103年電機工程技師-工程數學詳解

 103年專門職業及技術人員高等考試

等 別： 高等考試
類 科： 電機工程技師
科 目： 工程數學（包括線性代數、微分方程、複變函數與機率）

解答： $$y'''+Ay''+By'+Cy=0 之特徵方程式p(r)=r^3+Ar^2+Br+C\\ 由於y_1(x)=e^{-2x}\sin(3x)及y_2(x)=e^{-3x}皆為其解，因此-2\pm 3i,-3為p(r)=0的解；\\ 即p(r)=(r+2+3i)(r+2-3i)(r+3) = (r^2+4r+13)(r+3)= r^3+7r^2+25r+39\\ \Rightarrow 原三階微分方程式:y'''+7y''+25y'+39y=0 的解為y=c_1e^{-3x} +e^{-2x} (c_2\cos(3x)+ c_3 \sin(3x))\\ \Rightarrow y'''+7y''+25y'+39y=1的解為\bbox[red,2pt]{y=c_1e^{-3x} +e^{-2x}(c_2\cos(3x)+ c_3\sin(3x))+{1\over 39}}$$

解答：

(一) $$\\f_X(x)= {1\over \sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}為PDF \Rightarrow \int_{-\infty}^\infty {1\over \sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\;dx =1 \Rightarrow \int_{-\infty}^\infty  e^{-x^2/2}\;dx = \sqrt{2\pi} \\ 令\cases{u=x  \\ dv= x e^{-x^2/2} dx   } \Rightarrow \cases{du=dx\\ v=- e^{-x^2/2}} \Rightarrow  E(X^2)= {1\over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty x^2\cdot  e^{-x^2/2} \\ ={1\over \sqrt{2\pi}} \left( \left.- xe^{-x^2/2} \right|_{-\infty}^\infty+ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\right) ={1\over \sqrt{2\pi}}(0+ \sqrt{2\pi})=\bbox[red,2pt]{1 }$$ (二) $$x^5 f_X(x) 為奇函數\Rightarrow E(X^5)= \int_{-\infty}^\infty x^5 f_X(x)\; dx= \bbox[red,2pt]{0}$$ (三) $$E(Y)=E(2X-4)= 2E(X)-E(4)= 2\cdot 0-4=\bbox[red,2pt]{-4}$$ (四) $$E(Y^2) =E((2X-4)^2) = E(4X^2-16X+16) \\= 4E(X^2)-16E(X)+E(16)=4\cdot 1-16\cdot 0+16=\bbox[red,2pt]{20}$$

解答：

(一) $$f(z)=f(x+iy)= e^{-y}\cos x+ie^{-y}\sin x \equiv u+iv \Rightarrow \cases{u_x=-e^{-y}\sin x\\ v_y=-e^{-y}\sin x\\ u_y=-e^{-y}\cos x\\ v_x=e^{-y}\cos x} \\ \Rightarrow \cases{u_x=v_y\\ u_y = -v_x} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{ f(z)可微，\forall z\in \mathbb{C}}$$ (二) $${d\over dz}f(z)= u_x +iv_x =\bbox[red,2pt]{-e^{-y}\sin x+ie^{-y}\cos x}$$

解答： $$\cases{3x+2y +z=7 \\ x-y+3z=3\\ 5x+4y-2z= 1} \Rightarrow \left[\begin{matrix}3 & 2 & 1  \\1 & -1 & 3  \\5 & 4 & -2  \end{matrix}\right] \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}7 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow 令A=\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 7\\1 & -1 & 3 & 3\\5 & 4 & -2 & 1\end{matrix}\right] \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \left[\begin{matrix}1 & -1 & 3 & 3\\3 & 2 & 1 & 7\\5 & 4 & -2 & 1\end{matrix}\right] \xrightarrow{-3R_1+R_2,-5R_1+R_3}\left[\begin{matrix}1 & -1 & 3 & 3\\0 & 5 & -8 & -2\\0 & 9 & -17 & -14\end{matrix}\right]\\ \xrightarrow{R_2/5 }\left[\begin{matrix}1 & -1 & 3 & 3\\0 & 1 & - \frac{8}{5} & - \frac{2}{5}\\0 & 9 & -17 & -14\end{matrix}\right]\xrightarrow{R_2+R_1,-9R_2+R_3}\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{7}{5} & \frac{13}{5}\\0 & 1 & - \frac{8}{5} & - \frac{2}{5}\\0 & 0 & - \frac{13}{5} & - \frac{52}{5}\end{matrix}\right]\\ \xrightarrow{(-5/13)R_3}\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{7}{5} & \frac{13}{5}\\0 & 1 & - \frac{8}{5} & - \frac{2}{5}\\0 & 0 & 1 & 4\end{matrix}\right]\xrightarrow{ (-7/5)R_3+R_1,(8/5)R_3+R_2}\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0& -3\\0 & 1 & 0 & 6\\0 & 0 & 1 & 4\end{matrix}\right] \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{x=-3\\ y=6 \\z=4}}$$

解答： $$A:\cases{x+2y -z=0 \\ 4x-y+z=0\\ 5x+ y-2z= 0} \Rightarrow \left[\begin{matrix}1 & 2 & -1\\4 & -1 & 1\\5 & 1 & -2\end{matrix}\right]\begin{bmatrix} x\\ y \\ z\end{bmatrix}=0；\\令P= \left[\begin{matrix}1 & 2 & -1\\4 & -1 & 1\\5 & 1 & -2\end{matrix}\right] \Rightarrow rref(P)=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \Rightarrow 唯一解\cases{x=0\\ y=0\\z=0 };\\B:\cases{x+y +z=0 \\ x-2y+z=0\\ -2x+ y-2z= 0} \Rightarrow \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & -2 & 1\\-2 & 1 & -2\end{matrix}\right] \begin{bmatrix} x\\ y \\ z\end{bmatrix}=0；\\令Q=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & -2 & 1\\-2 & 1 & -2\end{matrix}\right] \Rightarrow rref(Q)= \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right] \Rightarrow \cases{x+z=0\\ y=0}\\ \Rightarrow 除了x=y=z=0外，\cases{x=1\\y=0\\ z=-1}為另一解；因此\bbox[red,2pt]{B聯立方程式}有非0解；$$

解答：

$$令\cases{A(-2,0)\\ B(3,0)\\ C(3,2)\\ D(-2,2)}及\cases{C_1:A \to B\\ C_2:B\to C\\ C_3:C\to D\\ C_4:D\to A} \Rightarrow \cases{C_1:(-2+5t,0) \\ C_2:(3,2t) \\ C_3:(3-5t,2) \\ C_4:(-2,2-2t)},其中t=0-1;\\ 因此\oint_C (x-3y)dx +(4x+y)dy = \int_{C_1} (x-3y)dx +(4x+y)dy+\int_{C_2} (x-3y)dx +(4x+y)dy \\\qquad \qquad+\int_{C_3} (x-3y)dx +(4x+y)dy+\int_{C_4} (x-3y)dx +(4x+y)dy\\ =\int_0^1 25t-10\;dt+ \int_0^14t+24\;dt +\int_0^1 25t+15\;dt \int_0^1 12+4t\;dt \\=\int_0^1 78t+41\;dt =\bbox[red,2pt]{80}$$

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