103年高考三級-經建行政-統計學詳解

103年公務人員高等考試三級考試

類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術
科 目： 統計學

解答：

(一) $$\cases{\int f(x)\;dx=1\\ E(X)=\int xf(x)\;dx=3/4} \Rightarrow \cases{\int_0^1 a+bx^2 \;dx = a+b/3=1\\ \int_0^1 ax+bx^3\;dx = a/2+b/4= 3/4} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{a=0\\ b=3}}$$ (二) $$F(y)= f(Y\le y)= f(-2\log X\le y) = f(X\ge e^{-y/2}) = \int_{e^{-y/2}}^1 3x^2\;dx = 1-e^{-3y/2} \\ \Rightarrow f(y) ={d\over dy}F(y)=\bbox[red,2pt]{{3\over 2}e^{-3y/2} ,y\ge 0}$$

解答： $$\cases{抽中第1個字母的機率=1\\ 抽中第2個字母的機率=5/6\\ 抽中第3個字母的機率=4/6\\ \cdots\\ 抽中第6個字母的機率=1/6 } \Rightarrow X_i \sim GEO(P_i={7-i\over 6}) \Rightarrow E(\sum X_i)= \sum {1\over P_i} = \sum {6\over 7-i}\\ =1+{6\over 5} +{6\over 4}+{6\over 3}+{6\over 2}+{6\over 1} = \bbox[red, 2pt]{14.7}瓶$$  

解答：

(一) $$每一母體皆為常態、有相同的變異數且抽樣皆隨機$$ (二) $$時間的自由度為3，因此有4種不同的工作時間。\\因此\cases{H_0:\mu_i =\mu_j,\forall i,j\in\{1,2,3,4\} \\ H_1:\mu_i \ne \mu_j, \exists i,j \in\{1,2,3,4\} }，其中\mu_i為在工作時間i的平均工作量,1\le i \le 4;\\ 拒絕域\mathbb{C}=\{F \mid F \gt F_{\alpha =0.05}(3,6)=4.76(查試題附表)\}；\\ 現在\cases{SSR=18,df=3\\ SSE=12,df=6} \Rightarrow \cases{MSR=18/3=6\\ MSE=12/6=2} \Rightarrow 檢定統計量F={6\over 2}=4 \not \in \mathbb{C}\\ \Rightarrow 不能拒絕H_0; 即\bbox[red,2pt]{沒有證據顯示時間之不同會顯著影響工作量}$$ (三) $$假設小母體的共同變異數為\sigma^2 \Rightarrow {SSE\over \sigma^2} \sim \chi^2((r-1)(c-1))= \chi^2((4-1)(3-1))=\chi^2(6)\\ \Rightarrow P(\chi^2_{1-\alpha/2}(6)\le {SSE\over \sigma^2}\le \chi^2_{\alpha/2}(6))=1-\alpha \Rightarrow P(\chi^2_{0.975}(6)\le {SSE\over \sigma^2}\le \chi^2_{0.025}(6))=0.95\\ \Rightarrow \sigma^2的 C.I.=({SSE\over \chi^2_{0.025} (6)},{SSE\over \chi^2_{0.975}(6)}) =({12\over 14.4494},{12\over 1.237342})= \bbox[red,2pt]{(0.8305, 9.6982)}$$

解答： $$令\cases{X:第一次路跑時間\\ Y:第二次路跑時間}，此題相當於求簡單線性迴歸方程式，當x=15時，y值為何？\\依題意\cases{\mu(x)=\mu(y)=40 \\ \sigma(x)=\sigma(y)=5\\ \sigma(x+y)=4} \Rightarrow Var(x+y)= Var(x)+Var(y)+ 2\rho\sigma(x)\sigma(y)\\ \Rightarrow 4^2= 5^2 +5^2+2\cdot 5\cdot 5\cdot\rho \Rightarrow \rho = -{17\over 25} \\\Rightarrow 迴歸直線斜率b_1=\rho \cdot {\sigma(y)\over \sigma(x)} =-{17\over 25}\cdot {5\over 5} =-{17\over 25} \\ \Rightarrow 迴歸直線方程式 y=b_1(x-\mu (x))+ \mu(y) =-{17\over 25}(x-40)+40\\ x=15代入上式\Rightarrow y=-{17\over 25}(15-40)+40 = 57 \Rightarrow 預期為\bbox[red,2pt]{57分鐘}$$

解答：

(一) $$E= z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)\over n} =z_{0.025}\cdot \sqrt{0.5\cdot 0.5\over 100} =1.96\times {0.5\over 10} =\bbox[red, 2pt]{0.098}$$ (二) $$1.96\times {0.5\over \sqrt n} \le 0.02 \Rightarrow \sqrt n \ge 49 \Rightarrow n\ge 2401 \Rightarrow n=100\bbox[red,2pt]{太少}，需要\bbox[red,2pt]{增加2301人}$$

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