102年升官等考試--微積分詳解

102年公務、關務人員升官等考試
102年交通事業郵政、公路、港務人員升資考試

等 級：薦任

類科（別）：物理

科 目：微積分

微積分 詳解

解： $$\sin { x } =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n }\frac { x^{ 2n+1 } }{ \left( 2n+1 \right) ! }  } =\frac { x }{ 1! } -\frac { x^{ 3 } }{ 3! } +\frac { x^{ 5 } }{ 5! } +\cdots +{ \left( -1 \right)  }^{ n }\frac { x^{ 2n+1 } }{ \left( 2n+1 \right) ! } +\cdots \\ f\left( x \right) =\sin { x^{ 3 } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n }\frac { x^{ 6n+3 } }{ \left( 2n+1 \right) ! }  } =\frac { x^{ 3 } }{ 1! } -\frac { x^{ 9 } }{ 3! } +\frac { x^{ 15 } }{ 5! } +\cdots +{ \left( -1 \right)  }^{ n }\frac { x^{ 6n+3 } }{ \left( 2n+1 \right) ! } +\cdots \\ \Rightarrow f^{ (15) }\left( 0 \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { 15! }{ 5! }}$$

---

解： $$x=3\tan { \theta  } \Rightarrow dx=3\sec ^{ 2 } \theta d\theta \Rightarrow \int { \frac { 1 }{ x^{ 2 }\sqrt { x^{ 2 }+9 }  }  } dx=\int { \frac { 3\sec ^{ 2 } \theta  }{ 9\tan ^{ 2 }{ \theta  } \sqrt { 9\tan ^{ 2 }{ \theta  } +9 }  }  } d\theta \\ =\int { \frac { 3\sec ^{ 2 } \theta  }{ 9\tan ^{ 2 }{ \theta  } \cdot 3\sec  \theta  }  } d\theta =\int { \frac { \sec  \theta  }{ 9\tan ^{ 2 }{ \theta  }  }  } d\theta =\frac { 1 }{ 9 } \int { \cot  \theta \csc  \theta  } d\theta \\ =-\frac { 1 }{ 9 } \csc  \theta +C=\bbox[red,2pt]{-\frac { \sqrt { x^{ 2 }+9 }  }{ 9x } +C }$$

---

解： $$\begin{cases} u={ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 3 } \\ dv=dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\frac { 3{ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 2 } }{ x }  \\ v=x \end{cases}\Rightarrow \int { { \left( \ln { x }  \right)  }^{ 3 } } dx=x{ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 3 }-3\int { { \left( \ln { x }  \right)  }^{ 2 } } dx\\ \begin{cases} u={ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 2 } \\ dv=dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\frac { 2\ln { x }  }{ x }  \\ v=x \end{cases}\Rightarrow \int { { \left( \ln { x }  \right)  }^{ 2 } } dx=x{ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 2 }-2\int { { \left( \ln { x }  \right)  } } dx=x{ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 2 }-2x\ln { x } +2x+C\\ \Rightarrow \int { { \left( \ln { x }  \right)  }^{ 3 } } dx=x{ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 3 }-3\left( x{ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 2 }-2x\ln { x } +2x \right) =x{ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 3 }-3x{ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 2 }+6x\ln { x } -6x+C\\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ { \left( \ln { x }  \right)  }^{ 3 } } dx=\left. \left[ x{ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 3 }-3x{ \left( \ln { x }  \right)  }^{ 2 }+6x\ln { x } -6x \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=\bbox[red,2pt]{-6}$$

---

解： $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { \frac { dr\left( t \right)  }{ dt } \cdot \frac { dr\left( t \right)  }{ dt }  }  } dt=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { \left( \sqrt { 2 } i+{ e }^{ t }j-{ e }^{ -t }k \right) \cdot \left( \sqrt { 2 } i+{ e }^{ t }j-{ e }^{ -t }k \right)  }  } dt\\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { \left( \sqrt { 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( { e }^{ t } \right)  }^{ 2 }+{ \left( -{ e }^{ -t } \right)  }^{ 2 } }  } dt=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { 2+e^{ 2t }+e^{ -2t } }  } dt=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { \left( e^{ t }+e^{ -t } \right)  }^{ 2 } }  } dt\\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( e^{ t }+e^{ -t } \right)  } dt=\left. \left[ e^{ t }-e^{ -t } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=\bbox[red,2pt]{e-\frac { 1 }{ e }}$$

---

解： $$d\left( x,y,z \right) =\sqrt { { \left( x-4 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-8 \right)  }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } =\sqrt { { \left( x-4 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-8 \right)  }^{ 2 }+x^{ 2 }+y^{ 2 }+2xy } \\ \Rightarrow d^{ 2 }=f\left( x,y \right) =2x^{ 2 }+2y^{ 2 }+2xy-8x-16y+80\\ \begin{cases} f_{ x }=0 \\ f_{ y }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 4x+2y-8=0 \\ 4y+2x-16=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x+y=4 \\ x+2y=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=4 \end{cases}\Rightarrow z^{ 2 }=0+4^{ 2 }+0=16\\ \Rightarrow 最近的點\bbox[red,2pt]{\left( 0,4,16 \right)}$$

---

解： $$\begin{cases} x=\rho \sin { \phi  } \cos { \theta  }  \\ y=\rho \sin { \phi  } \sin { \theta  }  \\ z=\rho \cos { \phi  }  \end{cases}\Rightarrow B=\left\{ \left( x,y,z \right) :x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }\le 9 \right\} =\left\{ \left( \rho ,\phi ,\theta  \right) :0\le \rho \le 3,0\le \phi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi  \right\} \\ \Rightarrow \iiint _{ B }{ { \left( x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } dV=\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \int _{ 0 }^{ 3 }{ \left( \rho ^{ 4 }\cdot \rho ^{ 2 }\sin  \phi  \right)  }  }  } d\rho d\phi d\theta =\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \int _{ 0 }^{ 3 }{ \left( \rho ^{ 6 }\sin  \phi  \right)  }  }  } d\rho d\phi d\theta \\ =\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \left. \left[ \frac { 1 }{ 7 } \rho ^{ 7 }\sin  \phi  \right]  \right| _{ 0 }^{ 3 } }  } d\phi d\theta =\frac { 3^{ 7 } }{ 7 } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sin  \phi  }  } d\phi d\theta =\frac { 3^{ 7 } }{ 7 } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \left. \left[ -\cos { \phi  }  \right]  \right| _{ 0 }^{ \pi  } } d\theta \\ =\frac { 2\cdot 3^{ 7 } }{ 7 } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ 1 } d\theta =\frac { 2\cdot 3^{ 7 } }{ 7 } \cdot \left. \left[ \theta  \right]  \right| _{ 0 }^{ 2\pi  }=\frac { 2\cdot 3^{ 7 } }{ 7 } \cdot 2\pi =\bbox[red,2pt]{\frac { 4\cdot 3^{ 7 }\cdot \pi  }{ 7 } }$$

---

解： $$\oint _{ C }{ \left( 4xy-e^{ \sin { x }  } \right) dx+\left( 8x+\ln { \tan { y }  }  \right) dy } =\oint _{ C }{ P\left( x,y \right) dx+Q\left( x,y \right) dy } \\ =\int_R { \left( \frac { \partial Q }{ \partial x } -\frac { \partial P }{ \partial y }  \right)  } dA=\int_R { \left( 8-4x \right)  } dA=\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \int _{ 0 }^{ 5 }{ \left( 8-4r\cos { \theta  }  \right) r } drd\theta  } \\ =\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \int _{ 0 }^{ 5 }{ \left( 8r-4r^{ 2 }\cos { \theta  }  \right)  } drd\theta  } =\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \left. \left[ 4r^{ 2 }-\frac { 4 }{ 3 } r^{ 3 }\cos  \theta  \right]  \right| _{ 0 }^{ 5 }d\theta  } \\ =\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \left( 100-\frac { 500 }{ 3 } \cos  \theta  \right) d\theta  } =\left. \left[ 100\theta +\frac { 500 }{ 3 } \sin  \theta  \right]  \right| _{ 0 }^{ 2\pi  }=\bbox[red,2pt]{200\pi}$$ 如果你的物理還不錯，中途可以不用轉換成極座標，改用如下算法 $$\int _{ R }{ \left( 8-4x \right)  } dA=8\int _{ R }{ 1 } dA-4\int _{ R }{ x } dA=8倍圓C面積-4倍圓C圓心x軸坐標\\ =8\times 25\pi -4\times 0=200\pi$$

---

考選部未公布答案，解題僅供參考