107年臺東縣國中教甄聯招-數學詳解

臺東縣107學年度國民中學特殊教育（含資賦優異）教師聯合甄選-數學科

解：$$x^2+y^2=1 \Rightarrow \cases{x=\cos \theta\\ y=\sin \theta} \Rightarrow (1-xy)(1+xy) =1-x^2y^2= 1-\cos^2\theta \sin^2\theta = 1-{1\over 4}\sin^2 2\theta \\ \Rightarrow 當\sin^2 2\theta =1 時，有最小值1-{1\over 4}={3\over 4}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解：$$\cases{(\vec a+3\vec b)\bot (7\vec a-5\vec b) \\ (\vec a-4\vec b)\bot (7\vec a-2\vec b)} \Rightarrow \cases{ (\vec a+3\vec b)\cdot (7\vec a-5\vec b)=0 \\ (\vec a-4\vec b)\cdot (7\vec a-2\vec b)=0} \Rightarrow \cases{7|\vec a|^2+16\vec a\cdot \vec b-15|\vec b|^2=0 \\ 7|\vec a|^2-30\vec a\cdot \vec b+8|\vec b|^2=0 } \\ \Rightarrow \cases{\vec a\cdot \vec b={1\over 2}|\vec b|^2\\ |\vec a|=|\vec b|} \Rightarrow \cos \theta ={\vec a\cdot \vec b\over |\vec a||\vec b|} ={1\over 2} \Rightarrow \theta = {\pi \over 3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解：$$f(x)=(x-2)(x-3) +(x-3)(x-4) +(x-4)(x-2)= 3x^2-18x+26\\ f(x)=0的兩根a,b \Rightarrow\cases{a+b= 6 \\ ab=26/3} \Rightarrow {8\over (2-a)(2-b)} +{27\over (3-a)(3-b)} +{64\over (4-a)(4-b)} \\ ={8\over ab-2(a+b)+4} +{27\over ab-3(a+b)+9 } +{64\over ab-4(a+b)+16}\\ = {8\over 26/3-8} +{27\over 26/3- 9 } +{64\over 26/3-8}  =12-81+96 =27，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解：$$A在x^2+y^2=1 \Rightarrow A(\cos \theta,\sin \theta,0) \Rightarrow d(A,E) = \cfrac{|3\cos \theta+4\sin \theta-12|}{\sqrt{3^2+4^2+12^2}} \\ =\cfrac{|5 \cos(\theta+\alpha)-12|}{13} \Rightarrow m= \min(d(A,E))= \cfrac{7}{13},\text{where }\cos (\theta+\alpha)=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解：$$由題意可知\cases{長軸在x+y=0上\\ 短軸在x-y=2上\\ a=3\\ b=2} \Rightarrow 橢圓方程式: \cfrac{(|x-y-2|)^2\over \sqrt 2}{9}+ \cfrac{(|x+ y|)^2 \over \sqrt 2}{4} =1 \\ \Rightarrow 13x^2+10xy+13y^2 -16x+16y-56=0無法化成該形式，故\bbox[red,2pt]{無解}\\註:公布答案為\color{blue}{(D)}$$

解：$$正弦定理:{a\over \sin A}= {b\over \sin B} ={c\over \sin C} =2R \Rightarrow \cases{\sin A=a/2R\\ \sin B=b/2R \\ \sin C=c/2R } \\ 因此2a\sin A= (2a+c)\sin B+(2c+b)\sin C \Rightarrow {2a^2\over 2R}= (2a+c){b\over 2R}+(2c+b){c\over 2R}\\ \Rightarrow 2a^2=(2a+c)b +(2c+b)c \Rightarrow 2a^2=2ab+2bc+2c^2 \Rightarrow a^2-ab =c^2+bc \\ \Rightarrow (a-b)^2+ab=(b+c)^2-bc \Rightarrow (a-b)^2-(b+c)^2 =-b(a+c) \\ \Rightarrow (a+c)(a-2b-c)+b(a+c)=0 \Rightarrow (a+c)(a-b-c)=0\\ \Rightarrow \cases{a=-c(不合\because a,b,c > 0)\\ a=b+c(不合\because 二邊和需大於第三邊)} \\，因此 \bbox[red,2pt]{無解}\\ 註:公布的答案為\color{blue}{(B)}，這也不合理\because \sin B+\sin C \le 2$$

解：$$z+z^{-1}=1 \Rightarrow z-1=-{1\over z} \Rightarrow z^2-z+1=0 \Rightarrow (z+1)(z^2-z+1)=0 \\ \Rightarrow z^3+1=0 \Rightarrow z^3=-1 \Rightarrow z^{2018} =(z^3)^{672}\cdot z^2 =(-1)^{672}\cdot z^2= z^2\\ \Rightarrow z^{2018} +z^{-2018} =z^2+z^{-2} =(z+z^{-1})^2-2 =1-2=-1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解：$$3,a,b,9，前3數成等比，後3數成等差 \Rightarrow \cases{a^2=3b\\ 2b=a+9} \Rightarrow a^2={3\over 2}(a+9) \\ \Rightarrow 2a^2-3a-27=0 \Rightarrow (a+3)(2a-9)=0 \Rightarrow a={9\over 2}(-3 不合,\because a為正數) \\ \Rightarrow b=\cfrac{a+9}{2} \Rightarrow a+b= a+\cfrac{a+9}{2} =\cfrac{3}{2}a +\cfrac{9}{2}  =\cfrac{27}{4} +\cfrac{9}{2} =\cfrac{45}{4}=11{1\over 4}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解：$$令\cases{P(-2,2)\\ L:x-3y-2=0} \Rightarrow d(P,L)=\cfrac{|-10|}{\sqrt{10}} =\sqrt{10} = 正\triangle 的高 \\\Rightarrow 邊長= \sqrt{10}\times \cfrac{2}{\sqrt 3} =\cfrac{2\sqrt{30}}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解：$$x,y為m^2-2am+a+6=0之二實根\Rightarrow \cases{x+y=2a\\ xy=a+6\\ 判別式:4a^2-4(a+6)\ge 0 \Rightarrow a\ge 3或a\le -2} \\ \Rightarrow x^2+y^2 =(x+y)^2-2xy = 4a^2-2a-12 \Rightarrow (x-1)^2+ (y-1)^2 = x^2+y^2-2(x+y)+2\\ =4a^2-2a-12-4a+2 =4a^2-6a-10 =4(a^2-{3\over 2}a+{ 9\over 16})-10-{9\over 4} =4(a-{3\over 4})^2-{49\over 4}\\ 當a=3時，有最小值4(3-{3\over 4})^2-{49\over 4} ={81\over 4}-{49\over 4}=8，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解：$$ 令\cases{A_0=\varnothing \\  A_1=\{x\mid x\in A\} \\ A_2=\{(x,y)\mid x,y\in A且y-x\ge 3\} \\ A_3=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in A且y-x\ge 3, z-y\ge 3\} \\A_4=\{(x,y,z,w)\mid x,y,z,w\in A且y-x\ge 3, z-y\ge 3,w-z\ge 3\}} \\ \Rightarrow \cases{\#(A_0)=1\\ \#(A_1)=12\\ \#(A_2)=H^3_8=45\\ \#(A_3)= H^4_5=56 \\\#(A_4)=H^5_2=15\\  } \Rightarrow 共有1+12+45+56+15 =129，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解：

$$f(x)=x^2+8x+8 \Rightarrow \cases{f(x)+f(y)=(x+4)^2+(y+4)^2-16\\ f(x)-f(y)=(x+4)^2-(y+4)^2}\\ 因此\cases{f(x+f(y)\le 0\\ f(x)-f(y)\le 0} \Rightarrow \cases{(x+4)^2+(y+4)^2 \le 4^2\\ (x+4)^2 \le (y+4)^2} \\\Rightarrow 兩者交集為一半圓，因此面積={1\over 2}\times 4^2\pi=8\pi，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解：$$\text{威爾遜定理(Wilson theorem): }n\text{是質數} \iff (n-1)! \equiv -1 \mod n\\因此 100!+1 是101的倍數;\\其它的100!+a 是a的倍數(\because 100!是a的倍數,a也是a的倍數,所以100!+a是a的倍數)\\ \Rightarrow 100!+a不昰質數, 1\le a\le 100，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解：此題相當於求各向量在\(\overrightarrow{AB}\)投影長中最大的，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

解：$$\alpha,\beta為4x^2+12x+1的兩根 \Rightarrow \cases{\alpha+\beta =-12/4=-3 \\ \alpha\beta =1/4} \Rightarrow \cases{\alpha < 0 \\ \beta < 0}\Rightarrow \sqrt \alpha及\sqrt \beta均為虛數\\\Rightarrow (\sqrt \alpha+\sqrt \beta)^2 = \alpha+\beta -2\sqrt{\alpha\beta} =-3-1= -4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

16. 有甲、乙、丙三個水瓶，開始時分別裝有 1、 2、 3 公升的水。每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半到甲瓶。設經過長時間的多輪操作後，求乙瓶的水有多少公升？

(A) 1.5 (B) 2 (C) 2.5 (D) 3

解：$$\cases{ b_n = Ab_{n-1},n\in N \\ b_0=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}},其中A=\begin{bmatrix} 5/8& 1/4 & 1/2\\ 1/4 & 1/2 & 0 \\ 1/8& 1/4 & 1/2\end{bmatrix} =P^{-1}DP\\ 其中\cases{P^{-1}= \begin{bmatrix} 2& (-1+\sqrt 7i)/2 & (-1-\sqrt 7i)/2\\ 1 & (-1-\sqrt 7i)/2 & (-1+\sqrt 7i)/2 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}\\ D=\begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & (5-\sqrt 7i)16 & 0 \\ 0& 0 & (5+\sqrt 7i)/16\end{bmatrix}\\ P=\begin{bmatrix} 1/4& 1/4 & 1/4\\ (-7-3\sqrt 7i)/56 & (-7+5\sqrt 7i)/56 & (21+\sqrt 7i)/56 \\ (-7+3\sqrt 7i)/56& (-7-5\sqrt 7i)/56 & (21-\sqrt 7i)/56\end{bmatrix}}\\ 由於A^\infty = P^{-1}D^\infty P =P^{-1}\begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0\end{bmatrix} P =\begin{bmatrix} 1/2& 1/2 & 1/2\\ 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ 1/4 & 1/4 & 1/4\end{bmatrix} \\ \Rightarrow b_\infty =\begin{bmatrix} 1/2& 1/2 & 1/2\\ 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ 1/4 & 1/4 & 1/4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3 \\ 3/2 \\ 3/2\end{bmatrix} \Rightarrow 乙瓶的水為3/2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

17. 若\(x,y\)都是整數，則稱\((x,y)\)為一個格子點。 設\(A(13,17),B(19,5)\)，則在線段\(\overline{AB}\)上的格子點共有多少個？

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

解：$$\cases{A(13,17) \\B(19,5)} \Rightarrow \overleftrightarrow{AB}: y=-2x+43  \Rightarrow (x,y)皆是格子點, 13\le x\le 19 \\ 因此共有19-13+1=7個格子點，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

18. 投擲一枚均勻硬幣 8 次，在最初 3 次的投擲中曾出現正面的條件下， 8 次投擲中恰出現 4 次的機率為何？

\((A){5\over 32}\qquad (B){65\over 256}\qquad (C){105\over 256}\qquad (D){65\over 224}\)

解：$$最初3次曾出現正面且8次中恰好4正面的情形:\\\begin{array}{} 前3次 &後5次& 次數\\\hline 1正 & 3正& C^3_1C^5_3\\ 2正 & 2正& C^3_2C^5_2\\ 3正 & 1正& C^3_3C^5_1\\\hline \end{array}\\ 擲8次前3次都是反面的次數:2^5\\ 前3次至少1次正面的次數:2^8-2^5\\ 因此所求機率為\cfrac{C^3_1C^5_3 + C^3_2C^5_2 +C^3_3C^5_1}{2^8-2^5} =\cfrac{30+30+5}{256-32} =\cfrac{65}{224}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

19. 設一橢圓形\(\Gamma:\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{7}=1\)，點\(A(9,5)\)，焦點 F 在中心點的右側， P為\(\Gamma\) 上的動點，則\(\overline{PA}-\overline{PF}\)之最小值為何？

(A) 5 (B) 8 (C)\(\sqrt{61}\)  (D)\(4\sqrt{46}-7\)

解：$${x^2\over 16} +{y^2\over 7}=1 \Rightarrow \cases{a=4\\ b=\sqrt 7} \Rightarrow a^2=b^2+c^2 \Rightarrow c=3 \Rightarrow \cases{F_1=F(3,0) \\F_2(-3,0)}\\ 依橢圓定義,\overline{PF_1} +\overline{PF_2}=2a=8 \Rightarrow \overline{PA}- \overline{PF_1} = \overline{PA}-(8-\overline{PF_2})=k \Rightarrow \overline{PA}+ \overline{PF_2}=k+8\\ \Rightarrow k+8 要最小，即F_2,P,A在一直線上 \Rightarrow k+8 = \overline{F_2A} = \sqrt{12^2+5^2} =13 \Rightarrow k=5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

20. 有 10 間房間，第 1 間有 1 人，第 2 間有 2 人，…，第 10 間有 10 人，共 55 人；從這 55 人中任選 2 人，則此 2 人不在同一房間的選法共有幾種？

(A) 1215 (B) 1320 (C) 1440 (D) 1485

解：$$N=1(2+3+\cdots+10) +2(1+3+4+\cdots+ 10)+ \cdots +10(1+2 +\cdots+9)\\ =\sum_{j=1}^{10} \sum_{i=1}^{10}ij -\sum_{i=1}^{10}i^2 =55\times 55 -385=2640\\ 所求次數=N\div 2=1320 (\because ij=ji)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解：$$假設\cases{邊長a對應的高為4\\ 邊長b對應的高為12\\ 邊長c對應的高為h } \Rightarrow \triangle 面積= {1\over 2}4a ={1\over 2}12b ={1\over 2}ch \Rightarrow \cases{a={c\over 4}h \\ b={c\over 12}h};\\\cases{兩邊和大於第三邊\\ 兩邊差小於第三邊} \Rightarrow \cases{a+b > c\\ a-b < c} \Rightarrow \cases{{c\over 3}h > c\\ {c\over 6}h< c} \Rightarrow 3 < h< 6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解：$$假設ABCD為邊長為1的正方形，則\cases{A(0,0)\\ B(1,0)\\ C(1,1)\\ D(0,1)\\ E(2/3,0)\\ F(0,2/5)} \Rightarrow \cases{L_1:\overleftrightarrow{DE}方程式:y=-3x/2+1\\ L_2:\overleftrightarrow{CF}方程式:y=3x/5+2/5} \\ \Rightarrow L_1與L_2 交點P(-2/7,4/7) \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AP}=(2/7,4/7) \\ \overrightarrow{AB}=(1,0)\\ \overrightarrow{AC}=(1,1)} \Rightarrow \overrightarrow{AP} =x\overrightarrow{AB} +y\overrightarrow{AC} \\ \Rightarrow (2/7,4/7)=(x,0)+(y,y) =(x+y,y) \Rightarrow x+y={2\over 7}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解：$$第k列的數列可表示成\langle 2k+(k+1)d \rangle,k\in N,d\in N\cup{0} \\ \Rightarrow 2018= 2k+(k+1)d \equiv (k,d)= (1,1008), (3,503), (4,402), (18,200), (38,99)\\ \qquad, (200,18), (402,8), (806,3), (1008,2),(2018,0)，共10個，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

24. 將 1,2,3,4,5,6,7,8, 9, 10 共 10 個數字放入下方 2 列 5 行的格子內，每個格子恰好放入一個數字且數字不能重複，並規定：

(1) 每一行下面的數字不能比上面大 (2) 每一列左邊的數字不能比右邊大

請問共有幾種填入數字的方式？

解：$$假設下方格子的代號是「下」，上方格子的代號是「上」，即:\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 上& 上&上&上&上\\ \hline 下 & 下& 下& 下& 下\\\hline\end{array};\\ 對任意符合要求的結果，如\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 3& 4&8&9 &10\\ \hline 1 & 2& 5& 6& 7\\\hline\end{array}。\\按照1-10的順序寫下代號，此例的代號序列就是:下下上上下下下上上上。\\反是符合要求的代號序列一定是5個下5個上，且第1個一定是下，最後1個是上；\\而且由左向右觀察，下的數量大於等於上的數量，這也就是n=5\text{的卡特蘭數(Catalan number)}\\ 即C(n=5)={1\over n+1}C^{2n}_n ={1\over 6}C^{10}_5=42，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

25. 考慮平面坐標中，拋物線\(\Gamma:y^2=x+3\)，直線\(L:y=x-3\)與兩坐標軸在第一象限所圍成的有界區域為 S ；則 S 繞 x 軸旋轉所得的旋轉體之體積為何？

解：

$$S=藍色+綠色，見上圖；\\ 藍色繞X軸旋轉體積=\int_0^3 y^2\pi\;dx = \pi\int_0^3 x+3\;dx=\pi\left. \left[ {1\over 2}x^2+3x \right] \right|_0^3 = {27\over 2}\pi\\ 綠色繞X軸旋轉體積= \int_3^6 y^2\pi-(x-3)^2\pi\;dx = \pi\int_3^6 -x^2+7x-6\;dx \\=\pi\left. \left[ -{1\over 3}x^3+{7\over 2}x^2-6x \right] \right|_3^6 =\pi(18-{9\over 2}) = {27\over 2}\pi\\ 因此所求體積={27\over 2}\pi +{27\over 2}\pi =27\pi，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$