新北市立國民中學 112 學年度教師聯合甄選
科目:數學科
選擇題:共40題,每題2.5分,總分100分。
解答:kx−y=2⇒y=kx−2代入x+2y=2⇒x=62k+1⇒y=1−32k+1⇒{62k+1>01−32k+1>0⇒k>1,故選(B)
解答:g(x)=f(x−2)=(x−2)(x−1)x(x+1)(x+2)⇒{f(a)=(a−2)(a−1)a(a+1)(a+2)f(−a)=(a+2)(a+1)(−a)(a−1)(a−2)=−f(a)⇒f(−a)=−f(a),故選(A)
解答:x2xmod100x2xmod100x2xmod1001211482152241296224381392238416148424165321558253266416362664728177227288561844285691219882912102420763024從上表可知,循環數為20⇒82589933=4129496⋅20+13⇒餘數92⇒282589933−1的末兩尾為91,故選(D)
解答:連續三整數:a−1,a,a+1⇒(a+1)2=a2+(a−1)2⇒a2−4a=0⇒a=4⇒只有一個直角三角形,邊長為3,4,5,故選(A)
解答:
作¯CE⊥¯AB⇒¯AE=¯CD=1⇒¯BE=2−1=1⇒¯CE=√32−12=2√2P為¯AD中點⇒¯AP=¯PD=¯CE÷2=√2假設¯PQ⊥¯BC,梯形ABCD面積=△APB+△CDP+△BCP⇒3√2=√2+√22+32⋅¯PQ⇒¯PQ=√2,故選(B)
解答:2→AC=¯BC⇒A為¯BC的中點⇒→DA=12¯DB+12→DC⇒→DC=2→DA−→DB,故選(B)
解答:圓上的格子點:{A(5,0),A′(−5,0)B(4,3),B′(−4,−3)C(3,4),C′(−3,−4)D(0,5),D′(0,−5)E(−3,4),E′(3,−4)F(−4,3),F′(4,−3)⇒六條直線{¯AA′¯BB′¯CC′¯DD′¯EE′¯FF′通過原點,故選(D)
解答:2x+3y=3⇒y=1−23x 代入B⇒x2+4x+4−83x+3=0⇒x2+43x+7=0⇒判別式:169−28<0⇒無實數解,故選(A)
解答:x2+4y2=36⇒x236+y29=1⇒{a=6b=3⇒正交弦長=2b2a=186=3過焦弦長為3,4,…,12(貫軸長);而其中長度3的有二條,長度12的只有一條,其它的各有四條因此共有2+4×8+1=35條,故選(D)
解答:本題送分
解答:{20≡1mod921≡2mod922≡4mod923≡8mod924≡7mod925≡5mod926≡1mod9⇒循環數為6⇒223=23⋅6+5≡5mod9因此2023=1023×223≡223mod9=5,故選(C)
解答:Pn3=6Cn4⇒n!(n−3)!=6⋅n!4!(n−4)!⇒6(n−3)!=24(n−4)!⇒6(n−3)=24⇒n−3=4⇒n=7,故選(B)
解答:
解答:圓上的格子點:{A(5,0),A′(−5,0)B(4,3),B′(−4,−3)C(3,4),C′(−3,−4)D(0,5),D′(0,−5)E(−3,4),E′(3,−4)F(−4,3),F′(4,−3)⇒六條直線{¯AA′¯BB′¯CC′¯DD′¯EE′¯FF′通過原點,故選(D)
解答:2x+3y=3⇒y=1−23x 代入B⇒x2+4x+4−83x+3=0⇒x2+43x+7=0⇒判別式:169−28<0⇒無實數解,故選(A)
解答:x2+4y2=36⇒x236+y29=1⇒{a=6b=3⇒正交弦長=2b2a=186=3過焦弦長為3,4,…,12(貫軸長);而其中長度3的有二條,長度12的只有一條,其它的各有四條因此共有2+4×8+1=35條,故選(D)
解答:本題送分
解答:{20≡1mod921≡2mod922≡4mod923≡8mod924≡7mod925≡5mod926≡1mod9⇒循環數為6⇒223=23⋅6+5≡5mod9因此2023=1023×223≡223mod9=5,故選(C)
解答:Pn3=6Cn4⇒n!(n−3)!=6⋅n!4!(n−4)!⇒6(n−3)!=24(n−4)!⇒6(n−3)=24⇒n−3=4⇒n=7,故選(B)
解答:
八個頂點可形成C83=56個三角形,其中每個頂點可形三個不同的直角三角形,如上圖因此銳角或鈍角三角形共有56−8×3=32個,故選(C)
解答:{只有甲命中:0.8(1−0.6)(1−0.7)=0.096只有乙命中:(1−0.8)⋅0.6⋅(1−0.7)=0.036只有丙命中:(1−0.8)(1−0.6)⋅0.7=0.056⇒0.096+0.036+0.056=0.188=18.8%,故選(D)
解答:假設{勝a場負b場平手c場⇒{a+b+c=153a+c=33⇒abc11401023906,共三場,故選(A)
解答:
解答:假設{勝a場負b場平手c場⇒{a+b+c=153a+c=33⇒abc11401023906,共三場,故選(A)
解答:
每個頂點有3個非等腰直角三角形,共有3×8=24,故選(B)
解答:f(x)=(x+2)(x−1)2⇒f′(x)=(x−1)2+2(x+2)(x−1)=3(x−1)(x+1)⇒f′(x)=3(x+1)+3(x−1)=6x (A)◯:{f′(1)=0f″(1)=6>0⇒f(1)為相對極小值(B)◯:{f′(−1)=0f′(−1)−6<0⇒f(−1)為相對極大值(C)◯:f(1)=0⇒與x軸交於(1,0)(D)×:f(1)=0為極小值,不是反曲點,故選(D)
解答:a9=1⇒ak=rk−9⇒Pn=r−8⋅r−7⋯rn−9⇒P17=1(A)×:{P1=r−8P19=P17a18a19=r10⋅r11⇒P1≠P19(B)×:{P3=r−8⋅r−7⋅r−6=r−21P17=1⇒P3≠P17(C)◯:P12=P5⋅(a6a7a8)a9(a10a11a12)=P5(D)×:P11=P7⋅a8a9a10a11=P7a11,故選(C)
解答:|x−a|+|x−b|<1⇒x在a,b之間且a,b相距小於1若無解,則|a−b|≥1,故選(C)
解答:7個圓形=360∘×7=2520∘=凸n邊形內角總和=(n−2)×180⇒n=16,故選(B)
解答:y=acx+bc不過第三象限⇒{ac<0bc>0⇒(a,b,c)=(正,負,負),(負,正,正)y=ax2+bx+c⇒極值位於x=−b2a>0⇒只有(B),(C)可能對,(B)與(C)y截距<0⇒c<0⇒a>0⇒凹向上,故選(C)
解答:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)⇒4=a2+b2+c2−8⇒a2+b2+c2=12又a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−(ab+bc+ca))⇒a3+b3+c3+3=2⋅(12+4)⇒a3+b3+c3=29,故選(A)
解答:令{A=a2B=b2C=c2⇒{D=(40−a)(24−c)E=(24−a)(40−c)⇒E=D+128⇒c=a+8⋯(1)又{40−a+40−b=40+b24−a+24−c=24+b⇒a+c=32⋯(2)由(1)及(2)⇒{a=12c=20⇒b=8⇒a2+b2+c2=144+64+400=608,故選(B)
解答:令{扇形半徑r扇形夾角θ,此題相當於已知2r+rθ=64,求r2π⋅θ2π=12r2θ之最大值算幾不等式:2r+rθ2≥√2r2θ⇒322≥2r2θ⇒r2θ≤256,故選(D)
解答:{A(0,−1)B(1,0)⇒{L=↔AB:x−y=1¯AB=√2⇒△ABC面積=12⋅¯AB⋅d(C,L)=√22⋅d(C,L)令C(cosθ+1,sinθ+2)⇒d(C,L)=|cosθ−sinθ−2|√2=|√2sin(θ+α)−2|√2⇒d(C,L)的最大值=2+√2√2⇒△ABC面積最大值=√22⋅2+√2√2=1+√22,故選(C)
解答:將(0,0),(1,1),(2,0)代入各選項,只有(D)皆符合(1,1),(2,0),(3,1),故選(D)
解答:4b=3c⇒b:c=3:4⇒△ABD:△ADC=3:4⇒10+a+b:12+8+c=3:4⇒10+a+b:20+43b=3:4⇒60+4b=40+4a+4b⇒a=5,故選(B)
解答:(a,b,c)→(b+c−1,c+a−1,a+b+3)≡Tx,其中T=[011−1101−111030001],x=[abc1]而T=[−1−1−11−110110111000][10000−10000−100002][0001−1323−1323−13−1323−4313131313]⇒T7=[−1−1−11−110110111000][10000−10000−1000027][0001−1323−1323−13−1323−4313131313]=[4243434143424341434342450001]⇒T7[a−2b1]=[42a+43b−4543a+43b−4343a+42b−411]=[1691721701]⇒43a+43b−43=172⇒a+b=(172+43)÷43=5,故選(D)
解答:f(x)=(x+2)(x−1)2⇒f′(x)=(x−1)2+2(x+2)(x−1)=3(x−1)(x+1)⇒f′(x)=3(x+1)+3(x−1)=6x (A)◯:{f′(1)=0f″(1)=6>0⇒f(1)為相對極小值(B)◯:{f′(−1)=0f′(−1)−6<0⇒f(−1)為相對極大值(C)◯:f(1)=0⇒與x軸交於(1,0)(D)×:f(1)=0為極小值,不是反曲點,故選(D)
解答:a9=1⇒ak=rk−9⇒Pn=r−8⋅r−7⋯rn−9⇒P17=1(A)×:{P1=r−8P19=P17a18a19=r10⋅r11⇒P1≠P19(B)×:{P3=r−8⋅r−7⋅r−6=r−21P17=1⇒P3≠P17(C)◯:P12=P5⋅(a6a7a8)a9(a10a11a12)=P5(D)×:P11=P7⋅a8a9a10a11=P7a11,故選(C)
解答:|x−a|+|x−b|<1⇒x在a,b之間且a,b相距小於1若無解,則|a−b|≥1,故選(C)
解答:7個圓形=360∘×7=2520∘=凸n邊形內角總和=(n−2)×180⇒n=16,故選(B)
解答:y=acx+bc不過第三象限⇒{ac<0bc>0⇒(a,b,c)=(正,負,負),(負,正,正)y=ax2+bx+c⇒極值位於x=−b2a>0⇒只有(B),(C)可能對,(B)與(C)y截距<0⇒c<0⇒a>0⇒凹向上,故選(C)
解答:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)⇒4=a2+b2+c2−8⇒a2+b2+c2=12又a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−(ab+bc+ca))⇒a3+b3+c3+3=2⋅(12+4)⇒a3+b3+c3=29,故選(A)
解答:令{A=a2B=b2C=c2⇒{D=(40−a)(24−c)E=(24−a)(40−c)⇒E=D+128⇒c=a+8⋯(1)又{40−a+40−b=40+b24−a+24−c=24+b⇒a+c=32⋯(2)由(1)及(2)⇒{a=12c=20⇒b=8⇒a2+b2+c2=144+64+400=608,故選(B)
解答:令{扇形半徑r扇形夾角θ,此題相當於已知2r+rθ=64,求r2π⋅θ2π=12r2θ之最大值算幾不等式:2r+rθ2≥√2r2θ⇒322≥2r2θ⇒r2θ≤256,故選(D)
解答:{A(0,−1)B(1,0)⇒{L=↔AB:x−y=1¯AB=√2⇒△ABC面積=12⋅¯AB⋅d(C,L)=√22⋅d(C,L)令C(cosθ+1,sinθ+2)⇒d(C,L)=|cosθ−sinθ−2|√2=|√2sin(θ+α)−2|√2⇒d(C,L)的最大值=2+√2√2⇒△ABC面積最大值=√22⋅2+√2√2=1+√22,故選(C)
解答:將(0,0),(1,1),(2,0)代入各選項,只有(D)皆符合(1,1),(2,0),(3,1),故選(D)
解答:4b=3c⇒b:c=3:4⇒△ABD:△ADC=3:4⇒10+a+b:12+8+c=3:4⇒10+a+b:20+43b=3:4⇒60+4b=40+4a+4b⇒a=5,故選(B)
解答:(a,b,c)→(b+c−1,c+a−1,a+b+3)≡Tx,其中T=[011−1101−111030001],x=[abc1]而T=[−1−1−11−110110111000][10000−10000−100002][0001−1323−1323−13−1323−4313131313]⇒T7=[−1−1−11−110110111000][10000−10000−1000027][0001−1323−1323−13−1323−4313131313]=[4243434143424341434342450001]⇒T7[a−2b1]=[42a+43b−4543a+43b−4343a+42b−411]=[1691721701]⇒43a+43b−43=172⇒a+b=(172+43)÷43=5,故選(D)
解答:x2+4y2+8x+12=0⇒(x+4)24+y2=1⇒{x=2cosθ−4y=sinθ⇒x2+2y2=4cos2θ−16cosθ+16+2sin2θ=2cos2θ−16cosθ+18當cosθ=−1時,有最大值=2+16+18=36,故選(A)
解答:令A=[abcdef]⇒{A[123]=[11]⇒{a+2b+3c=1⋯(1)d+2e+3f=1⋯(2)A[012]=[23]⇒{b+2c=2⋯(3)e+2f=3⋯(4)因此{(1)−2×(3)⇒a−c=−3(2)−2×(4)⇒d−f=−5⇒A[10−1]=[a−cd−f]=[−3−5],故選(C)
解答:√2x(2x−8)+x(x−2)+17+√2x(2x−2)+x(x−10)+26=√(2x−4)2+(x−1)2+√(2x−1)2+(x−5)2=¯PA+¯PB,其中{P(2x,x)在y=log2x上A(4,1)B(1,5)⇒最小值=¯AB=5,故選(A)
解答:{(2−1x)3=∑3m=0C3m(−1x)m⋅23−m(12−x)6=∑6n=0C6n(−x)n(12)6−n⇒(2−1x)3(12−x)6中x4係數=(n=4,m=0)+(n=5,m=1)+(n=6,m=2)的係數和=8C64(12)2+C31(−1)⋅22C65(−1)5(12)+C32⋅2⋅1=30+36+6=72,故選(A)
解答:取h(x)=f(x)−g(x)−x⇒h(x)=0的三根為1,2,3⇒h(x)=2(x−1)(x−2)(x−3)⇒h(4)=f(4)−g(4)−4=2⋅3⋅2⋅1=12⇒f(4)−g(4)=16,故選(D)
解答:,故選()
解答:f(a,b,c)=a2+b2+c2ab+bc⇒{fa=0fb=0fc=0⇒{2a(ab+bc)=a2b2b(ab+bc)=b2(a+c)2c(ab+bc)=c2b⇒a=c⇒f(a,b,a)=2a2+b22ab=ab+b2a≥2√ab⋅b2a=√2,故選(C)
解答:a+b=2c+1⇒(a+b)2=4c2+4c+1⇒(a+b)2−(a2+b2)=2c+2⇒ab=c+1再由算幾不等式:a+b≥2√ab⇒2c+1≥2√c+1⇒4c2−3≥0⇒(2c+√3)(2c−√3)≥0⇒c≥√32(c≤−√32不合,違反a,b,c為正數),故選(B)
解答:取f(x)=x2+ax+b⇒{f(1)=a+b+1f(2)=2a+b+4f(3)=3a+b+9⇒f(2)−f(1)=a+3依題意{−3≤a+3≤2−1≤3a+b+9≤2⇒{−6≤a≤−1−10≤3a+b≤−7⇒−7≤b≤11⇒f(0)=b,最大值=11,故選(A)
解答:{abc+d=5/2bcd+a=5/2cda+b=5/2dab+c=5/2⇒{abcd+d2=5d/2abcd+a2=5a/2abcd+b2=5b/2abcd+c2=5c/2⇒{1+d2=5d/21+a2=5a/21+b2=5b/21+c2=5c/2⇒{d=2,1/2a=2,1/2b=2,1/2c=2,1/2⇒(a,b,c,d)=(2,2,1/2,1/2)及其排列,共有C42=6組解,故選(C)
解答:令A=[abcdef]⇒{A[123]=[11]⇒{a+2b+3c=1⋯(1)d+2e+3f=1⋯(2)A[012]=[23]⇒{b+2c=2⋯(3)e+2f=3⋯(4)因此{(1)−2×(3)⇒a−c=−3(2)−2×(4)⇒d−f=−5⇒A[10−1]=[a−cd−f]=[−3−5],故選(C)
解答:√2x(2x−8)+x(x−2)+17+√2x(2x−2)+x(x−10)+26=√(2x−4)2+(x−1)2+√(2x−1)2+(x−5)2=¯PA+¯PB,其中{P(2x,x)在y=log2x上A(4,1)B(1,5)⇒最小值=¯AB=5,故選(A)
解答:{(2−1x)3=∑3m=0C3m(−1x)m⋅23−m(12−x)6=∑6n=0C6n(−x)n(12)6−n⇒(2−1x)3(12−x)6中x4係數=(n=4,m=0)+(n=5,m=1)+(n=6,m=2)的係數和=8C64(12)2+C31(−1)⋅22C65(−1)5(12)+C32⋅2⋅1=30+36+6=72,故選(A)
解答:取h(x)=f(x)−g(x)−x⇒h(x)=0的三根為1,2,3⇒h(x)=2(x−1)(x−2)(x−3)⇒h(4)=f(4)−g(4)−4=2⋅3⋅2⋅1=12⇒f(4)−g(4)=16,故選(D)
解答:,故選()
解答:f(a,b,c)=a2+b2+c2ab+bc⇒{fa=0fb=0fc=0⇒{2a(ab+bc)=a2b2b(ab+bc)=b2(a+c)2c(ab+bc)=c2b⇒a=c⇒f(a,b,a)=2a2+b22ab=ab+b2a≥2√ab⋅b2a=√2,故選(C)
解答:a+b=2c+1⇒(a+b)2=4c2+4c+1⇒(a+b)2−(a2+b2)=2c+2⇒ab=c+1再由算幾不等式:a+b≥2√ab⇒2c+1≥2√c+1⇒4c2−3≥0⇒(2c+√3)(2c−√3)≥0⇒c≥√32(c≤−√32不合,違反a,b,c為正數),故選(B)
解答:取f(x)=x2+ax+b⇒{f(1)=a+b+1f(2)=2a+b+4f(3)=3a+b+9⇒f(2)−f(1)=a+3依題意{−3≤a+3≤2−1≤3a+b+9≤2⇒{−6≤a≤−1−10≤3a+b≤−7⇒−7≤b≤11⇒f(0)=b,最大值=11,故選(A)
解答:{abc+d=5/2bcd+a=5/2cda+b=5/2dab+c=5/2⇒{abcd+d2=5d/2abcd+a2=5a/2abcd+b2=5b/2abcd+c2=5c/2⇒{1+d2=5d/21+a2=5a/21+b2=5b/21+c2=5c/2⇒{d=2,1/2a=2,1/2b=2,1/2c=2,1/2⇒(a,b,c,d)=(2,2,1/2,1/2)及其排列,共有C42=6組解,故選(C)
解答:lim
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解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
老師好 請問第一題的D 5+7=12沒有>13 是不是無法構成三角形呢
回覆刪除作者已經移除這則留言。
刪除不好意思,忘了更新, 己修訂,謝謝
刪除老師好
回覆刪除第9題,題目中的B集合是否少了一個y^2呢?
應該沒有少y^2, 是我看走眼了,待會再修,答案不變,只是圓變成拋物線,交集依然是空集合!
刪除謝謝老師
刪除29題,我提供一個解法
回覆刪除將一次移動後的xyz坐標相加,可得2(a+b+c)+1(可知,移動後的坐標關係)
兩次移動,得2[2(a+b+c)+1]+1
依此類推
七次移動,得2^7(a+b+c)+127
原坐標為(a,-2,b)
七次移動後的坐標(169,172,170) 數字相加,可得511
代入七次移動的關係
2^7(a+(-2)+b)+127=511
整理後,即可得a+b
想問老師,這題是否沒辦法分別求出a跟b?
你的方法很不錯,我再想想......
刪除