國立關西高級中學108學年度第1次教師甄選數學科試題
解:
{Γ1:y≤x2/4⇒x2≥4yΓ2:|x−1|+|y−1|=k⇒{Γ1:拋物線的外(下)側Γ2:中心(1,1)的正方形⇒k要最小相當於找(x,y)∈Γ1使得正方形最小⇒(x=a,y=a2/4)⇒k=|a−1|+|a2/4−1|最小⇒a=1⇒(p,q)=(x,y)=(a,a2/4)=(1,1/4)
解:{zn+1=(1+√3i)zn−√3i⋯(1)zn=(1+√3i)zn−1−√3i⋯(2)⇒(1)−(2)⇒zn+1−zn=(1+√3i)(zn−zn−1)⇒zn+1−zn=(1+√3i)2(zn−1−zn−2)=⋯=(1+√3i)n−1(z2−z1)=(1+√3i)n−1(3(1+√3i)−√3i−3)=(1+√3i)n−1(2√3i)⇒|zn+1−zn|=|(1+√3i)n−1(2√3i)|=|(1+√3i)n−1||2√3i|=2n−1×2√3=2n√3⇒∞∑n=11|zn+1−zn|=∞∑n=112n√3=1√3×1/21−1/2=1√3
解:EY=2(Cn0p0(1−p)n+Cn2p2(1−p)n−2+⋯)−(Cn1p1(1−p)n−1+Cn3p2(1−p)n−3+⋯)=(12+32)(Cn0p0(1−p)n+Cn2p2(1−p)n−2+⋯)+(12−32)(Cn1p1(1−p)n−1+Cn3p2(1−p)n−3+⋯)=12n∑k=0Cnkpk(1−p)n−k+32n∑k=0Cnk(−1)kpk(1−p)n−k=12(p+(1−p))n+32(−p+(1−p))n=12+32(1−2p)n
解:{y2+xy−7x=0x,y∈N⇒y2=x(7−y)>0⇒y=1,2,…,6⇒y=6⇒36=x(7−6)⇒x=36⇒(x,y)=(36,6)其它y=1,2,…,5代入均不符x,y∈N
5. 將正整數1,2,3,4,5,6,7任意分成兩組,使得每組至少有一個數。則第一組數的和與第二組數的和相等的機率為________。
解:
符合要求的分組方式(1,6,7)+(2,3,4,5),(3,4,7)+(1,2,5,6),(2,5,7)+(1,3,4,6), (3,5,6)+(1,2,4,7),共四種;七個數字分兩組有C71+C72+C73=7+21+ 35=63種分法;因此機率為463
6. 已知點A(3,1),B(53,2)是平行四邊形ABCD的頂點,已知ABCD四個頂點都落在函數f(x)=log2ax−bx−1的圖形上,試求平行四邊形ABCD的面積=___
解:{f(x)=log2ax−bx−1A(3,1)B(53,2)A,B,C,D皆在y=f(x)上⇒{f(3)=1f(53)=2⇒{log23a−b2=1log25a/3−b2/3=2⇒{3a−b=45a−3b=8⇒{a=1b=−1⇒f(x)=log2x+1x−1⇒f(−x)=log2−x+1−x−1=log2x−1x+1=−log2x+1x−1=−f(x)⇒f(−x)=−f(x)⇒y=f(x)對稱原點⇒{A(3,1)的對點A′(−3,−1)B(53,2)的對稱點B′(−53,−2)⇒ABA′B即為落在y=f(x)上的平行四邊形的頂點⇒{→AB=(−43,1)→AB′=(−143,−3)⇒ABA′B面積=√|→AB|2|→AB′|2−(→AB⋅→AB′)2=√259×2779−(299)2=√6769=263
解:假設拋物線Γ方程式:y2=4cx與直線L:4x+y−20=0的交點P;P在L上⇒P(t,20−4t)也在Γ上⇒(20−4t)2=4ct⇒4t2−(40+c)t+100=0⇒{t1=(40+c+√c2+80c)/8t2=(40+c−√c2+80c)/8⇒{B(t1,20−4t1)C(t2,20−4t1)A(xa,ya)⇒重心F(c,0)=(A+B+C)÷3⇒{c=(t1+t2+xa)÷3=(10+c/4+xa)÷30=(20−4t1+20−4t2+ya)÷3=(ya−c)÷3⇒{xa=11c/4−10ya=cA(xa,ya)在Γ上⇒y2a=4cxa⇒c2=4c(114c−10)=11c2−40c⇒10c2−40c=0⇒c=4⇒Γ:y2=16x
解:{F1(−1,0)F2(1,0)⇒c=1⇒x2a2+y2b2=1;將{直線y=x−√3a2=b2+1代入橢圓方程式⇒x2b2+1+(x−√3)2b2=1⇒(2b2+1)x2−2√3(b2+1)x+3(b2+1)−b2(b2+1)=0⇒判別式為0⇒12(b2+1)2−4(2b2+1)(3(b2+1)−b2(b2+1))=0⇒8b6−8b2=0⇒8b2(b4−1)=0⇒b=1⇒a2=b2+1=2⇒橢圓方程式:x22+y21=1
解:假設四虛根分別為{z1=a′+b′iˉz1=a′−b′iz2=c′+d′iˉz2=c′−d′i,其中a′,b′,c′,d′∈R;⇒x4+ax3+bx2+cx+d=(x−z1)(x−ˉz1)(x−z2)(x−ˉz2)=(x2−(z1+ˉz1)x+z1ˉz1)(x2−(z2+ˉz2)x+z2ˉz2)⇒b=z1ˉz1+z2ˉz2+(z1+ˉz1)(z2+ˉz2)=(a′+b′i)(a′−b′i)+(c′+d′i)(c′−d′i)+(2a′)×(2c′)=a′2+b′2+c′2+d′2+4a′c′由題意知{z1z2=(a′c′−b′d′)+(a′d′+b′c′)i=13+iˉz1+ˉz2=(a′+c′)−(b′+d′)i=3+4i⇒{a′c′−b′d′=13a′d′+b′c′=1a′+c′=3b′+d′=−4⇒(a′+c′)2+(b′+d′)2=32+(−4)2⇒a′2+b′2+c′2+d′2+2a′c′+2b′d′=25⇒a′2+b′2+c′2+d′2+2a′c′+2(a′c′−13)=25⇒a′2+b′2+c′2+d′2+4a′c′=25+26=51
解:{Γ1:y=1/ex⇒y′=−1/exΓ2:y=−ex+1⇒y′=−ex+1,假設{L與Γ1的切點為A(a,1/ea)L與Γ2的切點為B(b,−eb+1)⇒{切點A的斜率:y′(a)=−1/ea⋯(1)切點B的斜率:y′(b)=−eb+1⋯(2)¯AB的斜率:−eb+1−e−ab−a⋯(3)⇒{(1)=(2)⇒−e−a=−eb+1⇒−a=b+1⋯(4)(1)=(3)⇒−eb+1−e−ab−a=−e−a⋯(5)(4)代入(5)⇒斜率=−2e−a−2a−1=−ea⇒−2a−1=2⇒a=−3/2⇒切線L方程式為過A且斜率為−e−3/2⇒L:y=−e−3/2(x+32)+e3/2
(1)fn(x)={n−n2|x||x|≤1n0|x|≥1n={n−n2x0≤x≤1nn+n2x−1n≤x≤00其它⇒In=∫1−1fn(x)cosxdx=∫0−1/n(n+n2x)cosxdx+∫1/n0(n−n2x)cosxdx=[nsinx+n2xsinx+n2cosx]|0−1/n+[nsinx−n2xsinx−n2cosx]|1/n0=(n2−n2cos1n)+(−n2cos1n+n2)=2n2(1−cos1n)(2)limn→∞In=limn→∞2n2(1−cos1n)=2limn→∞1−cos(1/n)1/n2=2limn→∞(−1n2)sin(1/n)−2/n3=2limn→∞sin(1/n)2/n=2×12=1(∵limn→∞sin(1/n)1/n=limx→0sin(x)x=1)
解:
解:
(1)兩圖形{L:y=k(x−a)+a3−3ay=f(x)=x3−3x的交點⇒k(x−a)+a3−3a=x3−3x⇒k(x−a)+3(x−a)=x3−a3=(x−a)(x2+ax+a2)⇒(x−a)(x2+ax+a2−3−k)=0有三相異實根⇒x2+ax+a2−3−k=0的判別式>0且a不是其中一根⇒{a2−4(a2−3−k)>0a2+a⋅a+a2−3−k≠0⇒{k>34a2−3k≠3a3−3
a=√3⇒P(√3,0);並假設{Q(x1,y1)R(x2,y2),由於斜率k<0⇒{x1>x2y2>y1直線L過P且斜率為k⇒L:y=k(x−√3)⇒P,Q,R為x3−3x=k(x−√3)之相異三根因此x3−3x=x(x+√3)(x−√3)=k(x−√3)⇒x(x+√3)=k⇒x2+√3x−k=0⇒{x1+x2=−√3x1x2=−k⇒(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=3+4k⇒x1−x2=√4k+3⇒x2−x1=−√4k+3⇒y2−y1=k(x2−√3)−k(x1−√3)=k(x2−x1)=−k√4k+3=√4k3+3k2≤√14=12(g(k)=4k3+3k2⇒g′(k)=12k2+6k⇒g(−1/2)=1/4為極大值)⇒S(k)=△OQR=△OPR−△OPQ=12√3(y2−y1)≤√32×12=√34⇒S(k)≤√34
解題僅供參考
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