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2020年11月25日 星期三

107年臺東縣國中教甄聯招-數學詳解

臺東縣107學年度國民中學特殊教育(含資賦優異)教師聯合甄選-數學科

x2+y2=1{x=cosθy=sinθ(1xy)(1+xy)=1x2y2=1cos2θsin2θ=114sin22θsin22θ=1114=34(D)

{(a+3b)(7a5b)(a4b)(7a2b){(a+3b)(7a5b)=0(a4b)(7a2b)=0{7|a|2+16ab15|b|2=07|a|230ab+8|b|2=0{ab=12|b|2|a|=|b|cosθ=ab|a||b|=12θ=π3(A)
f(x)=(x2)(x3)+(x3)(x4)+(x4)(x2)=3x218x+26f(x)=0a,b{a+b=6ab=26/38(2a)(2b)+27(3a)(3b)+64(4a)(4b)=8ab2(a+b)+4+27ab3(a+b)+9+64ab4(a+b)+16=826/38+2726/39+6426/38=1281+96=27(B)
Ax2+y2=1A(cosθ,sinθ,0)d(A,E)=|3cosθ+4sinθ12|32+42+122=|5cos(θ+α)12|13m=min(d(A,E))=713,where cos(θ+α)=1(C)
{x+y=0xy=2a=3b=2:(|xy2|)229+(|x+y|)224=113x2+10xy+13y216x+16y56=0:(D)
:asinA=bsinB=csinC=2R{sinA=a/2RsinB=b/2RsinC=c/2R2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC2a22R=(2a+c)b2R+(2c+b)c2R2a2=(2a+c)b+(2c+b)c2a2=2ab+2bc+2c2a2ab=c2+bc(ab)2+ab=(b+c)2bc(ab)2(b+c)2=b(a+c)(a+c)(a2bc)+b(a+c)=0(a+c)(abc)=0{a=c(a,b,c>0)a=b+c():(B)sinB+sinC2
z+z1=1z1=1zz2z+1=0(z+1)(z2z+1)=0z3+1=0z3=1z2018=(z3)672z2=(1)672z2=z2z2018+z2018=z2+z2=(z+z1)22=12=1(D)
3,a,b,933{a2=3b2b=a+9a2=32(a+9)2a23a27=0(a+3)(2a9)=0a=92(3,a)b=a+92a+b=a+a+92=32a+92=274+92=454=1114(B)
{P(2,2)L:x3y2=0d(P,L)=|10|10=10==10×23=2303(C)
x,ym22am+a+6=0{x+y=2axy=a+6:4a24(a+6)0a3a2x2+y2=(x+y)22xy=4a22a12(x1)2+(y1)2=x2+y22(x+y)+2=4a22a124a+2=4a26a10=4(a232a+916)1094=4(a34)2494a=34(334)2494=814494=8(C)
{A0=A1={xxA}A2={(x,y)x,yAyx3}A3={(x,y,z)x,y,zAyx3,zy3}A4={(x,y,z,w)x,y,z,wAyx3,zy3,wz3}{#(A0)=1#(A1)=12#(A2)=H38=45#(A3)=H45=56#(A4)=H52=151+12+45+56+15=129(C)

f(x)=x2+8x+8{f(x)+f(y)=(x+4)2+(y+4)216f(x)f(y)=(x+4)2(y+4)2{f(x+f(y)0f(x)f(y)0{(x+4)2+(y+4)242(x+4)2(y+4)2=12×42π=8π(D)
威爾遜定理(Wilson theorem): n是質數(n1)!1modn100!+1101;100!+aa(100!a,aa,100!+aa)100!+a,1a100(A)

:此題相當於求各向量在AB投影長中最大的,故選(A)

α,β4x2+12x+1{α+β=12/4=3αβ=1/4{α<0β<0αβ(α+β)2=α+β2αβ=31=4(D)

16. 有甲、乙、丙三個水瓶,開始時分別裝有 1、 2、 3 公升的水。每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶,再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶,然後再將丙瓶的水倒出一半到甲瓶。設經過長時間的多輪操作後,求乙瓶的水有多少公升?
(A) 1.5 (B) 2 (C) 2.5 (D) 3
{bn=Abn1,nNb0=[123],A=[5/81/41/21/41/201/81/41/2]=P1DP{P1=[2(1+7i)/2(17i)/21(17i)/2(1+7i)/2111]D=[1000(57i)16000(5+7i)/16]P=[1/41/41/4(737i)/56(7+57i)/56(21+7i)/56(7+37i)/56(757i)/56(217i)/56]A=P1DP=P1[100000000]P=[1/21/21/21/41/41/41/41/41/4]b=[1/21/21/21/41/41/41/41/41/4][123]=[33/23/2]3/2(A)
17. 若x,y都是整數,則稱(x,y)為一個格子點。 設A(13,17),B(19,5),則在線段¯AB上的格子點共有多少個?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
{A(13,17)B(19,5)AB:y=2x+43(x,y),13x191913+1=7(C)
18. 投擲一枚均勻硬幣 8 次,在最初 3 次的投擲中曾出現正面的條件下, 8 次投擲中恰出現 4 次的機率為何?
(A)532(B)65256(C)105256(D)65224
384:3513C31C5322C32C5231C33C5183:2531:2825C31C53+C32C52+C33C512825=30+30+525632=65224(D)
19. 設一橢圓形Γ:x216+y27=1,點A(9,5),焦點 F 在中心點的右側, P為Γ 上的動點,則¯PA¯PF之最小值為何?
(A) 5 (B) 8 (C)61  (D)4467
x216+y27=1{a=4b=7a2=b2+c2c=3{F1=F(3,0)F2(3,0),¯PF1+¯PF2=2a=8¯PA¯PF1=¯PA(8¯PF2)=k¯PA+¯PF2=k+8k+8F2,P,Ak+8=¯F2A=122+52=13k=5(A)
20. 有 10 間房間,第 1 間有 1 人,第 2 間有 2 人,…,第 10 間有 10 人,共 55 人;從這 55 人中任選 2 人,則此 2 人不在同一房間的選法共有幾種?
(A) 1215 (B) 1320 (C) 1440 (D) 1485
N=1(2+3++10)+2(1+3+4++10)++10(1+2++9)=10j=110i=1ij10i=1i2=55×55385=2640=N÷2=1320(ij=ji)(B)

{a4b12ch=124a=1212b=12ch{a=c4hb=c12h;{{a+b>cab<c{c3h>cc6h<c3<h<6(B)

ABCD1{A(0,0)B(1,0)C(1,1)D(0,1)E(2/3,0)F(0,2/5){L1:DE:y=3x/2+1L2:CF:y=3x/5+2/5L1L2P(2/7,4/7){AP=(2/7,4/7)AB=(1,0)AC=(1,1)AP=xAB+yAC(2/7,4/7)=(x,0)+(y,y)=(x+y,y)x+y=27(C)

k2k+(k+1)d,kN,dN02018=2k+(k+1)d(k,d)=(1,1008),(3,503),(4,402),(18,200),(38,99),(200,18),(402,8),(806,3),(1008,2),(2018,0)10(B)
24. 將 1,2,3,4,5,6,7,8, 9, 10 共 10 個數字放入下方 2 列 5 行的格子內,每個格子恰好放入一個數字且數字不能重複,並規定:
(1) 每一行下面的數字不能比上面大 (2) 每一列左邊的數字不能比右邊大
請問共有幾種填入數字的方式?

:;34891012567110:5511n=5的卡特蘭數(Catalan number)C(n=5)=1n+1C2nn=16C105=42(A)
25. 考慮平面坐標中,拋物線Γ:y2=x+3,直線L:y=x3與兩坐標軸在第一象限所圍成的有界區域為 S ;則 S 繞 x 軸旋轉所得的旋轉體之體積為何?


S=+X=30y2πdx=π30x+3dx=π[12x2+3x]|30=272πX=63y2π(x3)2πdx=π63x2+7x6dx=π[13x3+72x26x]|63=π(1892)=272π=272π+272π=27π(C)






2 則留言:

  1. 您好:請問第11題的重複組合是怎麼解釋的?看不太懂,謝謝

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    1. 以A2為例,假設1<=x<=y<=12, 令u=1與x的距離,v=x與y的距離,w=y與12的距離, 則u+v+w=11;由於y-x>=3,取v'=y-x-3,則u+v'+w=8 ,其整數解為H(3,8)

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