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2020年11月6日 星期五

108年彰化女中教甄-數學詳解

國立彰化女子高級中學108學年度第1次教師甄選數學科試題

一、填充題

1. 已知x+1x=22,且x>1,求x8的整數部分為_____

x+1x=22(x+1x)2=x2+2+1x2=(22)2=8x2+1x2=6x4+1x4=34x8+1x8=1154x81153(x>11x8<1)

2. n為正整數,已知22+2n+210為完全平方數, n的最大值與最小值之和為___

(25+2)2=210+27+22=210+2n+22n=7(2n/2+2)2=2n+42n/2+22=2n+210+22n=167+16=23

3. 設有A,B兩支大瓶子,開始時,A瓶裝有23公升的純酒精,B瓶裝有123公升的礦泉水。每一輪操作都是先將 A瓶的溶液倒出一半到 B 瓶,然後再將 B 瓶的溶液倒出一半回 A瓶(不考慮酒精與水混合後體積的縮小)。在第三輪操作後,A瓶的溶液中有____%的酒精。

{an=12an1+12(12an1+bn1)=34an1+12bn1bn=12(12an1+bn1)=14an1+12bn1a0=2/3b0=1/3[anbn]=[3/41/21/41/2][an1bn1][a3b3]=[3/41/21/41/2]3[2/31/3]=[43/6421/3221/6411/32][2/31/3]{a3=4364×23=4396a3=2132×13=732A=43/9643/96+7/32=4364=0.671875=67.1875%

4. 設0<θ<ϕ,θ+ϕ=45,若cotθ,cotϕ都是正整數,求cotθ+cotϕ之值=_____

 

0<θ<ϕcotθ>cotϕ;ϕ+θ=45cot(ϕ+θ)=cot(45)cotθcotϕ1cotϕ+cotθ=1cotθcotϕcotθcotϕ1=0cotθ(cotϕ1)(cotϕ1)=2(cotθ1)(cotϕ1)=2{cotθ=3cotϕ=2(cotϕ,cotθ)cotθ+cotϕ=3+2=5

5. 如圖所示﹐ PQRS 為一給定的矩形,長¯PQ=14,寬 ¯QR=6,而ABC為等腰三角形﹐其中¯AB=¯AC,P,Q¯BC邊上,R,S分別在¯CA,¯AB邊上,求ABC面積的最小值=____

¯QC=aRQC=3aAERRQCAERRQC=¯ER2¯QC2=49a2AER=49a2RQC=147aABC=2AER+2RQC+PQRS=294a+6a+84294a+6a2294a6a=2×42=84ABC84+84=168

6. 將一枚均勻的硬幣丟擲 n 次,在丟擲過程中,正面第一次出現時可得獎金 100 元,正面第二次出現時可再得獎金 200元,正面第三次出現時可再得獎金 300 元,以此類推。則丟擲 n 次的獎金期望值為____元。(以n表示)

nk=12nCnk=12nnk=1(100×ki=1)Cnk=1002nnk=1k(k+1)2Cnk=502n(nk=1k2Cnk+nk=1kCnk)=502n(nk=1k(k1)Cnk+2nk=1kCnk)=502n(n(n1)2n2+2n2n1)=504n(n1)+50n=252(n2n)+1002n=252(n2+3n):f(x)=(x+1)n=nk=0Cnkxkf(x)=n(x+1)n1=nk=0kCnkxn1f(x)=n(n1)(x+1)n2=nk=0k(k1)Cnkxn2{f(1)=n2n1=nk=0kCnkf(1)=n(n1)2n2=nk=0k(k1)Cnk

7. 在空間直角坐標系中有一點A(5,26,7)x,y平面上有一圓 C,其圓心為原點 O、半徑為2,P 為圓 C 上的點且向量OA與向量OP所圍三角形面積為整數,則這樣的 P 點有____ 個。

{A(5,26,7)P(2cosθ,2sinθ,0)O(0,0,0){OA=(5,26,7)OP=(2cosθ,2sinθ,0)OA×OP=(72sinθ,72cosθ,52sinθ43cosθ)|OA×OP|=98+(52sinθ43cosθ)2=98+98sin2(θα)R=OAP=1298+98sin2(θα)1298R12196R=5,6,7(RZ){R=7sin2(θα)=1θ2R=5sin2(θα)=2/98θ4R=6sin2(θα)=46/98θ410P10

8. 函數 f(x)=x22xg(x)=x21的圖形有兩條公切線且可得到四個切點,則此四個切點組成的四邊形周長為 ___

{f(x)=x22xg(x)=x21{f(x)=2x2g(x)=2xy=f(x)A(a,a22a)Af(a)=2a2AL:y=(2a2)(xa)+a22aLy=g(x)(2a2)(xa)+a22a=x21x2+(2a2)xa2+1=00(2a2)24(1a2)=04a222a1=0a=2±64y=f(x){A(2+64,34)A(264,34)y=g(x){B(264,364)B(2+64,3+64)¯AA=¯BB=¯AB=¯AB=3/2AABB=4×32=6

9. 計算lim=____

\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n {\sqrt{4n^2-3k^2}\over 4n^2} =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n {1\over 2n}{\sqrt{1-{3\over 4}({k\over n})^2} } ={1\over 2} \int_0^1 \sqrt{1-{3\over 4}x^2}\;dx\\ 令\sin u={\sqrt 3\over 2}x \Rightarrow \cos u\;du={\sqrt 3\over 2} dx \Rightarrow 原式={1\over 2}\int_0^{\pi/3}\sqrt{1-\sin^2 u}\cdot {2\over \sqrt 3}\cos u\;du \\ ={1\over 2}\int_0^{\pi/3} {2\over \sqrt 3}\cos^2 u\;du ={1\over 2}\int_0^{\pi/3} {1\over \sqrt 3}(\cos 2u+1)\;du ={1\over 2}\cdot {1\over \sqrt 3} \left. \left[ {1\over 2}\sin 2u+ u\right] \right|_0^{\pi/3} \\ ={1\over 2}\cdot {1\over \sqrt 3}({\sqrt 3\over 4} +{\pi\over 3}) =\bbox[red,2pt]{{1\over 8}+{\sqrt 3\over 18}\pi}

10. 已知A(1,3)為橢圓{(x+1)^2 \over 25} +{(y-2)^2 \over 16}=1內部一點, F 是橢圓 Γ 的左焦點且 P 在 Γ 上,則\overline{PA}+ {5\over 3}\overline{PF}的最小值為 _______

{(x+1)^2\over 25} +{(y-2)^2\over 16}=1 \Rightarrow \cases{a=5\\ b=4 \\ O(-1,2)} \Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=3 \Rightarrow \cases{F(-4,2)\\ F'(2,2)\\ e=c/a=3/5} \\\Rightarrow 左準線L:x-(-1)=-a^2/c= -25/3 \Rightarrow L:x=-28/3 \Rightarrow d(A,L)=1+28/3=31/3;\\由橢圓定義: \overline{PF}=e\cdot \text{dist}(P,L) \Rightarrow\overline{PA}+{5\over 3} \overline{PF} = \overline{PA}+{5\over 3} e\cdot \text{d}(P,L) = \overline{PA}+  \text{d}(P,L)最小\\ \Rightarrow  \overline{PA}為一水平線 \Rightarrow \overline{PA}+  \text{d}(P,L)=d(A,L)=\bbox[red,2pt]{31/3}

11. 求極限值\lim_{x\to 0}\left[ {1\over x^2} \times \int_0^x \sin(2t)\;dt\right]= _______

{1\over x^2}\times \int_0^x \sin(2t)\;dt = {1\over x^2}\times \left. \left[ -{1\over 2}\cos (2t) \right]\right|_0^x ={1\over x^2}(-{1\over 2}\cos (2x)+{1\over 2}) ={1-\cos(2x) \over 2x^2} \\ \Rightarrow \lim_{x\to 0} \left[ {1\over x^2}\times \int_0^x \sin(2t)\;dt\right] =\lim_{x\to 0}{1-\cos(2x) \over 2x^2} =\lim_{x\to 0}{(1-\cos(2x))' \over (2x^2)'} =\lim_{x\to 0}{2\sin(2x) \over 4x} \\ =\lim_{x\to 0}{(2\sin(2x))' \over (4x)'} =\lim_{x\to 0}{4\cos(2x) \over 4} ={4\over 4}=\bbox[red,2pt]{1}

12. 單位圓上有 10 個點將圓周等分,將此 10 點任兩點相連共可得 45 條線段,則這 45 條線段長度的乘積值為 _______

在複數平面上,z^{10}=1的解即為單位圓上正10邊形上的頂點,其解為\omega_i=e^{i\theta},\theta=2\pi/10,i=0-9;\\ \Rightarrow z^{10}-1 = (z-1)(z^9+z^8+\cdots +1)=(z-\omega_0)(z-\omega_1)\cdots (z-\omega_9) \\ \Rightarrow f(z)=(z-\omega_1)(z-\omega_2)\cdots (z-\omega_9) = z^9+z^8+\cdots +1\\ \omega_0 至其它9個頂點\omega_i,i=1-9的距離乘積=|(\omega_0-\omega_1)| \cdot |(\omega_0-\omega_2)| \cdots |(\omega_0-\omega_9)| \\ = |(\omega_0-\omega_1)(\omega_0-\omega_2)\cdots (\omega_0-\omega_9)|=| f(\omega_0)| =| f(1)| =|1+1+\cdots+ 1| =10 \\ \Rightarrow 任一頂點至其它九個頂點距離的乘積均為10\\ \Rightarrow \cases{|(\omega_0-\omega_1)| \cdot |(\omega_0-\omega_2)| \cdots |(\omega_0-\omega_9)|=10 \\ |(\omega_1-\omega_0)| \cdot |(\omega_1-\omega_2)| \cdots |(\omega_1-\omega_9)|=10 \\ \cdots \cdots\\ |(\omega_9-\omega_0)| \cdot |(\omega_9-\omega_1)| \cdots |(\omega_9-\omega_8)|=10 \\} ,10個式子相乘\Rightarrow \Pi_{i\ne j}|\omega_i-\omega_j|^2=10^{10} \\ \Rightarrow \Pi_{i\ne j}|\omega_i-\omega_j|=10^{10/2} = \bbox[red,2pt]{100000}

解題僅供參考

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