103年關務三等-統計學詳解

 103年公務人員特種考試關務人員考試

考 試 別： 關務人員考試
等 別： 三等考試
類 科： 關稅統計
科 目： 統計學

解答：

(一) $$X\sim N(\mu,\sigma^2) \Rightarrow \cases{P(X\lt \mu)=P(Z\lt 0)=0.5\\ P(\mu\lt X\lt \mu+2\sigma) =P(0\lt Z\lt 2)=0.9772-0.5=0.4772\\ P(\mu+2\sigma\lt X\lt \infty)= P(2\lt Z\lt \infty)=1-0.9772=0.0228}\\ \Rightarrow E(X)= 0\times 0.5+100\times 0.4772+ 500\times 0.0228 = \bbox[red,2pt]{59.12元}$$ (二) $$C^3_2\cdot 0.4772^2\cdot (1-0.4772) = \bbox[red,2pt]{0.3572}$$ (三) $$C^5_3\cdot 0.0228^3(1-0.0228)^2 + C^5_4\cdot 0.0228^4(1-0.0228)  + C^5_5\cdot 0.0228^5  =\bbox[red,2pt]{0.0001145}$$ (四) $$0.5^3=0.125$$

解答：

(一) $$三個因子，每個因子有+,-兩個水準，因此有2^3=8個實驗次數；\\再加上每種實驗作2次，實驗總次數為8\times 2=\bbox[red,2pt]{16}次$$ (二) $$各因子效應:\cases{\hat A+:96/8-213/16=-1.3125\\ \hat A-:117/8-213/16=1.3125\\ \hat B+:(47+85)/8-213/16=3.1875\\ \hat B-:(27+54)/8-213/16=-3.1875\\ \hat C+:(47+27)/8-213/16=-4.0625\\ \hat C-:(85+54)/8-213/16= 4.0625}$$ (三) $$\begin{array}{l|ll|ll|l}   & B+& & B-&\\\hline & C+& C- & C+ & C-&\sum\\\hline A+& 10, 11 & 20,21 & 5,6 & 10,13 &96 \\\hline A- & 10,16 & 20,24 & 10, 6& 15,16 & 117\\\hline \sum & 47 &85 & 27 & 54 & \color{blue}{213} \end{array} \\ \Rightarrow \cases{總平均\bar X=213/16\\ \overline{ A+} =96/8=12 \\ \overline{A-}=117/8 \\ \overline{B+}=(47+85)/8=33/2\\ \overline{B-}=(27+54)/8= 81/8 \\ \overline{C+}=(47+27)/8=37/4\\ \overline{C-}=(85 +54)/8=139/8} \Rightarrow \cases{SS_A= 8(\overline{A^+}-\bar X)^2 +8(\overline{A^-}-\bar X)^2 =441/16= 27.5625\\ SS_B= 8(\overline{B^+}-\bar X)^2 +8(\overline{B^-}-\bar X)^2 =2601/16= 162.5625\\ SS_C=8(\overline{C^+}-\bar X)^2 +8(\overline{C^-}-\bar X)^2 = 4225/16= 264.0625}\\ \Rightarrow  SS_{AB}={1\over 4}((10+11+20+21)^2 + (5+6+10+13)^2\\ \qquad + (10+16+20+24)^2 +(10+6+15+16)^2- 213^2/16-SS_A-SS_B=1.5625\\ 及SS_{BC}= {1\over 4}((10+11+10+16)^2 +(20+21+20+24)^2 +(5+6+10+6)^2 \\\qquad +(10+13+15+16)^2-213^2/16 -SS_B-SS_C =7.5625\\ 因此\bbox[red,2pt]{\cases{SS_A=27.5625\\ SS_B=162.5625\\ SS_C=264.0625\\ SS_{AB}=1.5625 \\ SS_{BC}=7.5625}}$$ (四) $$只有SS_B及SS_C大於100，因此B因子不同有顯著差異、C因子不同有顯著差異；\\其他A因子、AB交互及BC交互作用均未達顯著$$

解答：

(一) $$W=(X-2)^2 = X^2-4X+4 \Rightarrow E(W)=E(X^2)-4E(X)+4= \bbox[red,2pt]{\sigma^2+\mu^2-4\sigma+4}$$ (二) $$\cases{\sum_{i=1}^{12} X_i= 2.2+1.9+\cdots + 1.8=23.6\\ \sum_{i=1}^{12} X_i^2= 2.2^2+1.9^2+\cdots + 1.8^2 =46.7}\\ \Rightarrow \cases{\bar X=23.6/12=1.9667\\ S^2 = (\sum X_i^2-(\sum X_i)^2/n)/(n-1)= (46.7-23.6^2/12)/11=0.0261} \\ \Rightarrow S^2+(\bar X-2)^2 = 0.0261+(1.9667-2)^2 =\bbox[red,2pt]{0.0272}$$ (三) $$E(S^2+(\bar X-2)^2)= E(S^2)+E(\bar X^2)-4E(\bar X)+4 =\sigma^2+{\sigma^2\over n}+\mu^2-4\mu+4 \ne E(W)\\ \Rightarrow S^2+(\bar X-2)^2\bbox[red,2pt]{不是}E(W)的不偏估計量$$

解答：

(一) $$X:甲溫度計\Rightarrow \cases{\sum X=57.4 +57.8+\cdots +57.2=581 \\ \sum X^2=57.4^2 +57.8^2+\cdots +57.2^2= 33762.4} \\ \Rightarrow \cases{\bar X=581/10=58.1\\ S_X^2= (33762.4-581^2/10)/9=0.7 \Rightarrow S_X=0.8367} \Rightarrow CV_X={0.8367 \over 58.1}=0.0144\\ Y:乙溫度計\Rightarrow \cases{\sum Y=57.7 +56.4+\cdots +57.5= 582.1 \\ \sum Y^2=57.7^2 +56.4^2+\cdots +57.5^2= 33899.95} \\ \Rightarrow \cases{\bar Y=582.1/10=58.21\\ S_Y^2= (33899.95-582.1^2/10)/9=1.7677 \Rightarrow S_Y=1.3295} \Rightarrow CV_Y={1.3295 \over 58.21}=0.0228\\ 因此\bbox[red,2pt]{\cases{甲公司溫度的變異係數=0.0144 \\ 乙公司溫度的變異係數= 0.0228}} \Rightarrow CV_Y \gt CV_X \Rightarrow \bbox[red,2pt]{應向甲公司買溫度計}$$ (二) $$甲公司平均損失L_X={5\over 10}\left((57.4-58)^2 +(57.8-58)^2+ \cdots +(57.2-58)^2 \right) ={1\over 2}\cdot 6.4=3.2\\ 乙公司平均損失L_Y={5\over 10}\left((57.7-58)^2 +(56.4-58)^2+ \cdots +(57.5-58)^2 \right) ={1\over 2}\cdot 16.35=8.175\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{甲公司平均損失=3.2\\ 乙公司平均損失=8.175}} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{甲公司平均損失較少}$$

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解題僅供參考，其他國考試題及詳解