right) \\ =xp\left( x \right) \left( x^{ 2 }+2 \right) +\left( x^{ 2 }+2 \right) +\left( x-2 \right) =\left( xp\left( x \right) +1 \right) \left( x^{ 2 }+2 \right) +\left( x-2 \right) \\ \Rightarrow \left( a,b \right) =\bbox[red,2pt]{\left( 1,-2 \right)}$$

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解：

點數和為6：(1,5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，共5種情況；
至少有一顆點數為6：(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)，共11種情況；
可獲獎金的機率為 $(5+11)/36=16/36$，期望值為$36\times \frac{16}{36}=\bbox[red,2pt]{16}$元。

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第貳部分：非選擇題

解：
(1) $$\overrightarrow { DC } =\overrightarrow { DO } +\overrightarrow { OC } =-3\overrightarrow { OB } -3\overrightarrow { AO } =-3\left( \overrightarrow { AO } +\overrightarrow { OB }  \right) =-3\overrightarrow { AB } =-3\left( 3,-4 \right) =\bbox[red,2pt]{\left( -9,12 \right)}$$
(2) $$\begin{cases} \overrightarrow { CO } =-3\overrightarrow { OA } =-3\left( 1,2 \right) =\left( -3,-6 \right)  \\ \overrightarrow { CD } =-\overrightarrow { DC } =-\left( -9,12 \right) =\left( 9,-12 \right)  \end{cases}\Rightarrow \triangle COD=\frac { 1 }{ 2 } \left\| \begin{matrix} -3 & -6 \\ 9 & -12 \end{matrix} \right\| \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left| 36+54 \right| =\frac { 1 }{ 2 } \times 90=\bbox[red,2pt]{45}$$

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解：
(1)假設訂購重機$x$部、汽車$y$部，此問題的線性規劃為： $$\begin{cases} 25x+60y\le 5400 \\ 0\le x/2+y\le 100 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x+12y\le 1080 \\ 0\le x+2y\le 200 \end{cases}，目標函數為f(x,y)=2.3x+5y(單位:萬元)$$
(2)  可行解區域如下圖斜線區域

(3)   將可行解區域接近各頂點之格子點代入目標函數，求其最大值，即 $$\begin{cases} f(0,90)=5\times 90=450 \\ f(120,40)=2.3\times 120+5\times 40=476 \\ f(200,0)=200\times 2.3=460 \end{cases}\Rightarrow 應訂購\bbox[red,2pt]{重機120部、汽車40部，可得最大利潤476萬元}$$
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