臺東縣107學年度國民中學特殊教育(含資賦優異)教師聯合甄選-數學科
解:x2+y2=1⇒{x=cosθy=sinθ⇒(1−xy)(1+xy)=1−x2y2=1−cos2θsin2θ=1−14sin22θ⇒當sin22θ=1時,有最小值1−14=34,故選(D)解:{(→a+3→b)⊥(7→a−5→b)(→a−4→b)⊥(7→a−2→b)⇒{(→a+3→b)⋅(7→a−5→b)=0(→a−4→b)⋅(7→a−2→b)=0⇒{7|→a|2+16→a⋅→b−15|→b|2=07|→a|2−30→a⋅→b+8|→b|2=0⇒{→a⋅→b=12|→b|2|→a|=|→b|⇒cosθ=→a⋅→b|→a||→b|=12⇒θ=π3,故選(A)
解:f(x)=(x−2)(x−3)+(x−3)(x−4)+(x−4)(x−2)=3x2−18x+26f(x)=0的兩根a,b⇒{a+b=6ab=26/3⇒8(2−a)(2−b)+27(3−a)(3−b)+64(4−a)(4−b)=8ab−2(a+b)+4+27ab−3(a+b)+9+64ab−4(a+b)+16=826/3−8+2726/3−9+6426/3−8=12−81+96=27,故選(B)解:A在x2+y2=1⇒A(cosθ,sinθ,0)⇒d(A,E)=|3cosθ+4sinθ−12|√32+42+122=|5cos(θ+α)−12|13⇒m=min(d(A,E))=713,where cos(θ+α)=1,故選(C)
解:由題意可知{長軸在x+y=0上短軸在x−y=2上a=3b=2⇒橢圓方程式:(|x−y−2|)2√29+(|x+y|)2√24=1⇒13x2+10xy+13y2−16x+16y−56=0無法化成該形式,故無解註:公布答案為(D)
解:正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R⇒{sinA=a/2RsinB=b/2RsinC=c/2R因此2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC⇒2a22R=(2a+c)b2R+(2c+b)c2R⇒2a2=(2a+c)b+(2c+b)c⇒2a2=2ab+2bc+2c2⇒a2−ab=c2+bc⇒(a−b)2+ab=(b+c)2−bc⇒(a−b)2−(b+c)2=−b(a+c)⇒(a+c)(a−2b−c)+b(a+c)=0⇒(a+c)(a−b−c)=0⇒{a=−c(不合∵a,b,c>0)a=b+c(不合∵二邊和需大於第三邊),因此無解註:公布的答案為(B),這也不合理∵sinB+sinC≤2
解:z+z−1=1⇒z−1=−1z⇒z2−z+1=0⇒(z+1)(z2−z+1)=0⇒z3+1=0⇒z3=−1⇒z2018=(z3)672⋅z2=(−1)672⋅z2=z2⇒z2018+z−2018=z2+z−2=(z+z−1)2−2=1−2=−1,故選(D)解:3,a,b,9,前3數成等比,後3數成等差⇒{a2=3b2b=a+9⇒a2=32(a+9)⇒2a2−3a−27=0⇒(a+3)(2a−9)=0⇒a=92(−3不合,∵a為正數)⇒b=a+92⇒a+b=a+a+92=32a+92=274+92=454=1114,故選(B)
解:令{P(−2,2)L:x−3y−2=0⇒d(P,L)=|−10|√10=√10=正△的高⇒邊長=√10×2√3=2√303,故選(C)
解:x,y為m2−2am+a+6=0之二實根⇒{x+y=2axy=a+6判別式:4a2−4(a+6)≥0⇒a≥3或a≤−2⇒x2+y2=(x+y)2−2xy=4a2−2a−12⇒(x−1)2+(y−1)2=x2+y2−2(x+y)+2=4a2−2a−12−4a+2=4a2−6a−10=4(a2−32a+916)−10−94=4(a−34)2−494當a=3時,有最小值4(3−34)2−494=814−494=8,故選(C)
解:令{A0=∅A1={x∣x∈A}A2={(x,y)∣x,y∈A且y−x≥3}A3={(x,y,z)∣x,y,z∈A且y−x≥3,z−y≥3}A4={(x,y,z,w)∣x,y,z,w∈A且y−x≥3,z−y≥3,w−z≥3}⇒{#(A0)=1#(A1)=12#(A2)=H38=45#(A3)=H45=56#(A4)=H52=15⇒共有1+12+45+56+15=129,故選(C)
解:f(x)=x2+8x+8⇒{f(x)+f(y)=(x+4)2+(y+4)2−16f(x)−f(y)=(x+4)2−(y+4)2因此{f(x+f(y)≤0f(x)−f(y)≤0⇒{(x+4)2+(y+4)2≤42(x+4)2≤(y+4)2⇒兩者交集為一半圓,因此面積=12×42π=8π,故選(D)
解:威爾遜定理(Wilson theorem): n是質數⟺(n−1)!≡−1modn因此100!+1是101的倍數;其它的100!+a是a的倍數(∵100!是a的倍數,a也是a的倍數,所以100!+a是a的倍數)⇒100!+a不昰質數,1≤a≤100,故選(A)
解:此題相當於求各向量在→AB投影長中最大的,故選(A)
解:威爾遜定理(Wilson theorem): n是質數⟺(n−1)!≡−1modn因此100!+1是101的倍數;其它的100!+a是a的倍數(∵100!是a的倍數,a也是a的倍數,所以100!+a是a的倍數)⇒100!+a不昰質數,1≤a≤100,故選(A)
解:α,β為4x2+12x+1的兩根⇒{α+β=−12/4=−3αβ=1/4⇒{α<0β<0⇒√α及√β均為虛數⇒(√α+√β)2=α+β−2√αβ=−3−1=−4,故選(D)
16. 有甲、乙、丙三個水瓶,開始時分別裝有 1、 2、 3 公升的水。每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶,再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶,然後再將丙瓶的水倒出一半到甲瓶。設經過長時間的多輪操作後,求乙瓶的水有多少公升? |
(A) 1.5 (B) 2 (C) 2.5 (D) 3 |
解:{bn=Abn−1,n∈Nb0=[123],其中A=[5/81/41/21/41/201/81/41/2]=P−1DP其中{P−1=[2(−1+√7i)/2(−1−√7i)/21(−1−√7i)/2(−1+√7i)/2111]D=[1000(5−√7i)16000(5+√7i)/16]P=[1/41/41/4(−7−3√7i)/56(−7+5√7i)/56(21+√7i)/56(−7+3√7i)/56(−7−5√7i)/56(21−√7i)/56]由於A∞=P−1D∞P=P−1[100000000]P=[1/21/21/21/41/41/41/41/41/4]⇒b∞=[1/21/21/21/41/41/41/41/41/4][123]=[33/23/2]⇒乙瓶的水為3/2,故選(A)
17. 若x,y都是整數,則稱(x,y)為一個格子點。 設A(13,17),B(19,5),則在線段¯AB上的格子點共有多少個? |
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 |
解:{A(13,17)B(19,5)⇒↔AB:y=−2x+43⇒(x,y)皆是格子點,13≤x≤19因此共有19−13+1=7個格子點,故選(C)
18. 投擲一枚均勻硬幣 8 次,在最初 3 次的投擲中曾出現正面的條件下, 8 次投擲中恰出現 4 次的機率為何? |
(A)532(B)65256(C)105256(D)65224 |
19. 設一橢圓形Γ:x216+y27=1,點A(9,5),焦點 F 在中心點的右側, P為Γ 上的動點,則¯PA−¯PF之最小值為何? |
(A) 5 (B) 8 (C)√61 (D)4√46−7 |
20. 有 10 間房間,第 1 間有 1 人,第 2 間有 2 人,…,第 10 間有 10 人,共 55 人;從這 55 人中任選 2 人,則此 2 人不在同一房間的選法共有幾種? |
(A) 1215 (B) 1320 (C) 1440 (D) 1485 |
解:假設{邊長a對應的高為4邊長b對應的高為12邊長c對應的高為h⇒△面積=124a=1212b=12ch⇒{a=c4hb=c12h;{兩邊和大於第三邊兩邊差小於第三邊⇒{a+b>ca−b<c⇒{c3h>cc6h<c⇒3<h<6,故選(B)
解:第k列的數列可表示成⟨2k+(k+1)d⟩,k∈N,d∈N∪0⇒2018=2k+(k+1)d≡(k,d)=(1,1008),(3,503),(4,402),(18,200),(38,99),(200,18),(402,8),(806,3),(1008,2),(2018,0),共10個,故選(B)
解:假設ABCD為邊長為1的正方形,則{A(0,0)B(1,0)C(1,1)D(0,1)E(2/3,0)F(0,2/5)⇒{L1:↔DE方程式:y=−3x/2+1L2:↔CF方程式:y=3x/5+2/5⇒L1與L2交點P(−2/7,4/7)⇒{→AP=(2/7,4/7)→AB=(1,0)→AC=(1,1)⇒→AP=x→AB+y→AC⇒(2/7,4/7)=(x,0)+(y,y)=(x+y,y)⇒x+y=27,故選(C)
24. 將 1,2,3,4,5,6,7,8, 9, 10 共 10 個數字放入下方 2 列 5 行的格子內,每個格子恰好放入一個數字且數字不能重複,並規定: |
(1) 每一行下面的數字不能比上面大 (2) 每一列左邊的數字不能比右邊大 |
請問共有幾種填入數字的方式? |
解:假設下方格子的代號是「下」,上方格子的代號是「上」,即:上上上上上下下下下下;對任意符合要求的結果,如34891012567。按照1−10的順序寫下代號,此例的代號序列就是:下下上上下下下上上上。反是符合要求的代號序列一定是5個下5個上,且第1個一定是下,最後1個是上;而且由左向右觀察,下的數量大於等於上的數量,這也就是n=5的卡特蘭數(Catalan number)即C(n=5)=1n+1C2nn=16C105=42,故選(A)
S=藍色+綠色,見上圖;藍色繞X軸旋轉體積=∫30y2πdx=π∫30x+3dx=π[12x2+3x]|30=272π綠色繞X軸旋轉體積=∫63y2π−(x−3)2πdx=π∫63−x2+7x−6dx=π[−13x3+72x2−6x]|63=π(18−92)=272π因此所求體積=272π+272π=27π,故選(C)
您好:請問第11題的重複組合是怎麼解釋的?看不太懂,謝謝
回覆刪除以A2為例,假設1<=x<=y<=12, 令u=1與x的距離,v=x與y的距離,w=y與12的距離, 則u+v+w=11;由於y-x>=3,取v'=y-x-3,則u+v'+w=8 ,其整數解為H(3,8)
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