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2023年6月11日 星期日

112年新北市國中教甄聯招-數學詳解

新北市立國民中學 112 學年度教師聯合甄選

科目:數學科
選擇題:共40題,每題2.5分,總分100分。

解答52+92=106<121=112(C)
解答kxy=2y=kx2x+2y=2x=62k+1y=132k+1{62k+1>0132k+1>0k>1(B)
解答g(x)=f(x2)=(x2)(x1)x(x+1)(x+2){f(a)=(a2)(a1)a(a+1)(a+2)f(a)=(a+2)(a+1)(a)(a1)(a2)=f(a)f(a)=f(a)(A)
解答x2xmod100x2xmod100x2xmod1001211482152241296224381392238416148424165321558253266416362664728177227288561844285691219882912102420763024,2082589933=412949620+1392282589933191(D)
解答:a1,a,a+1(a+1)2=a2+(a1)2a24a=0a=4,3,4,5(A)
解答
¯CE¯AB¯AE=¯CD=1¯BE=21=1¯CE=3212=22P¯AD¯AP=¯PD=¯CE÷2=2¯PQ¯BC,ABCD=APB+CDP+BCP32=2+22+32¯PQ¯PQ=2(B)
解答2AC=¯BCA¯BCDA=12¯DB+12DCDC=2DADB(B)
解答:{A(5,0),A(5,0)B(4,3),B(4,3)C(3,4),C(3,4)D(0,5),D(0,5)E(3,4),E(3,4)F(4,3),F(4,3){¯AA¯BB¯CC¯DD¯EE¯FF(D)
解答x+3y=3y=123x x2+4x+483x+3=0x2+43x+7=0:16928<0(A)
解答x2+4y2=36x236+y29=1{a=6b=3=2b2a=186=33,4,,12();3,12,2+4×8+1=35(D)
解答
解答{201mod9212mod9224mod9238mod9247mod9255mod9261mod96223=236+55mod92023=1023×223223mod9=5(C)
解答Pn3=6Cn4n!(n3)!=6n!4!(n4)!6(n3)!=24(n4)!6(n3)=24n3=4n=7(B)
解答
C83=56,568×3=32(C)
解答{:0.8(10.6)(10.7)=0.096:(10.8)0.6(10.7)=0.036:(10.8)(10.6)0.7=0.0560.096+0.036+0.056=0.188=18.8%(D)
解答{abc{a+b+c=153a+c=33abc11401023906,(A)
解答


33×8=24(B)
解答f(x)=(x+2)(x1)2f(x)=(x1)2+2(x+2)(x1)=3(x1)(x+1)f(x)=3(x+1)+3(x1)=6x (A):{f(1)=0f
解答a_9=1 \Rightarrow a_k=r^{k-9} \Rightarrow P_n=r^{-8}\cdot r^{-7}\cdots r^{n-9} \Rightarrow P_{17}=1\\(A)\times: \cases{P_1= r^{-8}\\ P_{19}=P_{17}a_{18}a_{19}=r^{10}\cdot r^{11}} \Rightarrow P_1\ne P_{19} \\(B)\times:\cases{P_3=r^{-8} \cdot r^{-7}\cdot r^{-6}=r^{-21} \\ P_{17}=1} \Rightarrow P_3\ne P_{17} \\(C)\bigcirc: P_{12}=P_5\cdot (a_6a_7a_8)a_9(a_{10}a_{11}a_{12})=P_5 \\(D)\times: P_{11}=P_7\cdot a_8a_9a_{10}a_{11}=P_7a_{11}\\,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答|x-a|+|x-b|\lt 1 \Rightarrow x在a,b之間且a,b 相距小於1\\若無解,則|a-b|\ge 1,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答7個圓形=360^\circ \times 7=2520^\circ = 凸n邊形內角總和=(n-2)\times 180 \Rightarrow n=16,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答y=acx+bc不過第三象限\Rightarrow \cases{ac\lt 0\\ bc\gt 0} \Rightarrow (a,b,c)=(正,負,負),(負,正,正)\\ y=ax^2+bx+c \Rightarrow 極值位於x=-{b\over 2a}\gt 0 \Rightarrow 只有(B),(C)可能對,\\ (B)與(C)y 截距\lt 0 \Rightarrow c\lt 0 \Rightarrow a\gt 0 \Rightarrow 凹向上,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \Rightarrow 4=a^2+b^2+c^2-8 \Rightarrow a^2+b^2+c^2=12\\ 又a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c) (a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)) \\\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3=2\cdot (12+4) \Rightarrow  a^3+b^3+c^3=29,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答令\cases{A=a^2\\ B=b^2\\ C=c^2} \Rightarrow \cases{D=(40-a)(24-c)\\ E=(24-a)(40-c)} \Rightarrow E=D+128 \Rightarrow c=a+8 \cdots(1)\\ 又\cases{40-a+40-b=40+b\\ 24-a+24-c=24+b} \Rightarrow a+c=32 \cdots(2) \\ 由(1)及(2) \Rightarrow \cases{a=12\\ c=20} \Rightarrow b=8 \Rightarrow a^2+b^2+c^2= 144+ 64+ 400 =608,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答令\cases{扇形半徑r\\ 扇形夾角\theta},此題相當於已知2r+r\theta=64,求r^2\pi\cdot {\theta\over 2\pi}={1\over 2}r^2\theta 之最大值\\ 算幾不等式:{2r+r\theta\over 2}\ge \sqrt{2r^2\theta} \Rightarrow 32^2 \ge 2r^2\theta \Rightarrow r^2\theta\le 256,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答\cases{A(0,-1)\\ B(1,0)} \Rightarrow \cases{L=\overleftrightarrow{AB}: x-y=1\\ \overline{AB}=\sqrt 2} \Rightarrow \triangle ABC面積={1\over 2}\cdot \overline{AB}\cdot d(C,L)={\sqrt 2\over 2} \cdot d(C,L)\\ 令C(\cos \theta+1,\sin\theta+2) \Rightarrow d(C,L)={|\cos\theta-\sin\theta-2|\over \sqrt 2} ={|\sqrt 2\sin(\theta+\alpha)-2|\over \sqrt 2} \\ \Rightarrow d(C,L)的最大值={2+\sqrt 2\over \sqrt 2} \Rightarrow \triangle ABC面積最大值={\sqrt 2\over 2} \cdot{2+ \sqrt 2\over \sqrt 2}=1+{\sqrt 2\over 2},故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答將(0,0),(1,1), (2,0) 代入各選項,只有(D)皆符合(1,1),(2,0),(3,1),故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答4b=3c \Rightarrow b:c=3:4 \Rightarrow \triangle ABD:\triangle ADC=3:4 \Rightarrow 10+a+b:12+8+c=3:4 \\\Rightarrow 10+a+b:20+{4\over 3}b=3:4 \Rightarrow 60+4b=40+4a+4b \Rightarrow a=5,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答(a,b,c) \to (b+c-1,c+a-1,a+b+3) \equiv Tx,其中T=\begin{bmatrix}0 & 1& 1& -1 \\1 & 0& 1 & -1\\ 1 & 1& 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},x=\begin{bmatrix}a \\ b \\c \\1 \end{bmatrix}\\ 而T=\left[\begin{matrix}-1 & -1 & -1 & 1 \\-1 & 1 & 0 & 1 \\1 & 0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 2\end{matrix} \right] \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{-1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{2}{3} \\\frac{-1}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{-4}{3} \\\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]\\ \Rightarrow T^7= \left[\begin{matrix}-1 & -1 & -1 & 1 \\-1 & 1 & 0 & 1 \\1 & 0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 2^7\end{matrix} \right] \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{-1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{2}{3} \\\frac{-1}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{-4}{3} \\\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}42 & 43 & 43 & 41 \\43 & 42 & 43 & 41 \\43 & 43 & 42 & 45 \\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \\ \Rightarrow T^7\begin{bmatrix}a \\ -2\\ b\\ 1 \end{bmatrix}= \left[\begin{matrix}42a+43b-45 \\43a+43b-43 \\43a+42b-41 \\1 \end{matrix}\right] =\begin{bmatrix} 169\\172 \\170\\1 \end{bmatrix} \Rightarrow 43a+43b-43 =172\\ \Rightarrow a+b=(172+43)\div 43=5,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答x^2+4y^2+8x+12=0 \Rightarrow {(x+4)^2\over 4}+y^2=1 \Rightarrow \cases{x=2\cos\theta-4\\ y=\sin\theta}\\ \Rightarrow x^2+2y^2= 4\cos^2\theta-16\cos \theta+16+2\sin^2\theta =2\cos^2\theta-16\cos\theta+18\\ 當\cos\theta=-1時,有最大值=2+16+18=36,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答令A=\begin{bmatrix}a & b &c\\  d& e &f \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{A\begin{bmatrix}1 \\2\\3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\1 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{a+2b+3c=1 \cdots(1)\\ d+2e+3f=1 \cdots(2)} \\ A\begin{bmatrix}0 \\1 \\2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 \\3 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{b+2c=2 \cdots(3)\\ e+2f=3 \cdots(4)}}\\ 因此\cases{(1)-2\times (3) \Rightarrow a-c=-3\\ (2)-2\times(4) \Rightarrow d-f=-5} \Rightarrow A\begin{bmatrix}1 \\0\\-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a-c \\d-f \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3 \\-5 \end{bmatrix},故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答\sqrt{2^x(2^x-8)+x(x-2)+17} +\sqrt{2^x(2^x-2)+ x(x-10)+26}\\ =\sqrt{(2^x-4)^2+(x-1)^2} +\sqrt{(2^x-1)^2+(x-5)^2} \\ =\overline{PA}+ \overline{PB},其中\cases{P(2^x,x)在y=\log_2 x上\\ A(4,1)\\ B(1,5)} \Rightarrow 最小值=\overline{AB}=5,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答\cases{(2-{1\over x})^3 = \sum_{m=0}^3 C^3_m(-{1\over x})^m\cdot 2^{3-m} \\[1ex] ({1\over 2}-x)^6 = \sum_{n=0}^6 C^6_n(-x)^n ({1\over 2})^{6-n}}\\ \Rightarrow (2-{1\over x})^3  ({1\over 2}-x)^6中x^4係數=(n=4,m=0) +(n=5,m=1)+(n=6,m=2)的係數和\\ =8C^6_4({1\over 2})^2+C^3_1(-1)\cdot 2^2 C^6_5 (-1)^5 ({1\over 2})+ C^3_2\cdot 2\cdot 1=30+36+6=72,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答取h(x)=f(x)-g(x)-x \Rightarrow h(x)=0的三根為1,2,3 \Rightarrow h(x)=2(x-1)(x-2)(x-3) \\ \Rightarrow h(4)=f(4)-g(4)-4=2\cdot 3\cdot 2\cdot 1=12 \Rightarrow f(4)-g(4)=16,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答,故選\bbox[red, 2pt]{()}
解答f(a,b,c)={a^2+b^2+c^2\over ab+bc} \Rightarrow \cases{f_a=0\\ f_b=0\\ f_c=0} \Rightarrow \cases{2a(ab+bc)= a^2b\\ 2b(ab+bc)= b^2(a+c)\\ 2c(ab+bc)= c^2b} \Rightarrow a=c \\ \Rightarrow f(a,b,a)={2a^2+b^2\over 2ab}={a\over b}+{b\over 2a} \ge 2\sqrt{{a\over b}\cdot {b\over 2a}}=\sqrt 2,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答a+b=2c+1 \Rightarrow (a+b)^2=4c^2+4c+1 \Rightarrow (a+b)^2-(a^2+b^2)=2c+2 \Rightarrow ab=c+1\\ 再由算幾不等式:a+b\ge 2\sqrt{ab} \Rightarrow 2c+1\ge 2\sqrt{c+1} \Rightarrow 4c^2-3\ge 0 \Rightarrow (2c+\sqrt 3)(2c-\sqrt 3)\ge 0\\ \Rightarrow c\ge {\sqrt 3\over 2}(c\le -{\sqrt 3\over 2}不合,違反a,b,c為正數),故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答取f(x)=x^2+ax+b \Rightarrow \cases{f(1)=a+b+1\\ f(2)=2a+b+4\\ f(3)=3a+b+9} \Rightarrow f(2)-f(1)=a+3\\ 依題意\cases{-3\le a+3\le 2\\ -1\le 3a+b+9\le 2} \Rightarrow \cases{-6\le a\le -1 \\ -10 \le 3a+b\le -7} \Rightarrow -7\le b\le 11\\ \Rightarrow f(0)=b ,最大值=11,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答\cases{abc+d=5/2\\ bcd+a=5/2\\ cda+b=5/2\\ dab+c=5/2} \Rightarrow \cases{abcd+d^2=5d/2\\ abcd+a^2=5a/2\\ abcd+b^2=5b/2 \\ abcd+c^2=5c/2} \Rightarrow \cases{1+d^2=5d/2\\ 1+a^2=5a/2\\ 1+b^2=5b/2 \\ 1+c^2=5c/2} \Rightarrow \cases{d=2,1/2\\ a=2,1/2\\ b=2,1/2\\ c=2,1/2}\\ \Rightarrow (a,b,c,d)= (2,2,1/2,1/2)及其排列,共有C^4_2=6組解,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答\lim_{x\to 2}{f(x)\over x-2}=3 \Rightarrow \cases{f(2)=0\\ f'(2)=3}\\ g(x)=\int_0^x (f(t)f'(t))\,dt  \Rightarrow g'(x)=f(x)f'(x) \Rightarrow g''(x)=(f'(x))^2+ f(x)f''(x)\\\Rightarrow g''(2)=3^2+0=9,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}




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解題僅供參考,其他教甄試題及詳解

8 則留言:

  1. 老師好 請問第一題的D 5+7=12沒有>13 是不是無法構成三角形呢

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  2. 老師好
    第9題,題目中的B集合是否少了一個y^2呢?

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    1. 應該沒有少y^2, 是我看走眼了,待會再修,答案不變,只是圓變成拋物線,交集依然是空集合!

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  3. 29題,我提供一個解法
    將一次移動後的xyz坐標相加,可得2(a+b+c)+1(可知,移動後的坐標關係)
    兩次移動,得2[2(a+b+c)+1]+1
    依此類推
    七次移動,得2^7(a+b+c)+127
    原坐標為(a,-2,b)
    七次移動後的坐標(169,172,170) 數字相加,可得511
    代入七次移動的關係
    2^7(a+(-2)+b)+127=511
    整理後,即可得a+b

    想問老師,這題是否沒辦法分別求出a跟b?

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