新北市立國民中學109學年度教師聯合甄選
數學科試題
選擇題: 共 40 題,總分 100 分,每題 2.5 分數學科試題
1. 海拉魯平原上有兩座高塔,高度分別為 15, 20 公尺。現在分別從每一高塔的頂端向對面高塔的底面射出雷射光線,兩光線在空中交於一點。請問該交點距離地面的高度為多少公尺?
(A) 60/7 (B) 9 (C) 100/9 (D) 75/8
解:
兩高塔{¯AC=15¯BD=20,鐳射光交於E,見上圖;{¯EF∥¯AC⇒h15=ba+b¯EF∥¯BD⇒h20=aa+b⇒h15+h20=ba+b+aa+b=1⇒4h+3h60=1⇒h=607,故選(A)
2.坐標平面上,直線ax+by+c=0不通過第二象限,其中a,b,c皆為非零常數。則直線bx−cy+a=0必不通過哪一象限?
(A) 第一象限 (B)第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
解:
ax+by+c=0不過第2象限⇒{斜率:−a/b>0x截距:−c/a>0y截距:−c/b<0bx−cy+a=0⇒{斜率:b/c>0x截距:−a/b>0y截距:a/c<0⇒不過第2象限例如:{a=1b=−2c=−2⇒{x−2y−2=0不過第2象限−2x+2y+1=0不過第2象限,故選(B)註:公布的答案是(A)

解:
星期日的日期是一奇一偶,也就是本週日是奇數,下周日就是偶數;四有30天,最多有5個星期日;因此四月有三個星期日是偶數,一定是出現在四月2日,16日,30日;四月4日在星期二,故選(B)

解:
x2+y2=65,x,y∈Z⇒(x,y)=(±8,±1),(±7,±4),(±4,±7),(±1,±8),共16個,故選(C)
( A) 21 ( B) 33 ( C) 38 ( D) 44
解:
720,840,1080三個數字的最大公因數為120,因此盆栽數量可以是:720120+840120+1080120=,6+7+9=22;或是72060+84060+108060=12+14+18=44,故選(D)

解:
(B)x3+3=x3+(3√3)3=(x+3√3)(x2−3√3x−3√3)(C)x4+4=(x2)2+22=(x2+2)2−4x2=(x2+2x+2)(x2−2x+2)(D)x5+5=x5+(5√5)5=(x+5√5)(x4−5√5x3+5√5x2−5√5x+1),故選(A)
(A) 1/10 (B)1/8 (C) 1/6 (D) 1/4
解:
{ax2+bx+c=a(x+1)(x−6)=ax2−5ax−6aax2+bx+c+1=a(x−1)(x−4)=ax2−5ax+4a⇒−6a+1=4a⇒a=1/10,故選(A)

解:
2x+3y=0右移2單位⇒2(x−2)+3y=0⇒y=−23(x−2),故選(A)

解:
|a111a111a|=0⇒a3+2−3a=0⇒(a−1)2(a+2)=0當a=1,原式{x+y+z=1x+y+z=1x+y+z=1有無限多解,故選(D)
解:
先求1≤x≤y≤z≤w≤10有H104組;再扣除y=z,即1≤x≤y=z≤w≤10有H103組,因此共有H101−H103=495組,故選(C)
解:
直角△ADC⇒¯AD2+¯CD2=¯AC2⇒¯AD2+25=169⇒¯AD=12△ADC面積=12¯ADׯDC=12¯ACׯDG⇒12×5=13ׯDG⇒¯DG=6013直角△ADG⇒¯AD2=¯AG2+¯DG2⇒144=¯AG2+3600169⇒¯AG=14413又¯AO¯AD=¯AE¯AG⇒¯AO12=13/2144/13⇒¯AO=16924I為內心⇒¯IF=¯ID=b⇒¯IF¯DG=¯AI¯AD⇒b60/13=12−b12⇒b=103⇒¯IO=¯AD−¯AO−¯ID=12−16924−103=138,故選(C)
12. 碳-60 分子是一個非常穩定的化學結構,可以用一個有 60 個頂點的凸多面體來呈現:每一個頂點與另外三個頂點相連,而且每一個頂點是兩個正六邊形與一個正五邊形交會之處。請問這樣的模型中,正六邊形與正五邊形的個數總和為多少?
(A) 26 (B) 28 (C) 30 (D) 32
解:
連線數=60×3÷2=90,由尤拉定理:點−線+面=2⇒60−90+面=2⇒面=32,故選(D)
解:
1x3−1=ax−1+bx+cx2+x+1=a(x2+x+1)+(bx+c)(x−1)x3−1=(a+b)x2+(a−b+c)x+a−cx3−1⇒{a+b=0a−b+c=0a−c=1⇒{a=1/3b=−1/3c=−2/3⇒a+b+c=−2/3,故選(B)
解:
{α+β=−6αβ=3⇒{1α+2+1β+2=α+β+4(α+2)(β+2)=α+β+4αβ+2(α+β)+4=−2−51α+2×1β+2=1(α+2)(β+2)=1αβ+2(α+β)+4=1−5⇒x2−25x−15=0⇒5x2−2x−1=0,故選(A)
解:
直線L的斜率為13,經過(−1,−2)且斜率為−3的直線方程式:y+2=−3(x+1)⇒3x+y=−5,故選(D)
解:
A4尺寸:210×297=62370mm2=623.7cm2=0.06237m2地圖:35873.196km2縮小100×100⇒3.5873196km2=3.5873196×106m23.5873196×1060.06237≈57.5×106=5.8×107,故選(B)
解:
令{△ABC三中線長分別為4,6,8△DEF三邊長分別為4,6,8S=(4+6+8)÷2=9⇒△DEF面積=√S(S−4)(S−6)(S−8)=√9×5×3×1=3√15⇒△ABC=43△DEF=43×3√15=4√15,故選(B)註: 三角形三中線所圍面積比例的說明:按這裡
解:
|ax+1|≤b⇒−b≤ax+1≤b⇒−b−1≤ax≤b−1⇒{−b−1a≤x≤b−1a0<a−b−1a≥x≥b−1a0>a若a>0,則{−b−1a=−3b−1a=5,兩式相加⇒−2/a=2⇒a=−1不合(違反a>0);若a<0⇒{−b−1a=5b−1a=−3⇒a=−1⇒b=4⇒a+b=3,故選(C)
19. 平平參加丟銅板比賽,持續丟擲一枚均勻銅板,直到出現正面時才停止。若正面出現在第 k 次丟擲,則可得分數 k 分。則平平所得分數的期望值為多少?
(A) 1 (B) 2 (C) 5/2(D) 3
解:
S=∞∑k=1k2k=12+222+323+⋯+n2n+⋯⋯(1)⇒12S=122+223+324+⋯+n2n+1+⋯⋯(2)(1)−(2)⇒12S=12+122+123+⋯+12n+⋯=1/21−1/2=1⇒S=2,故選(B)
解:
f(x)=x3+2x2−4x+2=(x2+3x−1)(x−1)+1=((x+4)(x−1)+3)(x−1)+1=(((x−1)+5)(x−1)+3)(x−1)+1=((x−1)2+5(x−1)+3)(x−1)+1=(x−1)3+5(x−1)2+3(x−1)+1⇒f(0.9999)=(−0.0001)3+5(−0.0001)2+3(−0.0001)+1≈3(−0.0001)+1=0.9997,故選(A)
解:
¯CD⊥¯AB,故選(A)
解:
{θ在第2象限cosθ=−45⇒sinθ=35⇒tanθ={sinθ/cosθ=−3/42tan(θ/2)1−tan2(θ/2)⇒2tan(θ/2)1−tan2(θ/2)=−34⇒(tan(θ/2)−3)(3tan(θ/2)+1)=0⇒tan(θ/2)=3或−1/3由於π/2<θ<π⇒π/4<θ/2<π/2⇒∞>tan(θ/2)>1⇒tan(θ/2)=3,故選(A)
解:
{(A)66=26⋅36⇒正因數總和=(20+21+⋯+26)(30+31+⋯+36)=奇×奇=奇(B)77正因數總和=70+71+⋯+77=8×奇=偶(C)88正因數總和=80+81+⋯+88=1+偶=奇(D)99正因數總和=90+91+⋯+99=10×奇=偶,故選(BD)註:公佈答案為(B)
解:
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{A(1,2,−1)B(2,−1,2)C(3,2,1)D(−1,−a−1,a)⇒{→AB=(1,−3,3)→AC=(2,0,2)⇒→n=→AB×→AC=(−6,4,6)⇒A,B,C所在的平面E:−6(x−1)+4(y−2)+6(z+1)=0;D在E上⇒−6×(−2)+4×(−a−3)+6×(a+1)=0⇒a=−3,故選(C)
解:
361−√2√2×6−√2=62−2√2√2×6−√2=6√2−2×6−√2=6√2−2−√2=6−2=136,故選(D)
解:
f(x)=−x2+2x+6=−(x−1)2+7⇒x=1有最大值,但1∉[2,3]因此挑選該區間離1最近的數,即2⇒f(2)=−1+7=6為區間內最大值,故選(B)
解:
假設圓心為O(a,b)⇒{¯OA=¯OC¯OB=¯OC⇒{(a−1)2+(b−1)2=(a−3)2+(b−1)2⋯(1)(a−4)2+b2=(a−3)2+(b−1)2⋯(2)(1)⇒−2a+1=−6a+9⇒a=2代入(2)⇒4+b2=1+(b−1)2⇒b=−1⇒圓半徑R=¯OB=√(−)22+(−1)2⇒√5⇒圓方程式:(x−a)2+(y−b)2=R2⇒(x−2)2+(y+1)2=5,故選(C)
解:
圓C:x2+y2−2x+4y−4=0⇒(x−1)2+(y+2)2=32;令{圓心O(1,−2)半徑r=3割線長=2L⇒d=dist(O,L)=4−6+75=1⇒r2=d2+L2⇒9=1+L2⇒L=2√2⇒2L=4√2,故選(D)
解:
{a1+a2+a3=21a2+a3+a4=42⇒{a+ar+ar2=21⋯(1)ar+ar2+ar3=42⋯(2)⇒(1)(2)=a(1+r+r2)ar(1+r+r2)=1r=2142=12⇒r=2代回(1)⇒a(1+2+22)=21⇒a=3⇒7∑n=1an=a−ar71−r=3(1−27)1−2=381,故選(A)
解:
1×5+2×9+3×13+⋯+14×57=14∑n=1n(5+4(n−1))=14∑n=1(4n2+n)=4×14×15×296+14×152=4060+105=4165,故選(B)
解:
{A(1,2)B(4,6)C(3,3)⇒{→AB=(3,4)→AC=(2,1)⇒正射影長=→AB⋅→AC|→AC|=10√5=2√5,故選(C)
解:
{P((紅,藍))=35×25=625P((藍,紅))=25×35=625⇒P((紅,藍))+P((藍,紅))=625+625=1225=0.48,故選(D)
33. 某工廠生產燈泡,其品檢部門在檢驗燈泡品質時是從每一盒(每盒 12 個)中任取 4 個來檢查,如果有 2 個或 2 個以上是不合格燈泡,則整盒淘汰。 若某一盒燈泡中有 5 個不合格燈泡,則此盒燈泡被品檢部門淘汰的機率為?
(A) 14/33 (B) 17/33 (C) 19/33 (D) 23/33
解:
(54)+(53)(71)+(52)(72)(124)=5+10×10×2111×45=1933,故選(C)
解:
−1≤sin1x≤1⇒−|x|≤xsin1x≤|x|⇒lim
解:
2\theta +3\theta +4\theta =180^\circ \Rightarrow \theta =20^\circ \Rightarrow \cos \angle B= \cos 60^\circ = {a^2+c^2-b^2 \over 2ac} ={1\over 2} \Rightarrow \color{blue}{b^2-c^2}=a^2-ac\\ 在\overline{AB}上找一點B',使得\angle CB'B= \angle B=3\theta =60^\circ (見上圖,\triangle CB'B為正\triangle) \Rightarrow \angle ACB'=\theta\\ \Rightarrow \cos \angle ACB' = \cos \theta ={a^2+b^2-(c-a)^2 \over 2ab} = {\color{blue}{b^2-c^2}+2ac \over 2ab} = {a^2-ac+2ac \over 2ab} ={a+c\over 2b} \\ \Rightarrow \sec \theta ={2b\over a+c},故選\bbox[red, 2pt]{(A )}
解:
\lim_{x\to \pi/2} (\pi-2x)\tan x =\lim_{x\to \pi/2} {(\pi-2x)\sin x\over \cos x} =\lim_{x\to \pi/2} {((\pi-2x)\sin x)'\over (\cos x)'} \\=\lim_{x\to \pi/2} {-2\sin x+(\pi-2x)\cos x\over -\sin x} ={-2+0 \over -1} =2,故選\bbox[red, 2pt]{(D )}
解:
\log a=1.02 \Rightarrow a=10^{1.02}=10\cdot 10^{0.02} \Rightarrow 10^{0.02}={a\over 10} \\ \Rightarrow 0.01^{0.01} = (10^{-2})^{0.01} =10^{-0.02} =({a\over 10})^{-1}= {10\over a},故選\bbox[red, 2pt]{( D)}
解:
\sum_{k=1}^9 {2k+1\over k^2(k+1)^2} = \sum_{k=1}^9 \left({1\over k^2}-{1\over (k+1)^2} \right)= {1\over 1^2}-{1\over (9+1)^2} =1-{1\over 100}= {99\over 100},故選\bbox[red, 2pt]{(B )}
解:
{x^2-4x \over x^2-4}+2={1\over 2-x} \Rightarrow {3x^2-4x-8 \over x^2-4} ={1\over 2-x} \Rightarrow (3x^2-4x-8)(2-x) =x^2-4=(x+2) (x-2) \\ \Rightarrow 3x^2-4x-8=-x-2 \Rightarrow 3x^2-3x-6=0 \Rightarrow 3(x-2)(x+1)=0 \\ \Rightarrow x=1 (2不合,分母為0) \Rightarrow 只有1根,故選\bbox[red, 2pt]{( B)}
解:
\cases{L_1方向向量\stackrel{\rightharpoonup}{u}=(1,2,-2) \\ L_2方向向量\stackrel{\rightharpoonup}{v}=(-3,4,1)} \Rightarrow \stackrel{\rightharpoonup}{n} =\stackrel{\rightharpoonup}{u}\times \stackrel{\rightharpoonup}{v} = (10,5,10)\\ \cases{在L_1上任找一點P(-2,3,-3) \\在L_2上任找一點Q(2,-2,0)} \Rightarrow \overrightarrow{PQ}=(4,-5,3)\\ 本題相當於求\overrightarrow{PQ} 在\vec n上的投影長= {\overrightarrow{PQ} \cdot \vec n \over |\vec n|} ={40-25+30 \over \sqrt{10^2+5^2 +10^2}} ={45 \over 15} =3,故選\bbox[red, 2pt]{(A )}
解:
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解:
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解:
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解:
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-- END (僅供參考) --
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