103年原住民四等-經建行政-統計學概要

103年原住民族考試 

考 試 別： 原住民族特考
等 別： 四等考試
類 科 組： 經建行政
科 目： 統計學概要

解答：

(一) $$\sum x_i=-3-2-1+0+1+2+3=0\\ \sum x_i^2=9+4+1+0+1+4+9 =28\\ \sum y_i=9+4+1+0+1+4+9 =28\\ \sum y_i^2 =81+16+1+0+ 1+16+81= 196\\ \sum x_iy_i = -27-8-1+0 +1+8 +27=0\\ 相關係數r={\sum x_iy_i-(\sum x_i)(\sum y_i)/n \over \sqrt{\sum x_i^2-(\sum x_i)^2/n} \cdot \sqrt{\sum y_i^2-(\sum y_i)^2/n}} ={0-0\cdot 28/7 \over \sqrt{28-0/7}\cdot \sqrt{196-28^2/7}}=\bbox[red, 2pt]{0}$$ (二) $$樣本資料符合曲線y=x^2，但相關係數計算x,y符合直線的程度，兩者不同；$$

解答：

(一) $$A、B獨立\Rightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B) \Rightarrow P(A\cup B)=P(A) +P(B)-P(A)P(B)\\ \Rightarrow {7\over 12}= {1\over 4}+P(B) -{1\over 4}P(B) \Rightarrow {1\over 3}={3\over 4}P(B) \Rightarrow {P(B)={4\over 9}}；\\ 又P(B\mid A)= {P(B\cap A)\over P(A)} ={P(A)P(B)\over P(A)} =P(B)= {4\over 9};\\ 因此\bbox[red, 2pt]{P(B)= P(B\mid A)={4\over 9}}$$ (二) $$A、B互斥\Rightarrow P(A\cap B)=P(\varnothing)=0 \Rightarrow P(A\cup B)=P(A) +P(B) \\ \Rightarrow {7\over 12}= {1\over 4}+P(B)  \Rightarrow  P(B)={1\over 3}；\\ 又P(B\mid A)= {P(B\cap A)\over P(A)} ={0\over P(A)} =P(B)= 0\\ 因此\bbox[red, 2pt]{\cases{P(B)= 1/3\\ P(B\mid A)=0}}$$ (三) $$\cases{P(A)=1/4\\ P(B)=1/2\\ P(A\cup B)=7/12} \Rightarrow {7\over 12}={1\over 4}+ {1\over 2}-P(A\cap B) \Rightarrow P(A\cap B)={1\over 6} \\ \Rightarrow P(B^c\mid A) = {P(A\cap B^c) \over P(A)} ={P(A)-P(A\cap B)\over P(A)}={1/4-1/6\over 1/4} = \bbox[red,2pt]{1\over 3}$$

解答：

(一) $$由於未知分配，以柴比雪夫不等式估算，P(|X-\mu|\le k\sigma) \ge 1-{1\over k^2}\\ P(60\le X\le 84) = P(|X-72|\le 2\cdot 6)\ge 1-{1\over 2^2}  =75\%\\ \Rightarrow 至少有100\times 75\%=\bbox[red,2pt]{75}個數值介於60與84之間$$ (二) $$原始數據X \Rightarrow 新數據Y=-5X+10 \Rightarrow E(Y)=E(-5X+10)=-5E(X)+10= -5\times 72+10= -350\\ \Rightarrow Var(Y)= Var(-5X+10)= (-5)^2 Var(X)= 25\times 6^2= 900=30^2 \Rightarrow \sigma(Y)=30\\ \Rightarrow \cases{Y的眾數=-5\times 60+10=-290\\ Y的中位數=-5\times 64+10= -310} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{新的\cases{平均數=-350\\ 中位數=-310\\ 眾數=-290\\ 標準差=30\\ 變異數=900}}$$ (三) $$Y=-5X+10 \Rightarrow 相關係數=-1={Cov(X,Y)\over \sigma(X)\sigma(Y)} ={Cov(X,Y)\over 6\times 30} \Rightarrow Cov(X,Y)= \bbox[red, 2pt]{-180}$$

解答： $$\cases{第一次取樣數n_1=500\\第二次取樣數n_2=400\\ 第二次取樣中有做記號數n_3=40}，並假設水池有魚N條；\\ 因此{n_3\over n_2} \approx {n_1\over N} \Rightarrow N的估計值\hat N={n_1n_2\over n_3}={500\times 400\over 40}= 5000\\ \Rightarrow \hat N的變異數估計值\hat Var(\hat N)={n_1n_2(n_1-n_3)(n_2-n_3)\over n_3^3} ={500\cdot 400\cdot 460\cdot 360\over 40^3} =517500\\ \Rightarrow N 的信賴區間=\hat N\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat Var(\hat N)} =5000\pm 1.96\cdot \sqrt{517500}\\ =\bbox[red,2pt]{(3590,6410)} \\註: \href{https://online.stat.psu.edu/stat506/lesson/12/12.1}{公式來源}$$

解答： $$X\sim B(n=900,p=0.1) \Rightarrow \cases{E(X)=np=90\\ Var(X)=np(1-p)=81} \\ 由於樣本數夠大，可用常態分布來估算二項分布；即P(X\gt 100)= P(X\ge 101) \\= P(Z\ge {101-90-0.5\over \sqrt{81}}) =P(Z\ge {7\over 6})=1-0.878(查表)= \bbox[red,2pt]{0.121}$$

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