107年公務人員高等考試三級考試
類 科 :核子工程
科 目:微積分與微分方程
科 目:微積分與微分方程
(一)limx→0+x−2e−1x2=limx→0+1x2e1x2=limx→0+ddx(1x2)ddx(e1x2)=limx→0+1e1x2=1∞=0(二)sinx=∞∑n=0(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−x33!+x55!−⋯⇒f(x)=x2sinx=x2∞∑n=0(−1)n(2n+1)!x2n+1=∞∑n=0(−1)n(2n+1)!x2n+3=x2(x−x33!+x55!−⋯)=x3−x53!+x75!−⋯
解:
(一)f(x,y)=x3−4xy−y2+y+7⇒{fx=3x2−4yfy=−4x−2y+1⇒{fx(1,2)=−5fy(1,2)=−7⇒法線方程式為{x=1−5ty=2−7tz=−2−t(二){x=ρsinϕcosθy=ρsinϕsinθz=ρcosϕ⇒∭RxydV=∫π0∫π/20∫10ρ2sin2ϕcosθsinθ×ρ2sinϕdρdθdϕ=∫π0∫π/20∫10ρ4sin3ϕcosθsinθdρdθdϕ=∫π0∫π/20[15ρ5sin3ϕcosθsinθ]|10dθdϕ=15∫π0∫π/20sin3ϕcosθsinθdθdϕ=110∫π0∫π/20sin3ϕsin2θdθdϕ=110∫π0[−12sin3ϕcos2θ]|π/20dϕ=110∫π0sin3ϕdϕ=110[−13sin2ϕcosϕ−23cosϕ]|π0=110(23+23)=110×43=215
解:f(x,y)=x2+y3+2xy−2x−3y+3⇒{fx=0fy=0⇒{2x+2y−2=03y2+2x−3=0⇒3y2−2y−1=0⇒(3y+1)(y−1)=0⇒y=1,−1/3⇒(x,y)={(0,1)(4/3,−1/3)d(x,y)=fxx⋅fyy−f2xy=(2)(6y)−22=12y−4⇒{d(0,1)=12−4=8>0d(4/3,−1/3)=−4−4=−8<0⇒{f(0,1)=1−3+3=1為相對極小值f(4/3,−1/3)=59/27為相對極大值
解:
(一)λ2−λ−2=0⇒(λ−2)(λ+1)=0⇒λ=2,−1⇒y1=c1e2t+c2e−t為其齊次解y2=at+b⇒y″2−y′2−2y2=0−a−2(at+b)=−2at−a−2b=t+1⇒a=−12,b=−14⇒通解為y=y1+y2,即y=c1e2t+c2e−t−12t−14,其中c1,c2為任意常數(二)y′(t)=y(t)(0.5−0.025y(t))=12y(t)−140y2(t)⇒dydt−12y=−140y2⇒1y2dydt−12⋅1y=−140⋯(1)令u=1y⇒y=1u⇒dydu=−1u2⇒dydt=dydududt=−1u2dudt(1)⇒u2(−1u2dudt)−12u=−140⇒−dudt−12u=−140⇒40dudt+20u=1⇒u=ce−12t+1⇒y=1/(ce−12t+1)y(0)=10⇒1c+1=10⇒c=−910⇒y=11−910e−12t為其解
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