107年北一女教甄-數學詳解

臺北市第一女子高級中學107學年度第一次代理教師甄選

數學科筆試題目卷

一、填充題

1. 已知函數$y=x^2+bx+c$的圖形沿著向量$\vec v=(4,3)$平移而得的圖形恰與直線$y=-4x+8$相切於點$P(1,4)$，則數對$(b,c)$=_____。

$$y=f(x)=x^2+bx+c \Rightarrow f'(x)=2x+b \\ 令P'(x_p,y_p) \Rightarrow P(1,4)=P'+\vec v(4,3) \Rightarrow \cases{1= x_a+4\\ 4=y_b+3} \Rightarrow \cases{x_a=-3 \\ y_a=1}\\ \cases{f(x_a)=y_a \\f'(x_a)= -4} \Rightarrow \cases{  9-3b +c =1  \\ -6+b= -4  } \Rightarrow (b,c)=\bbox[red,2pt]{(2,-2)}$$

2. 設$\triangle ABC$的三頂點$A、B、C$都在拋物線$\Gamma:y^2=4x$上，已知$A(9,6)$，且$\triangle ABC$的重心為$G(12,0)$，$B$的$x$坐標比$C$的$x$坐標大，則$B$的$x$坐標為___

$$\cases{A(9,6) \\ B(x_1,y_1) \\ C(x_2,y_2) \\ G(12,0)} \Rightarrow G=\cfrac{A+B+C}{3} \Rightarrow \cases{12=(9+x_1+x_2)\div 3\\ 0=(6+y_1+y_2)\div 3} \Rightarrow \cases{x_1+x_2=27\\ y_1+y_2=-6} \\\Rightarrow C(27-x_1,-6-y_1);B,C皆在\Gamma 上 \Rightarrow \cases{y_1^2=4x_1\\ (-6-y_1)^2 = 4(27-x_1)} \\ \Rightarrow 4x_1= y_1^2 = 108-(y_1+6)^2 \Rightarrow y_1=-3\pm 3\sqrt 5 \Rightarrow x_1=y_1^2/4 = {27\pm 9\sqrt 5\over 2}\\ \Rightarrow \cases{B((27+9\sqrt 5)/2,-3-3\sqrt 5)\\ C((27-9\sqrt 5)/2,-3+\sqrt 5)} \Rightarrow x_1=\bbox[red,2pt]{27+9\sqrt 5\over 2}$$

3. 若實數$a$可使得對任意實數$x$，不等式$|4x-3a|+|5x-4a|\ge a^2$恆成立，則$a$的範圍為________。

$$f(x)=|4x-3a| +|5x-4a|=4|x-{3\over 4}a| + 5|x-{4\over 5}a|= 4\left( |x-{3\over 4}a|+ |x-{4\over 5}a|\right)+|x-{4\over 5}a| \\ \ge 4\left| (x-{3\over 4}a)- (x-{4\over 5}a)\right|+|x-{4\over 5}a| ={|a|\over 5}+|x-{4\over 5}a| \Rightarrow f({4a\over 5})={|a|\over 5}為最小值 \\ \Rightarrow {|a|\over 5}\ge |a|^2 \Rightarrow |a|^2-{|a|\over 5} \le 0 \Rightarrow |a|(5|a|-1)\le 0 \Rightarrow 0\le |a| \le {1\over 5} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{-{1\over 5} \le a \le {1\over 5}}$$

4. $\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$G$為$\triangle ABC$的重心，且$G$到$\overline{BC}、\overline{CA}$的距離和為6。若$\overline{AB}=15$，則$\triangle ABC$的內切圓面積為_____。

 

$$令d(G,\overline{BC})= a \Rightarrow d(G,\overline{AC})= 6-a \Rightarrow \overline{GC}^2 = a^2+(6-a)^2 \\ G為重心 \Rightarrow \overline{CG} \times {3\over 2} = \overline{CD} ={1\over 2}\overline{AB}={15\over 2} \Rightarrow \overline{GC}= 5 =\sqrt{a^2+(6-a)^2} \\\Rightarrow 2a^2-12a +11 = 0 \Rightarrow a= {6+\sqrt{14}\over 2} \Rightarrow 6-a= {6- \sqrt{14}\over 2}\\ \overline{GH} \parallel \overline{FC} \Rightarrow {\overline{AG} \over \overline{AF}} ={\overline{GH} \over \overline{FC}} \Rightarrow {2\over 3}={6-a\over \overline{FC}} \Rightarrow \overline{FC}= {3\over 2}(6-a) \Rightarrow \overline{BC} = 2\cdot {3\over 2}\cdot (6-a) \\ =3(6-a) ={18- 3\sqrt{14}\over 2};同理, \overline{AC}=3a = {18+3\sqrt{14}\over 2};\\ \triangle ABC面積= \cases{{1\over 2}\times \overline{AC} \times \overline{BC} = {1\over 2}\times {18- 3\sqrt{14}\over 2} \times {18+ 3\sqrt{14}\over 2} ={99\over 4} \\ {1\over 2}r(\overline{AB} +\overline{BC} +\overline{AC}) = {1\over 2}r\times 33} \\ \Rightarrow {99\over 4} ={33\over 2}r \Rightarrow r={3\over 2} \Rightarrow 內切圓面積=r^2\pi = \bbox[red,2pt]{9\pi\over 4}$$

5. 有 12 張空椅子排成一列，甲、乙、丙……等 7 人分成三組入座，三組人數各為 3 人、 2 人、 2 人，若要求同組必相鄰（其中 3 人組的座位必須連續），且不同組的人不得相鄰，則坐法有____種。

$$分三組的方法:C^7_3C^4_2\div 2=105分法\\三組:組1,組2,組3\Rightarrow 組間排列3!，組內排列3!\times 2!\times 2!，共有6\times 6\times 2\times 2=144排法\\ 三組間有4塊空間，4塊空間要擺12-7=5張椅子，組間至少要擺一張椅子(用掉2張椅子)\\\qquad，因此共有H^4_3=20擺法\\共有105\times 144\times 20=\bbox[red, 2pt]{302400}坐法$$

6. 設$a$為實數，已知曲線$y=x^3+4x^2-24x+1$與拋物線$y=x^2+a$有三個相異交點，則$a$的範圍為 ____。

$$y=x^3+4x^2-24x+1=x^2+a \Rightarrow x^3+3x^2-24x+(1-a)=0 有三相異實根\\ \Rightarrow 判別式 \triangle(f)=p^2q^2-4p^3r+18pqr-4q^3-27r^2 > 0,其中\cases{p=-3\\ q=-24 \\ r=a-1} \\ \Rightarrow 5184+108(a-1)+1296(a-1)+55296-27(a-1)^2 < 0 \\ \Rightarrow (a-1)^2-52(a-1)-2240 < 0 \Rightarrow -28 < a-1 < 80 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{-27 < a < 81}$$

7. $\triangle ABC$中，$D$在$\overline{BC}$上，其中$\overline{AB} =\overline{CD}、\angle CAD=30^\circ、\angle BAD=90^\circ$，則$\sec B$=____ 。

 

$$在\overleftrightarrow{BA}上取一點E，使得\overline{AE}\bot \overline{CE}，見上圖；並令\cases{\overline{AB} =\overline{CD} =a \\ \overline{BD}=b} ;\\ \overline{AD}\parallel \overline{CE}\Rightarrow {\overline{BD} \over \overline{BC}}= {\overline{BA} \over \overline{BE}} \Rightarrow {b \over a+b}= {a \over \overline{BE}} \Rightarrow \overline{BE}={a(a+b)\over b} \Rightarrow \overline{AE}= {a(a+b)\over b}-a ={a^2\over b}\\ 直角\triangle AEC \Rightarrow \overline{CE} =\sqrt 3\times \overline{AE} ={a^2\over b}\sqrt 3\\ 直角\triangle BEC \Rightarrow \overline{BC}^2 = \overline{BE}^2 +\overline{EC}^2 \Rightarrow (a+b)^2 = (a+{a^2\over b})^2 +({a^2\over b}\sqrt 3)^2 \\ \Rightarrow (b^3-2a^3)(2a+b)=0 \Rightarrow b^3=2a^3(b\ne -2a \because a,b\gt 0) \Rightarrow \sec B= {b\over a}=\bbox[red,2pt]{\sqrt[3]{2}}$$

解題僅供參考