102年公務、關務人員升官等考試
102年交通事業郵政、公路、港務人員升資考試
102年交通事業郵政、公路、港務人員升資考試
等 級:薦任
類科(別):物理
科 目:微積分
解:$$x=3\tan { \theta } \Rightarrow dx=3\sec ^{ 2 } \theta d\theta \Rightarrow \int { \frac { 1 }{ x^{ 2 }\sqrt { x^{ 2 }+9 } } } dx=\int { \frac { 3\sec ^{ 2 } \theta }{ 9\tan ^{ 2 }{ \theta } \sqrt { 9\tan ^{ 2 }{ \theta } +9 } } } d\theta \\ =\int { \frac { 3\sec ^{ 2 } \theta }{ 9\tan ^{ 2 }{ \theta } \cdot 3\sec \theta } } d\theta =\int { \frac { \sec \theta }{ 9\tan ^{ 2 }{ \theta } } } d\theta =\frac { 1 }{ 9 } \int { \cot \theta \csc \theta } d\theta \\ =-\frac { 1 }{ 9 } \csc \theta +C=\bbox[red,2pt]{-\frac { \sqrt { x^{ 2 }+9 } }{ 9x } +C }$$
解:$$\begin{cases} u={ \left( \ln { x } \right) }^{ 3 } \\ dv=dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\frac { 3{ \left( \ln { x } \right) }^{ 2 } }{ x } \\ v=x \end{cases}\Rightarrow \int { { \left( \ln { x } \right) }^{ 3 } } dx=x{ \left( \ln { x } \right) }^{ 3 }-3\int { { \left( \ln { x } \right) }^{ 2 } } dx\\ \begin{cases} u={ \left( \ln { x } \right) }^{ 2 } \\ dv=dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\frac { 2\ln { x } }{ x } \\ v=x \end{cases}\Rightarrow \int { { \left( \ln { x } \right) }^{ 2 } } dx=x{ \left( \ln { x } \right) }^{ 2 }-2\int { { \left( \ln { x } \right) } } dx=x{ \left( \ln { x } \right) }^{ 2 }-2x\ln { x } +2x+C\\
\Rightarrow \int { { \left( \ln { x } \right) }^{ 3 } } dx=x{ \left( \ln { x } \right) }^{ 3 }-3\left( x{ \left( \ln { x } \right) }^{ 2 }-2x\ln { x } +2x \right) =x{ \left( \ln { x } \right) }^{ 3 }-3x{ \left( \ln { x } \right) }^{ 2 }+6x\ln { x } -6x+C\\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ { \left( \ln { x } \right) }^{ 3 } } dx=\left. \left[ x{ \left( \ln { x } \right) }^{ 3 }-3x{ \left( \ln { x } \right) }^{ 2 }+6x\ln { x } -6x \right] \right| _{ 0 }^{ 1 }=\bbox[red,2pt]{-6} $$
解:$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { \frac { dr\left( t \right) }{ dt } \cdot \frac { dr\left( t \right) }{ dt } } } dt=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { \left( \sqrt { 2 } i+{ e }^{ t }j-{ e }^{ -t }k \right) \cdot \left( \sqrt { 2 } i+{ e }^{ t }j-{ e }^{ -t }k \right) } } dt\\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { \left( \sqrt { 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { e }^{ t } \right) }^{ 2 }+{ \left( -{ e }^{ -t } \right) }^{ 2 } } } dt=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { 2+e^{ 2t }+e^{ -2t } } } dt=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { \left( e^{ t }+e^{ -t } \right) }^{ 2 } } } dt\\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( e^{ t }+e^{ -t } \right) } dt=\left. \left[ e^{ t }-e^{ -t } \right] \right| _{ 0 }^{ 1 }=\bbox[red,2pt]{e-\frac { 1 }{ e }} $$
解:$$d\left( x,y,z \right) =\sqrt { { \left( x-4 \right) }^{ 2 }+{ \left( y-8 \right) }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } =\sqrt { { \left( x-4 \right) }^{ 2 }+{ \left( y-8 \right) }^{ 2 }+x^{ 2 }+y^{ 2 }+2xy } \\ \Rightarrow d^{ 2 }=f\left( x,y \right) =2x^{ 2 }+2y^{ 2 }+2xy-8x-16y+80\\ \begin{cases} f_{ x }=0 \\ f_{ y }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 4x+2y-8=0 \\ 4y+2x-16=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x+y=4 \\ x+2y=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=4 \end{cases}\Rightarrow z^{ 2 }=0+4^{ 2 }+0=16\\ \Rightarrow 最近的點\bbox[red,2pt]{\left( 0,4,16 \right)} $$
解:$$\oint _{ C }{ \left( 4xy-e^{ \sin { x } } \right) dx+\left( 8x+\ln { \tan { y } } \right) dy } =\oint _{ C }{ P\left( x,y \right) dx+Q\left( x,y \right) dy } \\ =\int_R { \left( \frac { \partial Q }{ \partial x } -\frac { \partial P }{ \partial y } \right) } dA=\int_R { \left( 8-4x \right) } dA=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \int _{ 0 }^{ 5 }{ \left( 8-4r\cos { \theta } \right) r } drd\theta } \\ =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \int _{ 0 }^{ 5 }{ \left( 8r-4r^{ 2 }\cos { \theta } \right) } drd\theta } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left. \left[ 4r^{ 2 }-\frac { 4 }{ 3 } r^{ 3 }\cos \theta \right] \right| _{ 0 }^{ 5 }d\theta } \\ =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left( 100-\frac { 500 }{ 3 } \cos \theta \right) d\theta } =\left. \left[ 100\theta +\frac { 500 }{ 3 } \sin \theta \right] \right| _{ 0 }^{ 2\pi }=\bbox[red,2pt]{200\pi} $$如果你的物理還不錯,中途可以不用轉換成極座標,改用如下算法$$\int _{ R }{ \left( 8-4x \right) } dA=8\int _{ R }{ 1 } dA-4\int _{ R }{ x } dA=8倍圓C面積-4倍圓C圓心x軸坐標\\ =8\times 25\pi -4\times 0=200\pi $$
考選部未公布答案,解題僅供參考
您好
回覆刪除請教第二題的答案 如果不轉換的話
可以寫成
-1/9csc(arctan(x/3))+C嗎?
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