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2018年8月22日 星期三

107年公務人員高等考試三級考試--微積分&微分方程 詳解


107年公務人員高等考試三級考試
類 科 :核子工程
科 目:微積分與微分方程



(一)limx0+x2e1x2=limx0+1x2e1x2=limx0+ddx(1x2)ddx(e1x2)=limx0+1e1x2=1=0(二)sinx=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1=xx33!+x55!f(x)=x2sinx=x2n=0(1)n(2n+1)!x2n+1=n=0(1)n(2n+1)!x2n+3=x2(xx33!+x55!)=x3x53!+x75!




(一)f(x,y)=x34xyy2+y+7{fx=3x24yfy=4x2y+1{fx(1,2)=5fy(1,2)=7{x=15ty=27tz=2t(二){x=ρsinϕcosθy=ρsinϕsinθz=ρcosϕRxydV=π0π/2010ρ2sin2ϕcosθsinθ×ρ2sinϕdρdθdϕ=π0π/2010ρ4sin3ϕcosθsinθdρdθdϕ=π0π/20[15ρ5sin3ϕcosθsinθ]|10dθdϕ=15π0π/20sin3ϕcosθsinθdθdϕ=110π0π/20sin3ϕsin2θdθdϕ=110π0[12sin3ϕcos2θ]|π/20dϕ=110π0sin3ϕdϕ=110[13sin2ϕcosϕ23cosϕ]|π0=110(23+23)=110×43=215


f(x,y)=x2+y3+2xy2x3y+3{fx=0fy=0{2x+2y2=03y2+2x3=03y22y1=0(3y+1)(y1)=0y=1,1/3(x,y)={(0,1)(4/3,1/3)d(x,y)=fxxfyyf2xy=(2)(6y)22=12y4{d(0,1)=124=8>0d(4/3,1/3)=44=8<0{f(0,1)=13+3=1f(4/3,1/3)=59/27



(一)λ2λ2=0(λ2)(λ+1)=0λ=2,1y1=c1e2t+c2ety2=at+by2y22y2=0a2(at+b)=2ata2b=t+1a=12,b=14y=y1+y2,y=c1e2t+c2et12t14,c1,c2(二)y(t)=y(t)(0.50.025y(t))=12y(t)140y2(t)dydt12y=140y21y2dydt121y=140(1)u=1yy=1udydu=1u2dydt=dydududt=1u2dudt(1)u2(1u2dudt)12u=140dudt12u=14040dudt+20u=1u=ce12t+1y=1/(ce12t+1)y(0)=101c+1=10c=910y=11910e12t


考選部未公布答案,解題僅供參考

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