112年國安三等及鐵路三級-工程數學詳解

112年國家安全局國家安全情報人員考試及
112年特種考試交通事業鐵路人員考試

考試別：鐵路人員考試、國家安全情報人員考試
等 別：高員三級考試、三等考試
類科組別：電力工程、電子組（選試英文）
科 目：工程數學
考試時間：2 小時

甲、申論題部分：（50 分）

解答：$$先求齊次解y_h,即y_h''-9y_h=0 \Rightarrow 特徵方程式：\lambda^2-9=0 \Rightarrow \lambda=\pm 3 \Rightarrow y_h=C_1e^{3x}+ C_2e^{-3x}\\ 接著令y_p=Axe^{-3x}+ Bx^2e^{-3x} \Rightarrow y_p'=Ae^{-3x}+(2B-3A)xe^{-3x}-3Bx^2e^{-3x} \\ \Rightarrow y_p''=(2B-6A)e^{-3x}+(-12B+9A)xe^{-3x} +9Bx^2e^{-3x} \\ \Rightarrow y_p''-9y_p=9xe^{-3x} \Rightarrow A=-{1\over 4},B=-{3\over 4} \Rightarrow y_p=-{1\over 4}xe^{-3x}-{3\over 4}x^2e^{-3x}\\ \Rightarrow y=y_h+y_p \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=C_1e^{3x}+ C_2e^{-3x} -{1\over 4}xe^{-3x}-{3\over 4}x^2e^{-3x},C_2與C_2為常數}$$

解答：$$\mathbf{(一)}\;\det(A-\lambda I)=0 \Rightarrow (\lambda+3)(\lambda+1)=0 \Rightarrow \lambda=-3,-1\\ \lambda_1=-3 \Rightarrow (A-\lambda_1 I)\textbf {v} =0 \Rightarrow \begin{bmatrix}2& 2 \\0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=0 \Rightarrow x_1+x_2=0,取v_1= \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \lambda_2=-1\Rightarrow (A-\lambda_2 I)\textbf {v} =0 \Rightarrow \begin{bmatrix}0& 2 \\0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=0 \Rightarrow x_2=0,取v_2= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\\ 因此特徵值為\bbox[red, 2pt]{-3,-1},相對應的特徵向量為\bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix}-1 \\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}}\\ \mathbf{(二)}\; 由(一)可取P=[v_1\; v_2] =\begin{bmatrix}-1 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow P^{-1}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow A=P\begin{bmatrix}-3 & 0 \\0 & -1 \end{bmatrix}P^{-1} \\ \Rightarrow A^n=P\begin{bmatrix}(-3)^n & 0 \\0 & (-1)^n \end{bmatrix}P^{-1} \Rightarrow e^{At}= \sum_{n=0}^\infty {t^nA^n\over n!} =P\begin{bmatrix}e^{-3t}  & 0 \\0 & e^{-t} \end{bmatrix}P^{-1} \\= \begin{bmatrix}-e^{-3t}  & e^{-t} \\e^{-3t} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 1 \end{bmatrix} =\bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix}e^{-t} & e^{-t}-e^{-3t} \\0 & e^{-3t} \end{bmatrix}}　\\ \mathbf{(二)}\cases{x_1'=-x_1+2x_2\\ x_2'=-3x_2} \Rightarrow \begin{bmatrix} x_1'\\ x_2'\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1 & 2\\ 0 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\end{bmatrix} \equiv x'=Ax\\ 由(一)可知Ａ的特徵值及其特徵向量，因此可得x=c_1e^{-3t}\begin{bmatrix} -1\\ 1\end{bmatrix} +c_2e^{-t} \begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{x_1=-c_1e^{-3t}+ c_2e^{-t} \\ x_2=c_1e^{-3t}}}$$

解答：$$\mathbf{(一)} \cases{P(X=0)=1/16\\ P(X=1)=C^4_1/16= 4/16\\ P(X=2)=C^4_2/16=6/16\\ P(X= 3)=C^4_3/16=4/16\\ P(X=4)=C^4_4/16=1/16} \Rightarrow \mu_X=E(X)=(0\cdot 1+1\cdot 4+ 2\cdot 6+3\cdot 4+4\cdot 1)/16=\bbox[red,2pt]2 \\\mathbf{(二)}\;Ｅ(X^2)=(0^2\cdot 1+1^2\cdot 4+ 2^2\cdot 6+3^2\cdot 4+ 4^2\cdot 1)/16= 5 \Rightarrow Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \\=5-2^2=1 \Rightarrow \sigma_X =\bbox[red, 2pt]1$$

解答：$$\mathbf{(一)}f(z)={ze^z\over (z-1)(z+1) } \Rightarrow \cases{Res(f,1)={1\cdot e^1 \over 1+1} ={1\over 2}e\\ Res(f,-1)={(-1)e^{-1}\over -1-1} ={1\over 2e}} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{Res(f,1)=e/2 \\ Res(f,-1)=1/2e}} \\\mathbf{(二)}\; \oint_C {f(z)} =2\pi i(Res(f,1)+ Res(f,-1)) =2\pi i({e\over 2} +{1\over 2e}) =\bbox[red, 2pt]{\pi i(e+{1\over e})}$$

乙、測驗題部分：（50 分） 

解答：$$\varphi(x,y,z)=0.5(x^2+2xy+2y^2+ z^2) \Rightarrow 向量v=(\varphi_x, \varphi_y,\varphi_z) =0.5( 2x+2y, 2x+4y, 2z) \\=(x+y,x+2y,z) ;再 將Ｐ代入v=(-1,-1,1) \Rightarrow ||v||=\sqrt{3}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$A=\begin{bmatrix} 1& -3 & 4 & -2 & 5\\ 2 & -6 & 9 & -1 &8\\ 2 & -6 & 9 & -1 & 9\\ -1& 3& -4 &2 & -5 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_1+r_4\to r_4,-r_2+r_3\to r_3} A=\begin{bmatrix} 1& -3 & 4 & -2 & 5\\ 2 & -6 & 9 & -1 &8\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0& 0& 0 &0 & 0 \end{bmatrix} \\ \xrightarrow{-2r_1+r_2\to r_2} \begin{bmatrix} 1& -3 & 4 & -2 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3 &-2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0& 0& 0 &0 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{-5r_3+r_1\to r_1, 2r_3+r_2\to r_2} \begin{bmatrix} 1& -3 & 4 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 &0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0& 0& 0 &0 & 0 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{-4r_2+r_1\to r_1}\begin{bmatrix} 1& -3 & 0 & -14 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 &0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0& 0& 0 &0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow Rank(A)=3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$10-6=4，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$(A)\bigcirc: \cases{|\vec u|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt 6\\ |\vec v|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt 6} \Rightarrow |\vec u|\cdot |\vec v|=6\\ (B)\bigcirc: \vec u\cdot \vec v=2-1+2=3\\ (C)\times:外積有兩個\cases{ \vec u\times \vec v =(3,3,-3)\\ \vec v\times \vec u=(-3,-3,3)} \\(D) \bigcirc:\cos \theta={\vec u \cdot \vec v\over |\vec u||\vec v|} ={3\over 6}={1\over 2} \Rightarrow \theta={\pi\over 3}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$T為線性 \Rightarrow \cases{T(u+4v)=T(u)+4T(v) =(1,1,0)^t \cdots(1)\\ T(2u+3v)= 2T(u)+3T(v)= (0,-1,3)^t \cdots(2)}\\ (2)\times 4-(1)\times 3 \Rightarrow 5T(u)=(-3,-7,12)^t \Rightarrow T(u)={1\over 5}\begin{bmatrix} -3\\ -7\\ 12\end{bmatrix}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$由P^{-1}AP知特徵向量\lambda_1=-1 \Rightarrow (A-\lambda_1 I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 0& 3\\ 0 & 3 & 0\\0 & 0 &3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\x_3\end{bmatrix} =0 \Rightarrow x_2=x_3=0 \\ \Rightarrow 特徵向量v=\begin{bmatrix} k\\ 0\\ 0\end{bmatrix},k\in \mathbb R，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$A的特徵值為-3,4,-1 \Rightarrow A^2的特徵值為(-3)^2=9,4^2=16,(-1)^2=1 \Rightarrow 4不是A^2的特徵值\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$(A) \bigcirc:\det(A-\lambda I)=0 \Rightarrow 有相異特徵值\lambda=1\pm \sqrt 2 \\(B) \times:\det(B-\lambda I)=0 \Rightarrow 只有一特徵值\lambda=1,只能構成一特徵向量(k,0)^t \Rightarrow 無法對角化\\(C) \bigcirc:\det(C-\lambda I)=0\Rightarrow 有相異特徵值\lambda=1\pm \sqrt 2\\ (D)\bigcirc: \det(D-\lambda I)=0 \Rightarrow 有相異特徵值\lambda=(3\pm \sqrt 5)/2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$${dy\over dx}=a(x)b(y) \Rightarrow a(x)b(y)dx-dy=0 \Rightarrow 令\cases{P(x,y)=a(x)b(y)\\ Q(x,y)=-1}\\ \Rightarrow 積分因子\mu(y) =e^{\int(Q_x-P_y)P\,dy} =e^{-\int b'(y)/b(y)\,dy} =e^{-\ln b(y)} ={1\over b(y)}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$\sin x=x-{1\over 3!}x^3+{1\over 5!}x^5-{1\over 7!}x^7+\cdots\\ \cos x=1-{1\over 2}x^2+{1\over 4!}x^4-{1\over 6!}x^6+\cdots\\ y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots  \Rightarrow y'=a_1+2a_2x+ 3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\\ \Rightarrow y''=2a_2+6a_3x+ 12a_4x^2+20a_5x^3+\cdots\\ 由\cases{y(0)=1\\ y'(0)=0} \Rightarrow \cases{a_0=1\\ a_1=0} \Rightarrow y''+(\cos x)y'+ (\sin x)y 的\cases{常數項= 2a_2+a_1=1\\ x的係數＝6a_3+2a_2+a_0=0}\\ \Rightarrow \cases{a_2=1/2\\ a_3=-1/3} \Rightarrow c_3=a_3=-{1\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答：$$f(t)=L^{-1}\{ {1\over s(s+1)^2}\} =L^{-1}\{{1\over s}\}-L^{-1}\{ {1\over s+1}\}-L^{-1}\{ {1\over (s+1)^2}\}=1-e^{-t}-te^{-t}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$f(t)=2\cos(3t) \Rightarrow \cases{f(0)=2=A\\ f(\pi/3)=-2=C\\ B=D=0}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$F(\omega)=\int_0^\infty {1\over a}e^{-at}\cdot e^{-i\omega t}\,dt +\int_{-\infty}^0 {1\over a}e^{at}\cdot e^{-i\omega t}\,dt =\int_0^\infty {1\over a}e^{-(a+i\omega)t}\,dt +\int_{-\infty}^0 {1\over a}e^{(a-i\omega)t}\,dt \\= \left. \left[ -{1\over a(a+i\omega)} e^{-(a+i\omega)t} \right] \right|_0^\infty+  \left. \left[ {1\over a(a-i\omega)} e^{(a-i\omega)t}\right] \right|_{-\infty}^0 ={1\over a(a+i\omega)}+{1\over a(a-i\omega)} \\={a-i\omega\over a(a^2+\omega^2)} +{a+i\omega\over a(a^2+\omega^2)} ={2\over a^2+\omega^2}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$f(z)=(x^3-3xy^2)+ i(3x^2y-y^3) \equiv u(x,y)+v(x,y)i\\ \Rightarrow {df(z)\over dz}=u_x+iv_x =(3x^2-3y^2)+i(6xy)，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$f(z)={z+1\over z^2-2z+5} ={z+1\over (z-(1+2i))(z-(1-2i))} \Rightarrow 1+2i在C內,1-2i在C外\\ 因此\oint_C f(z)dz= 2\pi i \cdot Res(f,1+2i) =2\pi i\cdot {2+2i\over 4i} =\pi+\pi i \Rightarrow a=\pi，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$f(z)={2\over (z-1)(z-3)} ={1\over z-3}-{1\over z-1}\\ 其中\cases{{1\over z-3}=-{1\over 3} \cdot {1\over 1-z/3} =(-{1\over 3})(1+{z\over 3}+{z^2\over 9}+\cdots)\\ {1\over z-1}={1\over z}\cdot {1\over 1-1/z}={1\over z}+{1\over z^2}+{1\over z^3}+\cdots} \\ 因此\cases{a=-1\\ b=-1/3\\ c=-1/9\\ d=-1/27}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$\int_0^\infty f(x)\,dx =1 \Rightarrow \int_0^\infty 0.005e^{kx}\,dx =1 \Rightarrow k=-0.005\\ 又平均壽命=\int_0^\infty xf(x)\,dx = \int_0^\infty 0.005x e^{-0.005x}\,dx = 200，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：$$X\sim U[-1,3] \Rightarrow Var(X)={(3-(-1))^2\over 12}={16\over 12}={4\over 3} =A\\ Var(5X)=25Var(x)=25\times {4\over 3}={100\over 3}=B，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答：$$(A)\times: \int_0^1 \int_0^2 kx(1+2y)\,dxdy=1 \Rightarrow \int_0^1 \left. \left[ {1\over 2}kx^2(1+2y) \right] \right|_0^2\,d y =\int_0^1 2k(1+2y)\,dy\\\qquad =\left. \left[ 2k(y+y^2)\right] \right|_0^1 =4k =1 \Rightarrow k={1\over 4}\ne {1\over 2} \\(B)\times: g(x)= \int_0^1 kx(1+2y)\,dy=2kx={x\over 2} \ne {x\over 4}\\ (C)\times: h(y)= \int_0^2 kx(1+2y)\,dx = 2k(1+2y)={1\over 2}(1+2y) \ne {1+2y\over 4} \\(D)\bigcirc: f(y\mid x)= {f(x,y)\over g(x)}={kx(1+2y)\over 2kx} ={1+2y\over 2}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：$$(A)\bigcirc: u_1={u\cdot v\over |v|^2}\cdot v={15\over 21}[4,-1,2]^T=\left[ {20\over 7},-{5\over 7},{10\over 7} \right]^T \\ (B) \bigcirc:u=u_1+u_2 \Rightarrow [2,-1,3]^T=\left[ {20\over 7},-{5\over 7},{10\over 7} \right]^T+u_2 \Rightarrow u_2=\left[ -{6\over 7},{2\over 7},{11\over 7} \right]^T\\\qquad \Rightarrow ||u_2||={\sqrt{161} \over 7}\\ (C)\times: u_2\bot v \Rightarrow u_2\times v\ne 0\\(D)\bigcirc: u_1\parallel v \Rightarrow u_1\bot u_2 \Rightarrow u_1\cdot u_2=0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考，其他國考試題及詳解