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2020年8月9日 星期日

108年新北國中教甄聯招-數學科詳解


新北市立國民中學109學年度教師聯合甄選
數學科試題
選擇題: 共 40 題,總分 100 分,每題 2.5 分
1. 海拉魯平原上有兩座高塔,高度分別為 15, 20 公尺。現在分別從每一高塔的頂端向對面高塔的底面射出雷射光線,兩光線在空中交於一點。請問該交點距離地面的高度為多少公尺?
(A) 60/7  (B) 9  (C) 100/9  (D) 75/8

解:


{¯AC=15¯BD=20,E,;{¯EF¯ACh15=ba+b¯EF¯BDh20=aa+bh15+h20=ba+b+aa+b=14h+3h60=1h=607(A)

2.坐標平面上,直線ax+by+c=0不通過第二象限,其中a,b,c皆為非零常數。則直線bxcy+a=0必不通過哪一象限?

(A) 第一象限  (B)第二象限  (C) 第三象限   (D) 第四象限

解:
ax+by+c=02{:a/b>0x:c/a>0y:c/b<0bxcy+a=0{:b/c>0x:a/b>0y:a/c<02:{a=1b=2c=2{x2y2=022x+2y+1=02(B)註:公布的答案是(A)


解:
,,;30,5;,2,16,30;4(B)


解:
x2+y2=65,x,yZ(x,y)=(±8,±1),(±7,±4),(±4,±7),(±1,±8),16(C)

5. 公園裡圍了一塊三角形的空地,其邊長分別是 7 公尺 20 公分、 8 公尺 40 公分、 10 公尺 80 公分。今公園管理處要在此塊空地周圍擺盆栽,使得相鄰盆栽的間隔距離皆相等,並且三角形的三個頂點皆要放置盆栽。請問下列哪一個數字,可以是放置盆栽的數量?
( A) 21 ( B) 33 ( C) 38 ( D) 44

解:
720,840,1080120,:720120+840120+1080120=6+7+9=22;72060+84060+108060=12+14+18=44,(D)


解:
(B)x3+3=x3+(33)3=(x+33)(x233x33)(C)x4+4=(x2)2+22=(x2+2)24x2=(x2+2x+2)(x22x+2)(D)x5+5=x5+(55)5=(x+55)(x455x3+55x255x+1)(A)

7.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖形與x軸交於(-1,0),(6,0)兩點,而二次函數y=ax2+bx+c+1的圖形與x軸交於(1,0),(4,0)兩點.請問a值為何?

(A) 1/10  (B)1/8  (C) 1/6  (D) 1/4

解:
{ax2+bx+c=a(x+1)(x6)=ax25ax6aax2+bx+c+1=a(x1)(x4)=ax25ax+4a6a+1=4aa=1/10(A)


解:
2x+3y=022(x2)+3y=0y=23(x2)(A)


解:
|a111a111a|=0a3+23a=0(a1)2(a+2)=0a=1,{x+y+z=1x+y+z=1x+y+z=1(D)


解:
1xyzw10H104;y=z1xy=zw10H103H101H103=495(C)


解:


ADC¯AD2+¯CD2=¯AC2¯AD2+25=169¯AD=12ADC=12¯ADׯDC=12¯ACׯDG12×5=13ׯDG¯DG=6013ADG¯AD2=¯AG2+¯DG2144=¯AG2+3600169¯AG=14413¯AO¯AD=¯AE¯AG¯AO12=13/2144/13¯AO=16924I¯IF=¯ID=b¯IF¯DG=¯AI¯ADb60/13=12b12b=103¯IO=¯AD¯AO¯ID=1216924103=138(C)

12. 碳-60 分子是一個非常穩定的化學結構,可以用一個有 60 個頂點的凸多面體來呈現:每一個頂點與另外三個頂點相連,而且每一個頂點是兩個正六邊形與一個正五邊形交會之處。請問這樣的模型中,正六邊形與正五邊形的個數總和為多少?
(A) 26 (B) 28 (C) 30 (D) 32

解:
=60×3÷2=90:+=26090+=2=32(D)


解:
1x31=ax1+bx+cx2+x+1=a(x2+x+1)+(bx+c)(x1)x31=(a+b)x2+(ab+c)x+acx31{a+b=0ab+c=0ac=1{a=1/3b=1/3c=2/3a+b+c=2/3(B)


解:
{α+β=6αβ=3{1α+2+1β+2=α+β+4(α+2)(β+2)=α+β+4αβ+2(α+β)+4=251α+2×1β+2=1(α+2)(β+2)=1αβ+2(α+β)+4=15x225x15=05x22x1=0(A)


解:
L13(1,2)3:y+2=3(x+1)3x+y=5(D)


解:
A4:210×297=62370mm2=623.7cm2=0.06237m2:35873.196km2100×1003.5873196km2=3.5873196×106m23.5873196×1060.0623757.5×106=5.8×107(B)


解:
{ABC4,6,8DEF4,6,8S=(4+6+8)÷2=9DEF=S(S4)(S6)(S8)=9×5×3×1=315ABC=43DEF=43×315=415(B)註: 三角形三中線所圍面積比例的說明:按這裡


解:
|ax+1|bbax+1bb1axb1{b1axb1a0<ab1axb1a0>aa>0,{b1a=3b1a=5,2/a=2a=1(a>0);a<0{b1a=5b1a=3a=1b=4a+b=3(C)

19. 平平參加丟銅板比賽,持續丟擲一枚均勻銅板,直到出現正面時才停止。若正面出現在第 k 次丟擲,則可得分數 k 分。則平平所得分數的期望值為多少?
(A) 1 (B) 2 (C) 5/2(D) 3

解:
S=k=1k2k=12+222+323++n2n+(1)12S=122+223+324++n2n+1+(2)(1)(2)12S=12+122+123++12n+=1/211/2=1S=2(B)


解:
f(x)=x3+2x24x+2=(x2+3x1)(x1)+1=((x+4)(x1)+3)(x1)+1=(((x1)+5)(x1)+3)(x1)+1=((x1)2+5(x1)+3)(x1)+1=(x1)3+5(x1)2+3(x1)+1f(0.9999)=(0.0001)3+5(0.0001)2+3(0.0001)+13(0.0001)+1=0.9997(A)


解:


¯CD¯AB(A)


解:
{θ2cosθ=45sinθ=35tanθ={sinθ/cosθ=3/42tan(θ/2)1tan2(θ/2)2tan(θ/2)1tan2(θ/2)=34(tan(θ/2)3)(3tan(θ/2)+1)=0tan(θ/2)=31/3π/2<θ<ππ/4<θ/2<π/2>tan(θ/2)>1tan(θ/2)=3(A)


解:
{(A)66=2636=(20+21++26)(30+31++36)=×=(B)77=70+71++77=8×=(C)88=80+81++88=1+=(D)99=90+91++99=10×=(BD)註:公佈答案為(B)



解:
{A(1,2,1)B(2,1,2)C(3,2,1)D(1,a1,a){AB=(1,3,3)AC=(2,0,2)n=AB×AC=(6,4,6)A,B,CE:6(x1)+4(y2)+6(z+1)=0;DE6×(2)+4×(a3)+6×(a+1)=0a=3(C)


解:
36122×62=62222×62=622×62=6222=62=136(D)


解:
f(x)=x2+2x+6=(x1)2+7x=11[2,3]12f(2)=1+7=6(B)


解:
O(a,b){¯OA=¯OC¯OB=¯OC{(a1)2+(b1)2=(a3)2+(b1)2(1)(a4)2+b2=(a3)2+(b1)2(2)(1)2a+1=6a+9a=2(2)4+b2=1+(b1)2b=1R=¯OB=()22+(1)25:(xa)2+(yb)2=R2(x2)2+(y+1)2=5(C)


解:
C:x2+y22x+4y4=0(x1)2+(y+2)2=32;{O(1,2)r=3=2Ld=dist(O,L)=46+75=1r2=d2+L29=1+L2L=222L=42(D)


解:
{a1+a2+a3=21a2+a3+a4=42{a+ar+ar2=21(1)ar+ar2+ar3=42(2)(1)(2)=a(1+r+r2)ar(1+r+r2)=1r=2142=12r=2(1)a(1+2+22)=21a=37n=1an=aar71r=3(127)12=381(A)


解:
1×5+2×9+3×13++14×57=14n=1n(5+4(n1))=14n=1(4n2+n)=4×14×15×296+14×152=4060+105=4165(B)


解:
{A(1,2)B(4,6)C(3,3){AB=(3,4)AC=(2,1)=ABAC|AC|=105=25(C)


解:
{P((,))=35×25=625P((,))=25×35=625P((,))+P((,))=625+625=1225=0.48(D)

33. 某工廠生產燈泡,其品檢部門在檢驗燈泡品質時是從每一盒(每盒 12 個)中任取 4 個來檢查,如果有 2 個或 2 個以上是不合格燈泡,則整盒淘汰。 若某一盒燈泡中有 5 個不合格燈泡,則此盒燈泡被品檢部門淘汰的機率為?
(A) 14/33  (B) 17/33  (C) 19/33  (D) 23/33

解:
(54)+(53)(71)+(52)(72)(124)=5+10×10×2111×45=1933(C)


解:
1sin1x1|x|xsin1x|x|lim


解:

2\theta +3\theta +4\theta =180^\circ \Rightarrow \theta =20^\circ \Rightarrow \cos \angle B= \cos 60^\circ = {a^2+c^2-b^2 \over 2ac} ={1\over 2} \Rightarrow \color{blue}{b^2-c^2}=a^2-ac\\ 在\overline{AB}上找一點B',使得\angle CB'B= \angle B=3\theta =60^\circ (見上圖,\triangle CB'B為正\triangle) \Rightarrow \angle ACB'=\theta\\ \Rightarrow \cos \angle ACB' = \cos \theta ={a^2+b^2-(c-a)^2 \over 2ab} = {\color{blue}{b^2-c^2}+2ac \over 2ab} = {a^2-ac+2ac \over 2ab} ={a+c\over 2b} \\ \Rightarrow \sec \theta ={2b\over a+c},故選\bbox[red, 2pt]{(A )}


解:
\lim_{x\to \pi/2} (\pi-2x)\tan x =\lim_{x\to \pi/2} {(\pi-2x)\sin x\over \cos x} =\lim_{x\to \pi/2} {((\pi-2x)\sin x)'\over (\cos x)'} \\=\lim_{x\to \pi/2} {-2\sin x+(\pi-2x)\cos x\over -\sin x}  ={-2+0 \over -1} =2,故選\bbox[red, 2pt]{(D )}


解:
\log a=1.02 \Rightarrow a=10^{1.02}=10\cdot 10^{0.02} \Rightarrow 10^{0.02}={a\over 10} \\ \Rightarrow 0.01^{0.01} = (10^{-2})^{0.01} =10^{-0.02} =({a\over 10})^{-1}= {10\over a},故選\bbox[red, 2pt]{( D)}


解:
\sum_{k=1}^9 {2k+1\over k^2(k+1)^2} = \sum_{k=1}^9 \left({1\over k^2}-{1\over (k+1)^2} \right)= {1\over 1^2}-{1\over (9+1)^2} =1-{1\over 100}= {99\over 100},故選\bbox[red, 2pt]{(B )}


解:
{x^2-4x \over x^2-4}+2={1\over 2-x} \Rightarrow {3x^2-4x-8 \over x^2-4} ={1\over 2-x} \Rightarrow (3x^2-4x-8)(2-x) =x^2-4=(x+2) (x-2) \\ \Rightarrow 3x^2-4x-8=-x-2 \Rightarrow 3x^2-3x-6=0 \Rightarrow 3(x-2)(x+1)=0 \\ \Rightarrow x=1 (2不合,分母為0) \Rightarrow 只有1根,故選\bbox[red, 2pt]{( B)}


解:
\cases{L_1方向向量\stackrel{\rightharpoonup}{u}=(1,2,-2) \\ L_2方向向量\stackrel{\rightharpoonup}{v}=(-3,4,1)} \Rightarrow \stackrel{\rightharpoonup}{n} =\stackrel{\rightharpoonup}{u}\times \stackrel{\rightharpoonup}{v} = (10,5,10)\\ \cases{在L_1上任找一點P(-2,3,-3) \\在L_2上任找一點Q(2,-2,0)} \Rightarrow \overrightarrow{PQ}=(4,-5,3)\\ 本題相當於求\overrightarrow{PQ} 在\vec n上的投影長= {\overrightarrow{PQ} \cdot \vec n \over |\vec n|} ={40-25+30 \over \sqrt{10^2+5^2 +10^2}} ={45 \over 15} =3,故選\bbox[red, 2pt]{(A )}


解:
,故選\bbox[red, 2pt]{( )}


解:
,故選\bbox[red, 2pt]{( )}


解:
,故選\bbox[red, 2pt]{( )}


解:
,故選\bbox[red, 2pt]{( )}


-- END   (僅供參考)  --



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