112年消防三等－微積分詳解

 112年一般警察人員考試

考 試 別：一般警察人員考試
等 別：三等考試
類科組別：消防警察人員
科 目：微積分
考試時間：2 小時 

解答： $$\lim_{x\to 0}{1-e^{-x} \over e^x-1} =\lim_{x\to 0}{{d\over dx}(1-e^{-x}) \over{d\over dx}( e^x-1)} = \lim_{x\to 0}{e^{-x} \over e^x} =\bbox[red, 2pt]1$$

解答： $$\mathbf{(一)}\; x^3+y^3-6xy=0 \Rightarrow 3x^2+3y^2y'-6y-6xy'=0 \Rightarrow (3y^2-6x)y'=6y-3x^2 \\\Rightarrow {dy\over dx}=y'=\bbox[red,2pt]{2y-x^2 \over y^2-2x} \\ \mathbf{(二)}\;y'({4\over 3},{8\over 3}) ={{16\over 3}-{16\over 9} \over {64\over 9}-{8\over 3}} ={4\over 5} \Rightarrow 切線方程式：y={4\over 5}(x-{4\over 3})+{8\over 3} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{4x-5y+8=0}$$

解答： $$\mathbf{(一)}\; f(x)=x(x-4)^3 \Rightarrow f'(x)=(x-4)^3+3x(x-4)^2= 4(x-4)^2(x-1)\\ \Rightarrow f''(x)=8(x-4)(x-1)+4(x-4)^2=12(x-2)(x-4)\\ 若f''(x)=0 \Rightarrow x=2,4 \Rightarrow 反曲點(2,f(2)),(4,f(4))，即\bbox[red,2pt]{(2,-16),(4,0)} \\\mathbf{(二)}\;\cases{f''(x)\gt 0 \Rightarrow x\gt 4或x\lt 2\\ f''(x)\lt 0 \Rightarrow 2\lt x\lt 4} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{凹向上:(-\infty,2)\cup(4,\infty) \\凹向下:(2,4)}}$$

解答：

$$\mathbf{(一)}\; y=\sqrt{r^2-x^2}\ge 0 \Rightarrow x^2+y^2=r^2 \Rightarrow \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx 積分區域為一半圓，如上圖\\ \mathbf{(二)}\;令x=r\sin \theta \Rightarrow dx= r\cos \theta d\theta \Rightarrow \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx =\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^2\cos^2\theta \,d\theta \\={r^2\over 2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos 2\theta+1  \,d\theta ={r^2\over 2} \left. \left[ {1\over 2}\sin 2\theta +\theta\right] \right|_{-\pi/2}^{\pi/2} =\bbox[red,2pt]{{1\over 2}r^2\pi}$$

解答：

$$\mathbf{(一)}\; 令\cases{y=f(x)=4x-x^2\\ y=g(x)=x^2} \Rightarrow f(x)=g(x) \Rightarrow x=0或２\\ 繞x軸旋轉體積=\pi\int_0^2 f^2(x)-g^2(x)\,dx =\pi\int_0^2 16x^2-8x^3\,dx =\pi \left. \left[ {16\over 3}x^3-2x^4 \right] \right|_0^2 = \bbox[red,2pt]{{32\over 3}\pi}\\ \mathbf{(二)}\; 繞y=6旋轉體積＝\pi\int_0^2 (6-g(x))^2-(6-f(x))^2\,dx = \pi\int_0^2 8x^3-40x^2+48x\,dx\\ =\pi \left. \left[ 2x^4-{40\over 3}x^3+24x^2\right] \right|_0^2 =\bbox[red,2pt]{{64\over 3}\pi}$$

解答： $$令\cases{u=2x+1\\ dv={1\over \sqrt{x+4}}dx} \Rightarrow \cases{du=2dx\\ v=2 \sqrt{x+4}} \Rightarrow \int {2x+1\over \sqrt{x+4}}\,dx = 2(2x+1)\sqrt{x+4}-4\int \sqrt{x+4}\,dx\\ =2(2x+1)\sqrt{x+4}-{8\over 3}(x+4)^{3/2}+C =\bbox[red,2pt]{{2\over 3}\sqrt{x+4}(2x-13)+C,C為常數}$$

解答： $${d\over dx} \sin x=\lim_{h \to 0}{\sin(x+h)-\sin x\over \triangle h} =\lim_{h \to 0}{ 2\cos(x+h/2)\sin (h/2)\over h} \\=\lim_{h \to 0} \cos(x+h/2)\cdot \lim_{h \to 0}{\sin (h/2)\over h/2} =\cos(x+0)\cdot 1= \cos x,\bbox[red,2pt]{故得證}$$

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