112年嘉義永慶高中特招-數學詳解

嘉義區嘉義縣立永慶高級中學
112學年度高級中等學校特色招生考試

解答： $$\cases{(A) d(C,D)=4+8=12\\ (B)d(D,E)=3+11=14\\ (C)d(E,F)= 5+8=13\\ (D) d(F,G)=4+7=11} \Rightarrow d(F,G)最小，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：

$$摺線(對稱軸)在三角形右側及下側，如上圖虛線，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$底標(12\%)在四級分，因此可能是英文或數A；但頂標(88\%)為13級分，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$原用戶\begin{bmatrix}1000  \\500 \end{bmatrix} \xrightarrow{一年後}\begin{bmatrix}0.9 & 0.4 \\0.1 & 0.6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1000  \\500 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1100  \\400 \end{bmatrix} \\\xrightarrow{二年後}\begin{bmatrix}0.9 & 0.4 \\0.1 & 0.6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1100  \\400 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1150  \\350 \end{bmatrix},甲用戶數變為1150，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$假設未婚員工中高於45歲的比例為a，則超過45歲的比率=已婚超過45歳加上未婚超過45歳\\ 即{4\over 9}\times {3\over 4}+{5\over 9}a={3\over 5} \Rightarrow a={12\over 25} =48\% \Rightarrow 未婚低於45歳占比52\%，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$速度100Mbps代表8秒下載100MB \Rightarrow 下載1GB需要{1024\over 100}\times 8=81.92秒，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$5個整數中，若4個整數均為12，則剩下的整數為-1-12\times 4=-49，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{甲+{乙\over 2}=50\\ {2\over 3}甲+乙=50} \Rightarrow \cases{甲=37.5\\ 乙=25}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$2^6=64，最多猜6次，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$N為1位數: N=6\\ N為2位數:N=15,24,33, 42,51,60\\ N為3位數:N=600, 510,501, 420, 411, 402,330, 321,312,303, 240, 231,222,\\\qquad \qquad  \qquad 213,204,150 141, 132,123, 114,105\\ 共有28個，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$小永作了a顆、小慶作了b顆棕子 \Rightarrow 9a+12b=12a+10b \Rightarrow 2b=3a \Rightarrow a:b=2:3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$x^2+8x+3=0 \Rightarrow 兩根和=-8 \Rightarrow 兩根為-4+u,-4-u \Rightarrow 兩根之積=16-u^2=3\\ \Rightarrow u=\sqrt{13} \Rightarrow 兩根為-4\pm \sqrt{13}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$假設\cases{畫冊單價a元\\ 畫筆單價b元} \Rightarrow\cases{2a+3b=44 \cdots(1) \\ 2a+5b=66 \cdots(2)\\ 3a+4b=64 \cdots(3)\\ a+2b=28 \cdots(4)}\\ 由(2)(3),或(3)(4)可得\cases{a=8\\ b=10} \Rightarrow 只有甲計算錯誤，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\triangle EBD為邊長皆為6\sqrt 2的正三角形，面積={1\over 2}\times 6\sqrt 2\times 3\sqrt 6=9\sqrt{12}=18\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$較長的邊離外心較近，所以先減少再增加(\overline{CA}最短,y坐標最大)，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{甲:(1+7\%)(1+7\%)=1.1449\\ 乙:(1+4\%)(1+10\%)=1.144\\ 丙:(1+2\%)(1+12\%)=1.1424} \Rightarrow 甲最高，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{L_1通過(6,0),(0,4) \Rightarrow L_1: 2x+3y=12\\ L_2通過(4,0), (0,6) \Rightarrow L_2: 3x+2y=12} \Rightarrow L_1與L_2的交點P({12\over 5},{12\over 5})\\ \Rightarrow PQOR面積={12\over 5} \times {12\over 5} ={144\over 25}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$無論出現幾點,機率都是{1\over 6},因此期望值={1\over 6}(1+2+3+4+5+6)= 3.5，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$p 是大於100的質數,p一定是奇數;\\ 連續三個整數:p-1,p,p+1,其中之一是三的倍數,另外兩個是2或4的倍數\\，也就是說p^2-1=(p-1)(p+1)有可能是2,3或4的倍數，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$對戰一次會產生一勝一敗，四人至少要比6場，產生6勝6敗\\現在甲乙丙三人合計: 4勝6敗，因此丁一定是3勝1敗，這樣四人合計7勝7敗，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答：

$$\cases{B為\overline{AP}中點\Rightarrow \triangle RAB面積= \triangle RBP面積 =a \\C為\overline{BQ}中點\Rightarrow \triangle BPC面積= \triangle CPQ面積 =b \\A為\overline{RC}中點\Rightarrow \triangle QAC面積= \triangle QAR面積 =c }\\ 又\cases{A為\overline{RC}中點\Rightarrow \triangle ABC面積= \triangle RAB面積 =a \\ B為\overline{AP}中點\Rightarrow \triangle ABC面積= \triangle BPC面積 =b \\ C為\overline{BQ}中點\Rightarrow \triangle ABC面積= \triangle ACQ面積 =c  } \\ 因此a=b=c=x \Rightarrow {\triangle PQR\over \triangle ABC} ={7x\over x} =7，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{\cases{a是正數的機率:1/2\\ a是負數的機率1/2} \\\cases{b是正數的機率:2/5\\ b是負數的機率2/5}} \Rightarrow \cases{a正且b正的機率=(1/2)\times (2/5)=1/5\\ a負且b負的機率=(1/2)\times (2/5)=1/5} \\ \Rightarrow ab 為正數的機率={1\over 5}+{1\over 5}={2\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$假設f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow f(3x)=9ax^2+3bx+c=x^2+5x+7\\ \Rightarrow \cases{a=1/9\\ b=5/3\\ c=7} \Rightarrow f(x)={1\over 9}x^2+{5\over 3}x+7，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$輸出2,2+5,2+5+5,2+5+5+5,2+5+5+5+5= 2,7,12,17,22，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$半徑比等於周長比，正左方僅為四分之一，「數」的正下方還沒碰到大齒輪，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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