2020年11月3日 星期二

托勒密定理(Ptolemy's theorem):圓內接四邊形對角線之積等於兩對邊相乘之和


圓內接四邊形ABCD,則¯ACׯBD=¯ABׯCD+¯BCׯAD

{ABDcosα=a2+d2f22adBCDcos(πα)=b2+c2f22bca2+d2f22ad=b2+c2f22bca2+d2ad1adf2=1bcf2b2+c2bcf2=(a2+d2)bc+(b2+c2)adad+bc=(ab+cd)(ac+bd)ad+bc(1)
{ABCcosβ=a2+b2e22abACDcos(πβ)=c2+d2e22cda2+b2e22ab=c2+d2e22cda2+b2ab1abe2=1cde2c2+d2cde2=(a2+b2)cd+(c2+d2)abab+cd=(ac+bd)(ad+bc)ab+cd(2)(1)×(2)e2f2=(ac+bd)(ad+bc)ab+cd×(ab+cd)(ac+bd)ad+bc=(ac+bd)2ef=ac+bd



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