臺北市 107 學年度市立國民中學正式教師
聯合甄選-數學科題本
聯合甄選-數學科題本
解:
正六邊形每個內角為(6−2)×180÷6=120∘⇒陰影面積=正六邊形面積扣除二個圓面積=6√3−2π,故選(B)
a−3(a−y)<y−4⇒y<a−2≡y<1⇒a−2=1⇒a=3,故選(B)本題試題有疑義,答案修正為A、B、D均給分
解:
f(x)=x3−x2+1⇒f′(x)=3x2−2x⇒f′(1)=3−2=1⇒切線斜率為f′(1)=1且過(1,1),方程式為y−1=x−1⇒y=x,故選(C)
解:
x2−x−1=0⇒x2=x+1⇒x4=(x+1)2=x2+2x+1=3x+2⇒x8=(x4)2=(3x+2)2=9x2+12x+4=9x+9+12x+4=21x+13⇒x8+x+1=21x+13+x+1=22x+14,故選(D)
∫10x4dx=[15x5]|10=15=0.2,故選(B)

解:
只有f(x)=x2−2同時經過(−1,−1)及(2,2),其他(A)(C)(D)均不過(2,2),故選(B)
解:
x2y+xy2+x+y=63⇒xy(x+y)+x+y=(xy+1)(x+y)=63⇒x+y=636+1=9⇒x2+y2=(x+y)2−2xy=92−2×6=81−12=69,故選(A)
解:
a2−2018a+1=0⇒a2−2017a+2018a2+1=a−1+20182018a=a−1+1a=a2+1a−1=2018aa−1=2018−1=2017,故選(C)
以C為圓心⇒{A逆時針旋轉60度成為EB逆時針旋轉60度成為D⇒∠CED=∠CAB=110∘⇒∠AED=∠CED−∠CEA=110∘−60∘=50∘,故選(C)
解:
{¯AB=4⇒f(x)=0的兩根為α,α+4⇒α+α+4=−bax=3有極值⇒−b2a=3⇒−ba=6⇒2α+4=6⇒α=1⇒f(x)=0的兩根為1及5⇒f(x)=k(x−1)(x−5)⇒f(1)=a+b+c=0,故選(B)
解:
{l→12(偶)→122+13=19→so→15(奇)→15+12=8→hv→22(偶)→222+13=24→xe→5(奇)→5+12=3→c⇒shxc,故選(B)
解:
N2+7N+4=N−4+23N+4⇒N+4=23k;1≤N≤2018⇒1≤k≤87⇒共有87個,故選(C)
解:
4a+125a1a−2⇒4+a+1+2(第1列)=a+1+a−2(第3列)⇒a=8⇒P的位置:a−2=6,故選(C)

解:
a=201820172017=201800002017+1b=201720182018=201700002018+1c=201720182017=10000+20182017d=201820172018=10000+20172018⇒{a>bc>da>cd>b⇒a>c>d>b,故選(B)

解:
正方形E的邊長為√62+52=√61⇒直角△G的短邊長=正方形F的邊長=√102−61=√39⇒正方形D的邊長=√39−52=√14,故選(B)
解:
{a2+b2=m2⋯(1)(1−a)2+1=m2⋯(2)(1−b)2+1=m2⋯(3)⇒{(2)及(3)⇒(1−a)2=(1−b)2⇒a=b⋯(3)(1)及(2)⇒a2+b2=(1−a)2+1⇒b2=2−2a⋯(4)將(3)代入(4)⇒a2+2a−2=0⇒a=√3−1⇒m2=a2+b2=2(√3−1)2=8−4√3⇒正△面積=√34m2=√34×(8−4√3)=2√3−3,故選(A)
作¯BG⊥¯CD,見上圖;由於ABCD為等腰梯形,因此¯GC=(¯CD−¯AB)÷2=(10−4)÷2=3⇒¯DG=¯CD−¯CG=10−3=7;又B為斜邊中點,即為△DEF外接圓圓心⇒¯BF=¯BD⇒¯GF=¯GD=7⇒¯CF=¯GF−¯GC=7−3=4,故選(C)
解:
(B)×:{△CAP面積=12ׯACׯAPsin∠CAP△BAP面積=12ׯAPׯABsin∠PAB⇒△CAP≠△BAP,故選(B)
解:
⌢BC=2⌢AB⇒{∠COB=120∘∠AOB=60∘;圓周長=2rπ=4π⇒75π÷4π=18+34,相當於滾了18又34圈,而34圈相當於270∘⇒⌢DA接觸地面,故選(C)
解:
{∠POR=120∘∠POA=45∘⇒∠AOR=120∘−45∘=75∘,故選(D)
解:
54x≤906⇒x≤16,由x從1至16試算,可得(x,y)=(2,38),(9,20),(16,2),三組解,故選(B)
{¯AB=c¯AC=b∠A=180∘−60∘=120∘⇒cos∠A=cos120∘=b2+c2−222bc=−12⇒b2+bc+c2=4⇒(b+c)2=bc+4⇒b+c2≥√bc⇒(b+c)2≥4bc⇒bc+4≥4bc⇒bc≤43△ABC面積=12bcsin∠A=12bc×√32=√34bc≤√34×43=√33=1√3,故選(B)
解:
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解:
{¯AE=¯ED¯FC=3¯BF⇒{△AOE面積=△EOD面積=a¯FC=3¯BF△ABO+△OBC=△DOC+△OBC⇒{△AOE面積=△EOD面積=a△OFC面積=3△OBF面積=3b△ABO面積=△DOC面積=c;又{¯AE=¯BF⇒△AEO△OBF=h1h2⇒ab=h1h2△OAD∼△OCB⇒△ADO△OBC=h21h22⇒2a4b=h21h22=a2b2⇒b=2a;此外,△ACD△ABC=¯AD¯BC⇒2a+c4b+c=24⇒4a+2c=4b+c=8a+c⇒c=4a;四邊形ABFOE面積=21⇒a+b+c=21⇒a+2a+4a=21⇒a=3⇒{b=2a=6c=4a=12⇒梯形ABCD面積=2a+4b+2c=6+24+24=54,故選(A)
解:
{判別式>0首項係數≠0⇒{(2m+1)2−4(m−2)2>0m−2≠0⇒{4m−3>0m≠2⇒m>34且m≠2,故選(C)
解:
{∠A=∠A∠ACB=∠ADC=90∘⇒△ACB∼△ADC⇒¯AC¯AB=¯AD¯AC⇒2√105k=4k2√10⇒20k2=40⇒k=√2⇒¯AD=4k=4√2,故選(A)
解:
{∠ABD=∠DBC∠ABC=30∘⇒∠ABD=15∘;又∠DAB=90∘⇒∠ADB=90∘−15∘=75∘,故選(D)
解:
直角△ABD⇒102=82+¯BD2⇒¯BD=6;又¯OP∥¯BD⇒¯AP¯AD=¯AO¯AB=12⇒¯AP=12¯AD=4;由於{∠CAO=∠APO=90∘∠AOP=∠AOP⇒△CAO∼△APO⇒¯AC¯AO=¯AP¯PO⇒¯AC5=43⇒¯AC=203,故選(C)
解:
x=1有極大值⇒y′(1)=0⇒2a+b=0,故選(D)
解:
x3係數=−(C33+C43+⋯+C93)=−9∑n=3Cn3=−9∑n=3(16n3−12n2+13n)=−(16(452−1−8)−12(16×9×10×19−1−4)+13(45−1−2))=−210,故選(D)
解:
a3=a2+a1⇒a4=a3+a2=2a2+a1⇒a5=a4+a3=3a2+2a1⇒a6=a5+a4=5a2+3a1⇒a7=a6+a5=8a2+5a1⇒a8=a7+a6=13a2+8a1;現在a7=120⇒8a2+5a1=120⇒{a1=8a2=10⇒a8=13a2+8a1=130+64=194,故選(B)

解:
前3分鐘,每分鐘注水203公分;之後,每分鐘注水53公分;假設圓柱體底面積為A,則容器容積為50A;鐵塊體積為3×(203−53)A=15A;因此鐵塊:容器=15A:50A=3:10,故選(A)
解:
x2+1x2=(x+1x)2−2⇒x3+1x3=(x+1x)(x2+1x2−1)=(x+1x)((x+1x)2−3)現在x+1x=a+√a2−1+1a+√a2−1=a+√a2−1+a−√a2−1=2a⇒x3+1x3=(x+1x)((x+1x)2−3)=(2a)(4a2−3)=8a3−6a,故選(A)
解:
√a2+2a1+√a3+2a2+√a4+2a3+⋯+√a10+2a9=0⇒{a2+2a1=0a3+2a2=0a4+2a3=0⋯a10+2a9=0,全部相加⇒310∑n=1an−a1−2a10=0⇒10∑n=1an=13(a1+2a10)又a10=−2a9=−2(−2a8)=22a8=22(−2a7)=−23a7=⋯=−29a1=−210=−1024⇒10∑n=1an=13(a1+2a10)=13(2−2048)=−682,故選(D)

解:
C(0,0)⇒{A(−3,3√3)B(−6,0)D(2,2√3)E(4,0)⇒{N=12(A+E)=(12,32√3)M=12(B+D)=(−2,√3)⇒{¯CM=√7¯CN=√7¯MN=√7⇒△MNC為一正△⇒△MNC面積=√34(√7)2=74√3,故選(C)
令正方形邊長為m⇒¯DC¯AF=¯DE¯EA⇒b−mb=ma⇒m=aba+b;無陰影面積陰影面積=△EDC+△CBF正方形abcd=12m(b−m)+12m(a−m)m2=a+b−2m2m=a+b2m−1=(a+b)22ab−1=a2+b22ab=c22ab,故選(D)
解:a2=3a1−1⇒a3=3a2−1=32a1−3−1⇒a4=3a3−1=33a1−32−3−1⇒an=3n−1a1−3n−2−3n−3−⋯−1=3n−1−3n−2−3n−3−⋯−1=3n−1−(3n−2+3n−3+⋯+1)=3n−1−3n−1−12=12(3n−1+1),故選(C)
解:{Fn是偶數⇒n是3的倍數Fn是3的倍數數⇒n是4的倍數⇒n是12的倍數⇒n=12,24,36,48,60,72,84,共七個,故選(B)
解:
{cos∠ADC=602+522−¯AC22×60×52=6304−¯AC26240cos∠ABC=252+392−¯AC22×25×39=2146−¯AC21950;由於cos∠ADC=−cos∠ABC⇒6304−¯AC26240=−2146−¯AC21950⇒¯AC2=3136⇒¯AC=56⇒cosθ=6304−¯AC26240=6304−31366240=3365⇒sinθ=5665正弦定理:¯ACsinθ=2r=5656/65=65⇒周長=2rπ=65π,故選(D)

解:

解:
作直線¯AF交¯BC於G點,見上圖;又{¯AD:¯DB=1:3⇒{¯AD=m,¯DB=3m△ADF=a,△BDF=3a¯AE:¯ED=2:1⇒{¯AE=2n,¯ED=n△AEF=2b,△CEF=b;△BCF=12△ABC⇒¯AF:¯FG=1:1⇒{△BFG=△AFB=4a△CFG=△ACF=3b;△ADE△ABC=¯ADׯAE¯ABׯAC⇒a+2b8a+6b=m×2n4m×3n=16⇒a=3b⇒△BDF△ABC=3a8a+6b=9b30b=310,故選(B)
-- END (僅供參考) --
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