教育部受託辦理107學年度
公立高級中等學校教師甄選
數學科試題
公立高級中等學校教師甄選
數學科試題
第一部分:選擇題
一、單選題
解:
{A(0,0,0)B(2,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)E(1,0,0)F(0,1,0)G(2,2,1)⇒{→GE=(−1,−2,−1)→GF=(−2,−1,−1)⇒→n=→GE×→GF=(1,1,−3)平面EFG:(x−1)+y−3z=0⇒x+y−3z−1=0⇒D至平面EFG的距離=0+2+0−1√12+12+32=1√11,故選(A)
{log8a+log4b=3log8b+log4a=7⇒{13log2a+12log2b=313log2b+12log2a=7,兩式相加⇒56(log2a+log2b)=10⇒log2ab=12⇒ab=212=4096,故選(D)
解:
b為偶數⇒(a,b,c)共有6×3×6=108種組合;|abbc|>0⇒ac>b2⇒b(偶數)ac數量215−6223−643−42−6105−61−612436145−6254−6363−64共38⇒機率為38108≈0.352,故選(C)
解:
令{f(a,b)=√2a+1+√3b+2g(a,b)=a+b−2,由Lagrange 算子可得{∂∂af=λ∂∂ag∂∂bf=λ∂∂bgg=0⇒{1√2a+1=λ⋯(1)32√3b+2=λ⋯(2)a+b=2⋯(3),由(1)及(2)⇒1√2a+1=32√3b+2⇒12a+1=912b+8⇒18a−12b+1=0⋯(4)由(3)及(4)⇒{a=23/30b=37/30⇒f(23/30,37/30)=√4630+1+√11130+2=√7630+√17130=2√19√30+3√19√30=5√19√30=5√57030=√5706,故選(B)
解:
紅球R,藍球B,黃球Y,現有RRRBBY分給三人a,b,c;⇒abcRRRBBYRYBBBBRYBYRBRBRRBYRBRYRYRBBYRRRYRRBBRBRBBBRRBBRRRYRYRRBYRRRBRBRR⇒共15種分法,故選(B)
解:
{a+b+c+d+e=10a2+b2+c2+d2+e2=205/4⇒{a+b+d+e=10−ca2+b2+d2+e2=205/4−c2柯西不等式:(a2+b2+d2+e2)(12+12+12+12)≥(a+b+d+e)2⇒(2054−c2)×4≥(10−c)2⇒205−4c2≥c2−20c+100⇒5c2−20c−105≤0⇒c2−4c−21≤0⇒(c−7)(c+3)≤0⇒−3≤c≤7⇒{k=7t=−3,故選(A)
解:
{6≤x+y≤8−2≤2x+y≤0⇒封閉區域頂點{P(16,−8)Q(18,−10)R(14,−8)S(12,−6);→A⋅→B=|→A||→B|cos60∘=1×2×12=1⇒→u⋅→v=(→A+→B)⋅(x→A+y→B)=x|→A|2+(x+y)→A⋅→B+y|→B|2=x+(x+y)+4y=2x+5y;令f((x,y))=2x+5y⇒{f(P)=32−40=−8f(Q)=36−50=−14f(R)=28−40=−12f(S)=24−30=−6⇒→u⋅→v最大值為−6,故選(C)
解:
正弦定理:¯ACsin∠B=¯ABsin∠C=2R⇒25/13sin∠B=3sin∠C=2×52=5⇒{sin∠B=5/13sin∠C=3/5⇒{cos∠B=12/13cos∠C=−4/5⇒¯BC=¯AB⋅cos∠B+¯AC⋅cos∠C=3613−2013=1613再由餘弦定理:cos∠BAC=32+(25/13)2−(16/13)22⋅3⋅(25/13)=9+36916915013=1890169×13150=6365,故選(D)
二、複選題

解:
a−c2b=a−b2c⇒ac−c22bc=ab−b22bc⇒ac−c2=ab−b2⇒b2−c2=ab−ac⇒{b=c⋯(1)b+c=a⇒aa+b+c=a2a=12同理,b+c2a=a−c2b⇒b2+bc=a2−ac⇒c(a+b)=(a+b)(a−b)⇒{a=−b⋯(2)b+c=a,由(1)及(2)⇒{a=−bc=b⇒aa+b+c=−bb=−1因此aa+b+c=−1,12,故選(BC)
解:
f(x)=x3−kx=x(x2−k)=0⇒x=−√k,0,√k⇒∫10|f(x)|dx=|∫√k0f(x)dx|+|∫1√kf(x)dx|=|[14x4−k2x2]|√k0|+|[14x4−k2x2]|1√k|=14k2+14(k−1)2=14(2(k−12)2+12)⇒k=12時,∫10|f(x)|dx有最小值:14⋅12=18⇒{a=1/2b=1/8,故選(AC)
解:
(A)◯:bnbn−1=2an2an−1=2an−an−1=2d⇒<bn>為公比2d的等比數列(B)×:d>0⇒r=2d>1(C)◯:{b1=2a1=21=2r=2d=√2⇒bn>4096⇒b1rn−1=2⋅2(n−1)/2=2(n+1)/2>4096=212⇒n+12>12⇒n>23⇒n=24(D)◯:n∑i=1ai=2a1+(n−1)d2⋅n=2+(n−1)/22⋅n=22⇒(n+11)(n−8)=0⇒n=8⇒8∑i=1bi=b1−b1r81−r=2−2⋅241−√2=(25−2)(√2+1)=30(1+√2),故選(ACD)
解:
(A)◯:迴歸直線必經(50,M)⇒M=34×50+20=57.5(B)◯:相關係數r⇒34=r×σyσx⇒r=34×812=0.5(C)×:迴歸直線只是推估,不能保證(D)◯:σy>σx⇒物理成績較分散,故選(ABD)
第二部份:綜合題
一、填充題
(sin263∘−3sin227∘)(sin29∘−3cos2171∘)=(cos227∘−3(1−cos227∘))(sin29∘−3cos29∘)=(−3+4cos227∘)(sin29∘−3(1−sin29∘))=(−3+4cos227∘)(−3+4sin29∘)=cos27∘(−3+4cos227∘)sin9∘(−3+4sin29∘)cos27∘sin9∘=−cos81∘sin27∘cos27∘sin9∘(∵{cos(3x)=4cos3x−3cosxsin(3x)=−4sin3x+3sinx)=−sin9∘sin27∘cos27∘sin9∘=−tan27∘=tan(360∘−27∘)=tan333∘⇒θ=333∘
解:
a2=2+1=3=a1+3a3=3+2√4+1=8=a2+5a4=8+2√9+1=15=a3+7⋯⋯+an=an−1+(2n−1)an=3+5+7+⋯+2n−1=∑nk=2(2k−1)⇒a30=30∑k=2(2k−1)=32×29−29=899
解:
令g(x)=xf(x)⇒{g(0)=0g(t)=tf(t)=12,t=1−2019⇒g(t)=a(t−1)(t−2)⋯(t−2019)+12⇒g(0)=a×−2019!+12=0⇒a=12×2019!⇒g(2020)=a×2019!+12=12+12=1⇒f(2020)=12020×g(2020)=12020
解:
12×3×4×5+13×4×5×6+14×5×6×7+15×6×7×8+⋯=13(12×3×4−13×4×5)+13(13×4×5−14×5×6)+13(14×5×6−15×6×7)+13(15×6×7−16×7×8)+⋯=13×12×3×4=172
解:
A=[10−12]⇒A2=[10−12][10−12]=[10−34]⇒A4=[10−34][10−34]=[10−1516]⇒A8=[10−1516][10−1516]=[10255256]=[1001]+255[00−11]⇒(a,b)=(1,255)
解:
{P(x,−x2+5x+1)Q(x,−x+6)⇒¯PQ=−x2+5x+1+x−6=−(x2−6x+9)+4=−(x−3)2+4≤4⇒最大值為4
解:
n12log2n−1[12log2n−1]小計1−3[−1,0)−1−34−15[0,1)0016−63[1,2)14864−100[2,3)274119⇒119
解:
(√m+√m2−n+√m−√m2−n)2=62⇒2m+2√n=36⇒n=(m−18)2由m2≥n⇒n=(m−18)2=m2−36m+182⇒−36m+182≤0⇒m≥9⇒∑n=92+82+⋯+12=9×10×196=285
解:
an=an−1−an−2,n≥3⇒a1=a1a2=a2a3=a2−a1a4=a3−a2=a2−a1−a2=−a1a5=a4−a3=−a1−(a2−a1)=−a2a6=a5−a4=−a2−(−a1)=−a2+a1a7=a6−a5=−a2+a1−(−a2)=a1a8=a7−a6=a1−(−a2+a1)=a2a9=a8−a7=a2−a1⋯⇒{am=an,if (mmod6)=(nmod6)∑n+5k=nak=0,k≥1{∑40n=1an=30∑80n=1an=78⇒{a37+a38+a39+a40=30a79+a80=78⇒{a1+a2+a3+a4=30a1+a2=78⇒{a1+a2+(a2−a1)+(−a1)=30a1+a2=78⇒{2a2−a1=30a1+a2=78⇒{a1=42a2=36123∑n=1an=a121+a122+a123=a1+a2+a3=2a2=72
二、計算證明題
f(x)=x3−4x2+2x+4=(x−2)(x2−2x−2),因此f(x)=0⇒x=0,1±√3⇒{α=1−√3β=2γ=1+√3⇒1x−α+1x−β+1x−γ=3x2−2(α+β+γ)x+αβ+βγ+γα(x−α)(x−β)(x−γ)=3x2−8x+2(x−1+√3)(x−2)(x−1−√3)=(x−4+√103)(x−4−√103)(x−1+√3)(x−2)(x−1−√3);因此1x−α+1x−β+1x−γ>0⇒(x−4+√103)(x−4−√103)(x−1+√3)(x−2)(x−1−√3)>0⇒{x>1+√32<x<4+√1031−√3<x<4−√103
解:
解:
|z−1−i|−|z+1+i|=2⇒|(x−1)+(y−1)i|−|(x+1)+(y+1)i|=2⇒(x−1)2+(y−1)2=4+4√(x+1)2+(y+1)2+(x+1)2+(y+1)2⇒−x−y−1=√(x+1)2+(y+1)2⇒(x+y+1)2=(x+1)2+(y+1)2⇒x2+y2+2xy+2x+2y+1=x2+y2+2x+2y+2⇒xy=1/2
lim
-- END (僅供參考) --
請問計算第二題的最後1行是不是少+1?所以答案是1/2嗎?
回覆刪除另外,填充第1題有算式嗎?謝謝
謝謝提醒,已經補齊及修訂!!
刪除