112年師大附中特招-數學詳解

基北區國立臺灣師範大學附屬高級中學
112 學年度高級中等學校特色招生考試

第一部分：單選題 (占 60 分）

解答：$$令a_n=8^n+9^n，則\cases{n=1 \Rightarrow a_n個位數字7 \\ n=2 \Rightarrow a_n個位數字5 \\n=3 \Rightarrow a_n個位數字1 \\n=4 \Rightarrow a_n個位數字7 \\n=5 \Rightarrow a_n個位數字7 \\n=6 \Rightarrow a_n個位數字5 \\ \cdots} \Rightarrow a_n個位數字為7,5,1,7循環\\ \Rightarrow a_{200}的個位數字=7 ，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答：$$\cases{最大a=11 \Rightarrow b=5-25\\ 最小a=7 \Rightarrow b=9-21} \Rightarrow b有25-5+1=21個，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答：$$f(x)+3=0有2個交點 \Rightarrow 2f(x)+6=0有2個交點\\ \Rightarrow y=2ax^2+2bx+2c 與y=-6有兩個交點，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答：

$$I_1為\triangle BDE內心\Rightarrow \angle DBI_1=I_1BI =\theta_1, 又I為\triangle ABC內心\Rightarrow \angle IBC=\angle ABI=2\theta_1\\ 同理,\angle ECI_2= \angle ICI_2=\theta_2 \Rightarrow \angle ICB=2\theta_2\\ 因此\cases{\angle I_1BC=39^\circ= 3\theta_1 \Rightarrow \theta_1=13^\circ\\ \angle I_2CB= 3\theta_2= 45^\circ \Rightarrow \theta_2=15^\circ }\\ 又令\angle I_1IB= \theta_3 \Rightarrow \angle EII_2=\theta_3 (對頂角相等) \Rightarrow \angle I_2IC= \theta_3 (I_2是內心)\\ \Rightarrow \cases{\angle BI_1 I= 180^\circ-\theta_1-\theta_3= 167^\circ-\theta_3\\ \angle CI_2I= 180^\circ-\theta_2-\theta_3 = 165^\circ-\theta_3} \Rightarrow \angle BI_1I-\angle CI_2I= 2^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答：$$假設\cases{上衣一件a元\\ 褲子一件b元} \Rightarrow \cases{(5a+3b)\times 80\%=3552 \\ (5a+b)\times 80\%+(2b)\times 50\%=3084} \\ \Rightarrow \cases{4a+2.4b=3552\\ 4a+1.8b=3084}，兩式相減\Rightarrow 0.6b=468 \Rightarrow b=780，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答：$$假設數列為a,a+1,a+2,\dots,a+80\\ 考量個位數字6的情形\cases{a_{22} =6^2=36 \Rightarrow 7^2-6^2=13 \ne 33 \\ a_{22}=16^2=256 \Rightarrow 17^2-16^2=33 符合題意}\\ 因此a_{22}=16^2=256 \Rightarrow a_1=256-21=235 \Rightarrow a_{81}=a_1+80=315\\ \Rightarrow a_1+a_{81}=235+315=550，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答：$$\cases{\overline{AB'}= \overline{AB}= 6\\ \angle BAB'=90^\circ} \Rightarrow \overline{BB'}= 6\sqrt 2 \Rightarrow \overline{B'C}= 6\sqrt 2-2\sqrt 2=4\sqrt 2\\ 又A至 底邊\overline{BB'}  = 3\sqrt 2 \Rightarrow \triangle AB'C'面積= \triangle ABC面積=2\sqrt 2\times 3\sqrt 2\times {1\over 2}=6 \\ 因此ABB'C面積= \triangle ABC+\triangle AB'C'= 18+6=24，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

解答：

$$只要將D往內移，讓A,F,D,E,C在一直線，就容易理解\angle 2=\angle 3\gt \angle 1，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$ 另解：$$\cases{\overline{BA} =\overline{BC}\\ \overline{BD}為\angle ABC角平分線} \Rightarrow \triangle BAD \cong \triangle BCD (SAS) \Rightarrow \cases{\angle A=\angle C\\ \overline{AD}=\overline{ CD}} \\因此 \cases{\cases{\overline{DF}= \overline{AD}/2 \\ \overline{DE}= \overline{CD} /2} \Rightarrow \overline{DF}=\overline{DE} \\ 兩全等\triangle 的中線長相等\Rightarrow \overline{BF}= \overline{BE}} \Rightarrow \triangle BDF \cong \triangle BDE \Rightarrow \angle 2=\angle 3\\ 在\overline{CD}上找一點P，使得\overline{BP}為\angle DBC的角平分線，則{\overline{BD}\over \overline{BC} } ={\overline{DP} \over \overline{PC}}，\\由於\overline{DB}\lt \overline{BC}，因此\overline{DP}\lt \overline{PC} \Rightarrow P在E的上方 \Rightarrow \angle 2\gt \angle 1，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

解答：

$$直角\triangle ACD: \overline{CD}=\sqrt{\overline{AC}^2+ \overline{AD}^2} = \sqrt{64+48} =4\sqrt 7\\ \cases{正\triangle ABC面積=16\sqrt 3\\ 直角\triangle ACD面積=16\sqrt 3} \Rightarrow {\triangle ABC\over \triangle ACD}={1\over 1}={\overline{BG}\over \overline{GD}} \Rightarrow 假設\overline{BG}= \overline{GD}=a\\ \cases{\overline{AG}為\triangle ABD中線\\ \overline{CG}為\triangle CBD中線}，由中線定理可知：\cases{8^2+(4\sqrt 3)^2=2(\overline{AG}^2+a^2) \\ 8^2+(4\sqrt 7)^2 = 2(\overline{CG}^2+a^2)} \\ \Rightarrow \cases{\overline{AG}^2+a^2= 56 \\ \overline{CG}^2 +a^2=88}，兩式相減\Rightarrow \overline{CG}^2-\overline{AG}^2= (\overline{CG}-\overline{AG})(\overline{CG}+\overline{AG})= 32 \\ \Rightarrow (\overline{CG}-\overline{AG})\cdot 8=32 \Rightarrow \overline{CG}-\overline{AG}=4 \Rightarrow \cases{\overline{CG}-\overline{AG}=4 \\\overline{CG}+\overline{AG}=8} \Rightarrow \cases{\overline{AG}=2\\ \overline{CG}=6} \\ \Rightarrow {\triangle BCD\over ABCD面積}={\overline{CG} \over \overline{AC}}={3\over 4} \Rightarrow \triangle BCD={3\over 4} \times 32\sqrt 3=24\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

另解(不用中線定理): $$作\overline{BC}的中垂線與過D的水平線，兩垂直線相交於P，如上圖\\ \angle A=60^\circ \Rightarrow \angle QAC=30^\circ \Rightarrow \angle PAD=60^\circ \Rightarrow \overline{PA}={1\over 2}\overline{AD} =2\sqrt 3 \Rightarrow \overline{PQ}=4\sqrt 3+2\sqrt 3=6\sqrt 3 \\ \Rightarrow \triangle BCD面積={1\over 2}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{PQ} ={1\over 2}\cdot 8\cdot 6\sqrt 3=24\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答：

$$\cases{A+B=C+D+16\\ B+C={3\over 5}(A+D) \\ B=7\\ D=4} \Rightarrow \cases{A=C+13\\ 3A=5C+23} \Rightarrow \cases{A=21\\C=8} \\ \Rightarrow 有吃到湯圓人數=A+B=21+7=28，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答：

$$\overleftrightarrow{OO'}為直徑，也是其他平行線的對稱軸，因此\cases{\stackrel{\Large \frown}{O'C'}=\stackrel{\Large \frown}{O'C'} \\\stackrel{\Large \frown}{O'D}=\stackrel{\Large \frown}{O'A'} }，而且越靠外側弧長越長，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}\\ 其實只要將圖形旋轉36度，讓直徑變成垂直線，如下圖，這樣就更容易理解$$

解答：

$$作\overline{CP}\bot \overline{AD}及\overline{D'Q} \bot \overline{BC}，如上圖\\ ABCD面積= \overline{BC} \times \overline{PC} = 48\times \overline{PC}=1440 \Rightarrow \overline{PC}=30 \Rightarrow \overline{PD}= \sqrt{34^2-30^2}=16\\ 令\angle ADC=\theta,由於\overline{AD} \parallel \overline{BC},因此\angle D'CQ=180^\circ-\theta-90^\circ=90^\circ-\theta \Rightarrow \angle CD'Q=\theta \\ \Rightarrow \triangle PDC \cong \triangle QD'C(ASA)  \Rightarrow \overline{D'Q}= \overline{PD}=16，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答：

$$\angle A \gt \angle B \Rightarrow A的對稱點A'落在B的右方\Rightarrow \angle BPA'=102^\circ-80^\circ=22^\circ \\\qquad \Rightarrow \angle APR=\angle A'PR =(180^\circ-22^\circ)\div 2=79^\circ\\ 同理，\angle A\gt \angle D \Rightarrow A的對稱點A''落在Ｄ的下方\Rightarrow \angle DSA''=102^\circ-94^\circ=8^\circ \\ \qquad \Rightarrow \angle ASQ=\angle QSA''= (180^\circ-8^\circ)\div 2=86^\circ\\ 因此\angle 1=360^\circ-102^\circ-79^\circ-86^\circ=93^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答：

$$作\overline{BC}的中垂線:\overline{OP}，並作\overline{BQ}\bot \overline{OA}，Q在\overline{OA}上，如上圖\\\overline{BC}\parallel \overline{OA} \Rightarrow OPBQ為一矩形，假設圓半徑為r，則\overline{QA}= r-4\\ \cases{直角\triangle POC: \overline{OP}^2= r^2-4^2\\ 直角\triangle ABQ: \overline{QB}^2= (\sqrt{42})^2-(r-4)^2 =-r^2+8r+26}\\ 由於\overline{OP}=\overline{QB} \Rightarrow r^2-16=-r^2+8r+26 \Rightarrow r^2-4r-21=0 \Rightarrow (r-7)(r+3)=0 \\ \Rightarrow r=7\;(r=-3 \lt 0不合)，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

解答：$$假設\cases{小明速度為a\\ 阿武速度為b}，其中a\gt b\\ 第一次相遇後，兩人反向前進；阿武跑了300公尺，花費時間{300\over b}；同時間小明跑了{300a \over b}公尺\\ 因此操場一圈距離=300+{300a \over b}公尺\\ 第二次至第三次相遇，兩人前進距離相差一圈距離\Rightarrow {3900a\over b}-3900=300+{300a \over b}\\ \Rightarrow {3600a\over b}=4200 \Rightarrow {a\over b}={7\over 6} \Rightarrow 操場一圈距離=300+300\cdot {7 \over 6}=350，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

第二部分：選填題 (占 40 分) 

解答：$$\cases{抽到３枚都是人頭朝上的機率：３/6\\ 排到正常硬幣的機率:１/6且為人頭朝上的機率：(1/6)\cdot (1/2)=1/12} \\ \Rightarrow 人頭朝上的機率={3\over 6}+{1
\over 12}= \bbox[red, 2pt]{7\over 12}$$

解答：$$假設B為原點、\overleftrightarrow{BC}為x軸，\overleftrightarrow{AB}為y軸，則\cases{A(0,12\sqrt 5) \\B(0,0)\\ C(12\sqrt 5,0), \\D(0,12\sqrt 5)\\ E(6\sqrt 5,0)} \Rightarrow 直線\overleftrightarrow{DE}:y=2x-12\sqrt 5 \\ \Rightarrow \overline{AF}= A至\overleftrightarrow{DE}距離{24\sqrt 5\over \sqrt 5} =\bbox[red, 2pt]{24}$$

另解：$$直角\triangle DCE \Rightarrow \overline{DE} =\sqrt{\overline{CD}^2+ \overline{CE}^2} = \sqrt{900}= 30\\F為圓切點\Rightarrow \overline{AF} \bot \overline{DE}，又\cases{\angle ADF+ \angle EDC =90^\circ \\ \angle ADF+ \angle DAF=90^\circ} \Rightarrow \angle EDC=\angle DAF\\ \Rightarrow \triangle AFD \sim \triangle DCE (AAA) \\ \Rightarrow {\overline{AD} \over \overline{AF}} ={\overline{DE} \over \overline{CD}} \Rightarrow {12\sqrt 5\over \overline{AF}} ={30 \over 12\sqrt 5} \Rightarrow \overline{AF}= \bbox[red,2pt]{24}$$

解答：

$$\overline{EF} \parallel \overline{BC} \Rightarrow \triangle FEF \sim \triangle GBC \Rightarrow {\overline{GE} \over \overline{GB}} ={\sqrt 1\over \sqrt 4}={1\over 2} \Rightarrow \triangle GFB=2\triangle GEF=2\\ \Rightarrow \triangle FBC=2+4=6 \Rightarrow 長方形ABCD面積=6\times 2=12\\ \Rightarrow ABGF+CDEG=12-(1+4)=\bbox[red, 2pt]7$$

解答：$$d(L_2,L_3)=d(L_1,L_4) \Rightarrow {14-(-6) \over \sqrt{3^2+4^2}} =4={k-(-1)} \Rightarrow k=\bbox[red, 2pt]3$$

解答：$$由題意可知：\cases{a=c\\ b是偶數}\Rightarrow (a,b,c)=(1,98,1), (2,96,2), \dots (49,2,49)共\bbox[red, 2pt]{49}組$$

解答：$$252=4\times 9\times 7=6\times 6\times 7 \Rightarrow \cases{4,9,7排列數=3!=6\\ 6,6,7排列數=3} \Rightarrow 共有6+3=\bbox[red, 2pt]9種按法$$

解答：

$$假設\overline{PQ}=a \Rightarrow \cases{乙=64a \\ \overline{QE}=\overline{RF}=a } \Rightarrow 戊＝64a=2a\times \overline{SD} \Rightarrow \overline{SD}=32 \Rightarrow \overline{EG}=64+32=96\\ \Rightarrow 丁=64a=96\times \overline{CG} \Rightarrow \overline{CG} ={2\over 3}a \Rightarrow \overline{CD}={8\over 3}a \Rightarrow 甲=64a={8\over 3}a \times \overline{AP} \Rightarrow \overline{AP}=24\\ \Rightarrow \cases{\overline{AD} =24+64+32=120\\ \overline{AB}=8a/3} \Rightarrow 120={8\over 3}a \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{45}$$

解答：

$$\cases{\overline{AB}=12\\ \overline{BC}=16} \Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{12^2+16^2} =20 \Rightarrow 外心Ｏ在\overline{AC}的中點且圓半徑＝20\div 2=10\\ 當\overline{BA'}與\overline{AC}相交於Ｏ時，此時\overline{OA'}=12-10=\bbox[red, 2pt]2最短$$

解答：$$假設\cases{A:小柯\\ B:大寬\\ C:阿儀} \Rightarrow \begin{array}{}序號& 排列\\\hline 1 & b a b a c \\2 & b a b c a \\3 & b a c a c \\4 & b a c b a \\5 & b a c b c \\6 & b c a b a \\7 & b c a b c \\8 & b c a c a \\9 & b c b a c \\10 & b c b c a \\11 & c a b a c \\12 & c a b c a \\13 & c a c b a \\14 & c b a b a \\15 & c b a b c \\16 & c b a c a \\17 & c b c b a \\\hline \end{array} \Rightarrow 共\bbox[red, 2pt]{17}種$$

解答：$$\cases{小楊循環數5\\ 老忠循環收4} \Rightarrow n天後\cases{小楊放假\lfloor n/5\rfloor 天\\ 老忠放假\lfloor n/4\rfloor 天}，其中\lfloor \cdot\rfloor 代表取整數部份\\ \Rightarrow \cases{n=115 \Rightarrow \lfloor n/4\rfloor-\lfloor n/4\rfloor=28-23=5 \\n=124 \Rightarrow \lfloor n/4\rfloor-\lfloor n/4\rfloor=31-24=7 } \Rightarrow 124-115=\bbox[red, 2pt]9天\\由於約每20天休假就差一天，因此100天後開始找最後一個5及第一個7$$

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解題僅供參考，其他特招試題及詳解