108年金門高中教甄-數學詳解

國立金門高級中學108學年度第1次教師甄選數學科試題

一、填充題

1. 已知$\alpha,\beta$為$x^2-6x+1=0的$兩根，$z,w$為 $x^2+5x+1=0$ 的兩根，則$(z-\alpha)(z-\beta )(w+\alpha )(w+\beta )$=?

$$\alpha,\beta為x^2-6x+1=0的兩根 \Rightarrow x^2-6x+1=(x-\alpha)(x-\beta) \\\Rightarrow (x+\alpha)(x+\beta) =x^2+6x+1 \\\Rightarrow (z-\alpha)(z-\beta )(w+\alpha )(w+\beta ) =(z^2-6z+1)(w^2+6w+1) \cdots(1)\\由於z,w為x^2+5x+1=0的兩根 \Rightarrow \cases{z^2+1=-5z\\ w^2+1=-5w\\ zw=1} 代入式(1)=(-5z-6z)(-5w+6w)\\ =(-11z)\times w=-11zw = \bbox[red,2pt]{-11}$$

2. 設方程式$10^x+x-101=0$的根為$x_1$，方程式$\log x+x-101=0$的根為 $x_2$，則$x_1+x_2$=?

$$10^x+x-101=0 相當於求兩圖形\cases{y=10^x\\ y=101-x}的交點P(x_1,101-x_1)\\ \log x+x-101=0相當於求兩圖形\cases{y=\log x\\ y=101-x}的交點Q(x_2,101-x_x )\\ 由於y=10^x與y=\log x對稱於直線x=y \Rightarrow P,Q對稱於x=y \Rightarrow (101-x_1,x_1)= (x_2,101-x_2)\\  \Rightarrow 101-x_1=x_2 \Rightarrow x_1+x_2 = \bbox[red,2pt]{101}$$

3. 投擲一公正銅板 6 次，試求「在投擲過程中，曾經連續出現兩次正面」的條件下，「恰出現兩次正面」的機率為____ 。

$$沒有出現連續正面的情況:\cases{6反面:1種\\ 1正5反:6種\\ 2正4反:{6!\over 4!2!}-5=10種\\ 3正3反:4種} \Rightarrow 共有21種\\ \Rightarrow 曾經出現連續正面的情況數=全部-21=2^6-21=64-21=43種，\\其中只出現1次連續兩正面的情形:正正反反反反,反正正反反反,反反正正反反,反反反正正反\\,反反反反正正，共5種;\\因此所求機率為\bbox[red,2pt]{5\over 43}$$

4. $\triangle ABC$中，若$\overline{AB}=9$，$\overline{BC}=10$，$\overline{CA}=11$，且內切圓切 $\overline{BC}$於D，求$\overline{AD}$的長度為_____

 

$$假設內切圓切\overline{AB}於E，切\overline{AC}於F，則\cases{\overline{AE}=\overline{AF}= a\\ \overline{BD}=\overline{BE}= b\\ \overline{CF}=\overline{CD}= c}\\\Rightarrow 2S=(\overline{AB} +\overline{BC}+ \overline{CA})=9+10+11\\\Rightarrow S=15=a+b+c \Rightarrow c=S-\overline{AB}=15-9=6\\ 餘弦定理 \Rightarrow \cases{\triangle CAD: \cos \angle C={\overline{CA}^2+\overline{CD}^2- \overline{AD}^2 \over 2\times \overline{CA}\times \overline{CD}}={11^2+6^2-\overline{AD}^2 \over 2\cdot 6\cdot 11} \\ \triangle CAB: \cos \angle C={\overline{CA}^2+\overline{CB}^2- \overline{AB}^2 \over 2\times \overline{CA}\times \overline{CB}}={11^2+10^2-9^2 \over 2\cdot 11\cdot 10}} \\ \Rightarrow {11^2+6^2-\overline{AD}^2 \over 2\cdot 6\cdot 11} ={11^2+10^2-9^2 \over 2\cdot 11\cdot 10} \Rightarrow \overline{AD}= \bbox[red,2pt]{\sqrt{73}}$$

5. 若 O 為平面坐標上的原點，且$A(1,0),B(1,2),C(4,8),D(4,0)$，則區域 $S=\{P\mid \overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} +y\overrightarrow{OB}, 0\le x\le 2, 0\le y\le 2\}$ 與四邊形ABCD重疊部分的面積為____

$$重疊面積=平行四邊形OA'FB'面積-\triangle OAB = 2\times 4-{1\over 2}\times 1\times 2=\bbox[red,2pt]{7}$$

6. 設 P 為雙曲線$\Gamma: {x^2\over 9}- {y^2\over 16}=1$之動點，且點 P 的 x 坐標大於 0，另有定點$A(7,5)$及$F(5,0)$，則$\overline{AP} +\overline{PF}$的最小值為____

$$\Gamma: {x^2\over 9}- {y^2\over 16}=1 \Rightarrow \cases{a=3\\b=4} \Rightarrow c=5 \Rightarrow 焦點\cases{F(5,0)\\ G(-5,0)} \text{,依雙曲線定義} \;\overline{PG}-\overline{PF}=2a \\ \Rightarrow \overline{AP}+ \overline{PF} = \overline{AP}+ (\overline{PG}-2a) \Rightarrow 當A,P,G在一直線時\overline{AP}+ \overline{PG}有最小值,即\overline{AG};\\ \overline{AG} =\sqrt{12^2+5^2} =13 \Rightarrow \overline{AP}+ \overline{PF}=13-2a= 13-6= \bbox[red,2pt]{7}$$

7. 在$0\le x\le 4\pi$範圍內，求方程式 $\sin x={-1\over 3}$的解的總和為_____

$$\sin x= -{1\over 3} \Rightarrow \cases{\sin (3\pi-x)=-{1\over 3}\\ \sin(x+2\pi) =-{1\over 3}\\ \sin (5\pi-x)=-{1\over 3}} \Rightarrow x+(3\pi-x) +(x+2\pi)+(5\pi-x) = \bbox[red,2pt]{10\pi}$$

8. 已知多項式 $f(x)$ 滿足$f''(x)=6x-4$，且$y= f(x)$ 在 $x=2$有極大值 9，則$f(0)$ =___

$$\cases{f''(x)=6x-4 \Rightarrow f'(x)=3x^2-4x+C \\ y=f(x)在x=2有極大值9 \Rightarrow \cases{f'(2)=0\\ f(2)=9}} \Rightarrow f'(2)= 12-8+C=0 \Rightarrow C=-4 \\ \Rightarrow f'(x)=3x^2-4x-4 \Rightarrow f(x)=x^3-2x^2-4x+K \Rightarrow f(2)=8-8-8+K=9 \\ \Rightarrow K=17 \Rightarrow f(0)=K = \bbox[red,2pt]{17}$$

9. 已知正方形 ABCD 的兩頂點 A、 B 在直線y = 2x − 22上，另外兩頂點 C、 D 在拋物線$y = 𝑥^2$上， 試求此正方形的面積為____

$$C,D在y=x^2上\Rightarrow \cases{C(a,a^2)\\ D(b,b^2)} \Rightarrow \overline{CD}斜率=直線y=2x-22的斜率 \Rightarrow {a^2-b^2\over a-b} =a+b=2\\ 以D為中心，C逆時鐘旋轉90^\circ與A重疊\Rightarrow A=\begin{bmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ\\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ\end{bmatrix}(C-D) +D\\ =\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a-b \\ a^2-b^2 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} b \\ b^2 \end{bmatrix}=(b^2-a^2+b,a-b+b^2)\\ 又A在y=2x-22 \Rightarrow a-b+b^2= 2(b^2-a^2+b)-22 \\\Rightarrow 2a^2+a +22 =b^2+3b =(2-a)^2+3(2-a) \Rightarrow a^2+8a+12 =0 \Rightarrow (a+6)(a+2)=0\\ \Rightarrow \cases{a=-2 \Rightarrow b=4\\ a=-6 \Rightarrow b=8} \Rightarrow \cases{C(-2,4),D(4,16)\\ C(-6,36),D(8,64)} \Rightarrow \overline{CD}=\cases{\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180} \\ \sqrt{14^2+28^2} =\sqrt{980}} \\ \Rightarrow 正方形ABCD面積= \overline{CD}^2 = \bbox[red,2pt]{180或980}$$

10. 設$\begin{bmatrix}a & b\\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}p & q\\ r& s \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5 & 3\\ 3& 2 \end{bmatrix}$ 其中聯立方程式$\cases{ax+by=5 \\ cx+dy=-3}$恰有一組解為$(x,y)=(1,2)$， 試求聯立方程式$\cases{pu+qv=1 \\ ru+ sv=2}$的解$(u,v)$ = _______

$$\cases{ax+by=5\\ cx+dy = -3}恰有一組解(x,y)=(1,2) \Rightarrow \begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\  2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ -3\end{bmatrix}\cdots (1)\\ \begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} p& q\\ r& s\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5& 3\\ 3& 2\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5& 3\\ 3& 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} p& q\\ r& s\end{bmatrix}^{-1} \Rightarrow \begin{bmatrix} 5& 3\\ 3& 2\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p& q\\ r& s\end{bmatrix}^{-1} \\ \Rightarrow  \begin{bmatrix} 2& -3\\ -3& 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p& q\\ r& s\end{bmatrix}^{-1} \Rightarrow \begin{bmatrix} 2& -3\\ -3& 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\  2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} p& q\\ r& s\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1\\  2\end{bmatrix} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix} 2& -3\\ -3& 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5\\ -3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} p& q\\ r& s\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1\\  2\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 19\\ -30\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} p& q\\ r& s\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1\\  2\end{bmatrix} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix} p& q\\ r& s\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 19\\ -30\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\  2\end{bmatrix} \Rightarrow (u,v) = \bbox[red,2pt]{(19,-30)}$$

二、計算與證明題 (每題 10 分，共五題)

1. 設 E 為空間一平面， P 為平面 E 外一點，如何找出 P 點在平面 E 上的投影點？ (5%)並證明之(5%)。

假設P在平面E的投影點為Q，則E之法向量即為直線$\overline{PQ}$的方向向量，依此可得直線$\overline{PQ}$方程式；再求該直線與平面E的交點，即為投影點Q。

2. 將長方形 ABCD 沿著對角線 AC 摺起，使 ABC 平面與 ADC 平面互相垂直，若 $\overline{AB}＝a$， $\overline{BC} ＝b$，試求 $\overline{BD}$ 之長。

$$令D為原點\Rightarrow \cases{A(b,0,0)\\ B'(b,a,0)\\ C(0,a,0)}，且\overline{B'E}\bot \overline{AC}，見上圖；\\ \overline{AC}= \sqrt{a^2+b^2} \Rightarrow \overline{B'E}= {ab \over \sqrt{a^2+b^2}}\\ \overleftrightarrow{AC}:{x\over b}={y-a\over -a } \Rightarrow E(bt,-at+a,0)\Rightarrow \overline{B'E} =\sqrt{(b-bt)^2+a^2t^2} =\sqrt{(a^2+b^2)t^2-2b^2t+b^2} \\ \Rightarrow t={b^2\over a^2+b^2} \Rightarrow E({b^3\over a^2+b^2},{-ab^2\over a^2+b^2}+a,0)=({b^3\over a^2+b^2},{a^3\over a^2+b^2},0) \Rightarrow B({b^3\over a^2+b^2},{a^3\over a^2+b^2},{ab \over \sqrt{a^2+b^2}}) \\ \Rightarrow \overline{BD}= \sqrt{({b^3\over a^2+b^2})^2+ ({a^3\over a^2+b^2})^2+ ({ab \over \sqrt{a^2+b^2}})^2} =\sqrt{(a^4+b^4)(a^2+b^2)\over (a^2+b^2)^2} =\bbox[red,2pt]{\sqrt{a^4+b^4\over a^2+b^2}}$$

解題僅供參考