112年南科實中教甄-數學詳解(待續)

國立南科國際實驗高級中學112 學年度第 1 次正式教師甄選

一、 選擇題： 5 題，每題 2 分，共 1 0 分

解答： $$圓:(x-3)^2+(y-4)^2=5^2 \Rightarrow \begin{array}{cc|cc} |x-3| & |y-4| & x & y\\\hline 3 & 4 &  6 & 8\\\hdashline 4 & 3 &7 & 1\\ & & 7 & 7 \\\hdashline 5 & 0 & 8 & 4\\\hdashline 0 & 5 & 3&9\\\hline \end{array}\\ \Rightarrow 共有五個正整數格子點，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：

$$f(x)=x^3+3x^2-2 =(x+1)(x^2+2x-2) \Rightarrow f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)\\ 若f(x)=0 \Rightarrow x=-1,-1\pm \sqrt 3; \\因此f(f(x))=0的實根個數,相當於f(x)=-1,-1\pm \sqrt 3的實根個數\\ 由於f'(x)=0 \Rightarrow x=0,-2 \Rightarrow \cases{f(0)=-2\\ f(-2)=2} \Rightarrow \cases{f(0)\lt -1\lt f(-2) \\ -2\lt -1+\sqrt 3\lt 2 \\ -1-\sqrt 3\lt -2}\\ \Rightarrow \cases{f(x)=-1有3個實根\\ f(x)=-1+\sqrt 3有三個根實\\ f(x)=-1-\sqrt 3 只有一個實根} \Rightarrow 共有7個不同的實根，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$t={2^2\over 1\times 3} +{4^2\over 3\times 5}+\cdots +{1314^2\over 1313\times 1315} =\sum_{k=1}^{657} {(2k)^2\over (2k-1)(2k+1)} \\=\sum_{k=1}^{657}\left( 1+{1\over 2}({1\over 2k-1}-{1\over 2k+1}) \right)=\sum_{k=1}^{657}1+{1\over 2}\sum_{k=1}^{657}\left({1\over 2k-1}-{1\over 2k+1}\right) \\ =657+{1\over 2}(1-{1\over 1315}) =657+{656\over 1315}\\ (A)\bigcirc: t=657+{656\over 1315} \gt 1\\ (B)\bigcirc: 2t=1314+{1312\over 1315}\gt 1314\\ (C)\bigcirc: \lfloor t\rfloor =657 \\(D)\times: \{t\}={656\over 1315}\lt {1\over 2}\\故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$x^2-2x+\sin C+\cos C=0有重根\Rightarrow \cases{1=\log_a b\\ 4-4\sin C\cos C=0} \Rightarrow \cases{a=b\\ \sqrt 2\sin(C+\pi/4)=1} \\ \Rightarrow C={\pi\over 2} \Rightarrow \cases{\overline{BC}=\overline{CA} \\\angle C=90^\circ } \Rightarrow 等腰直角三角形，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$假設\cases{f(x)=e^{-(x-1)^2} 對稱x=1 \Rightarrow I_2\gt I1\\ \cases{g(x)= e^{-(2x-1)^2 }=e^{-4(x-1/2)^2}   \\h(x)=e^{-2(x-1)^2}} \Rightarrow h(x)圖形比g(x)寬 \Rightarrow I_3\gt I_3}， 故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

二、 計算題： 8 題，每題 5 分，共 40 分

解答： $$f(x)=\cases{(x-a)(x-b)P(x)+(-x-5)\\ (x-b)(x-c)Q(x)+4x\\ (x-a)(x-c)R(x)+(3x+3)} \Rightarrow \cases{f(a)=0\cdot P(a)-a-5 =0\cdot R(a)+3a+3 \Rightarrow a=-2\\ f(b)= 0\cdot P(b)-b-5=0\cdot Q(b)+4b \Rightarrow b=-1\\ f(c)=0\cdot Q(c)+4c=0\cdot R(c)+3c+3 \Rightarrow c=3} \\ \Rightarrow f(x)=\cases{(x+2)(x+1)P(x)+(-x-5)\\ (x+1)(x-3)Q(x)+4x\\ (x+2)(x-3)R(x)+(3x+3)}\\ 假設f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)S(x)+ \alpha x^2 +\beta x+\gamma \Rightarrow \cases{f(a)=f(-2) =-3=4\alpha-2\beta+\gamma\\ f(b)=f(-1) =-4=\alpha-\beta+\gamma\\ f(c)=f(3)=12 =9\alpha+3\beta+\gamma} \\ \Rightarrow \cases{\alpha=1\\ \beta=2\\ \gamma=-3} \Rightarrow 餘式為\bbox[red, 2pt]{x^2+2x-3}$$

解答： $$數字不大，就直接手算\\ \Rightarrow \cases{z=5 \Rightarrow x+2y=2 \Rightarrow (x,y,z)=(2,0,5),(0,1,5)\\ z=4 \Rightarrow x+2y=5 \Rightarrow (x,y,z) =(1,2,4),(3,1,4),(5,0,4) \\z=3 \Rightarrow x+2y=8 \Rightarrow (x,y,z) =(0,4,3), (2,3,3),(4,2,3),(6,1,3),(8,0,3)\\ z=2 \Rightarrow x+2y=11 \Rightarrow (x,y,z) =(1,5,2), (3,4,2), (5,3,2),(7,2,2),(9,1,2)\\ \qquad \qquad \qquad(11,0,2) \\ z=1 \Rightarrow x+2y=14 \Rightarrow (x,y,z)=(0,7,1) ,(2,6,1) ,(4,5,1) ,(6,4,1) ,(8,3,1) ,\\ \qquad \qquad \qquad(10,2,1) ,(12,1,1), (14,0,1)\\ z=0 \Rightarrow x+2y=17 \Rightarrow (x,y,z) =(1,8,0), (3,7,0), (5,6,0), (7,5,0), (9,4,0), \\\qquad \qquad \qquad (11,3,0), (13,2,0), (15,1,0), (17,0,0)}\\ \Rightarrow 共有2+3+5+6+8+ 9 = \bbox[red, 2pt]{33}組解$$

解答： $$\cases{P(1,0,0)\\ Q(0,2,0)\\ R(0,0,3)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{PQ} =(-1,2,0)\\ \overrightarrow{PR}=(-1,0,3)} \Rightarrow \vec n=\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PQ} =(6,3,2)\\ \Rightarrow \cases{\triangle PQR面積=\sqrt{6^2+3^2+2^2}/2=7/2 \\ 平面E=\triangle PQR: 6x+3y+2z=6} \\ 令S(a,b,c),其中a^2+b^2+c^2 =1 \Rightarrow d(S,E)={|6a+3b+2c-6|\over 7}\\ 利用柯西不等式求極值：(a^2+b^2+c^2)(6^2 +3^2 +2^2) \ge(6a+3b+2c)^2\\ \Rightarrow 當 \cases{a=-6/7\\ b=-3/7\\ c=-2/7}時，d(S,E)={13\over 7} 為極大值，此時四面體體積={1\over 3}\cdot {7\over 2}\cdot {13\over 7}=\bbox[red, 2pt]{13\over 6}$$

解答： $$\cases{x=2\cos \theta\\ y=2\sin \theta+3\cos \theta} \Rightarrow \cases{\cos \theta=x/2\\ \sin \theta=y/2-3x/4} \Rightarrow \cos^2\theta +\sin ^2\theta=1 \Rightarrow 13x^2-12xy+4y^2-16=0\\ \Rightarrow 轉軸角度\cot 2\alpha= {13-4\over -12}=-{3\over 4} \Rightarrow \cos 2\alpha=-{3\over 5} \Rightarrow \cases{\sin \alpha=2/\sqrt 5\\ \cos \alpha=1/\sqrt 5} \Rightarrow \tan \alpha=2\\ \Rightarrow 貫軸方程式：y=2x\\ 又橢圓上的點至原點距離的平方= f(\theta) =4\cos^2\theta +(2\sin \theta+3\cos \theta)^2 = 6\sin 2\theta+{9\over 2}\cos 2\theta+{17 \over 2} \\ \Rightarrow \cases{f(\theta)的最大值 =16 \Rightarrow a=4\\ f(\theta)的最小值=1 \Rightarrow b=1} \Rightarrow c=\sqrt{15} \Rightarrow 焦點坐標(\sqrt{15}\cos \alpha, \sqrt{15} \sin \alpha) =\bbox[red, 2pt]{(\sqrt 3,2\sqrt 3)}$$

解答： $$f(x)=x(x-1)(x-2)\cdots(x-2023) \Rightarrow \cases{f'(x)=(x-1)P(x) +x(x-2)(x-3)\cdots (x-2023) \\\quad =xQ(x)+(x-1)(x-2)\cdots (x-2023)}\\ \Rightarrow \cases{f(1)=0\\ f'(1)=2022! \\f'(0)= -2023!} \\ 由於g(x)= f(f(x)) \Rightarrow g'(x)= f'(f(x))f'(x) \Rightarrow g'(1)= f'(f(1))f'(1)=f'(0)\cdot 2022! \\=\bbox[red,2pt]{-2023!\times 2022!}$$

解答： $$x^2+ax+1996=0 \Rightarrow 兩根之積＝1996=1\times 1996=2\times 998= 4\times 499 \\ \Rightarrow -a=兩根之和 =\pm 1997,\pm 1002,\pm 503 \Rightarrow a=\pm 1997,\pm 1002,\pm 503\\ x^2+1996x+a=0 \Rightarrow 兩根之和=-1996 \Rightarrow 兩根之積=a=\bbox[red, 2pt]{-1997}$$

解答：

解答： $$\sum_{k=1}^4 P(X=k)=1 \Rightarrow p+2p+p^2+9p^2=10p^2+3p=1 \Rightarrow p={1\over 5}\\ \Rightarrow \cases{E(X)= p+4p+3p^2+36p^2 =64/25\\ E(X^2)=p+ 8p+ 9p^2+144p^2 = 198/25} \\ \Rightarrow Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2={198\over 25}-{64^2\over 25^2} =\bbox[red, 2pt]{854\over 625}$$

三、 應用題： 5 題，每題 8 分，共 4 0 分

解答：

解答： $$由題意知：A\begin{bmatrix}1\\2\sqrt 6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4 \\ 3 \end{bmatrix}，其中A=\begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}為一旋轉矩陣\Rightarrow A^{-1}=\begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\\ 因此\begin{bmatrix}1\\2\sqrt 6 \end{bmatrix} =A^{-1}\begin{bmatrix}4 \\ 3 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{4\cos \theta+3\sin \theta=1 \cdots(1)\\ -4\sin\theta+3\cos \theta =2\sqrt 6 \cdots(2)} \\ 現在欲求\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix},滿足A\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\ 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}-3\\ 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{x=-3\cos \theta+4\sin \theta =-2\sqrt 6(式(2))\\ y=3\sin \theta+4\cos \theta =1 (式(1))} \\ \Rightarrow (x,y)=\bbox[red,2pt]{(-2\sqrt 6,1)}$$

解答：

$$\cases{面積=3\times 4\times 2-ab=22 \\ 周長=8+6+2(3-a)+2(4-b)=22} \Rightarrow \cases{a+b=4\\ ab=2}\\ \Rightarrow \overline{AB} =\sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{4^2-2\cdot 2} =\sqrt{12}=\bbox[red, 2pt]{2\sqrt 3}$$

解答：

解答：

四、 證明題： 1 題， 1 0 分

解答：

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解題僅供參考，其他教甄試題及詳解

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