104年公務人員普通考試--微積分詳解

104年公務人員普通考試

類科：天文、氣象  

科目：微積分

解：
(一) $$a_n=\sqrt{2a_n}\Rightarrow a^2_n=2a_n\Rightarrow a_n(a_n-2)=0\Rightarrow a_n=2(0不合)\Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_n=\bbox[red,2pt]{2}$$ (二) $$\lim _{ x\to 1 }{ \frac { \sqrt { 5-x } -2 }{ \sqrt { 2-x } -1 }  } =\lim _{ x\to 1 }{ \frac { \frac { -1 }{ 2\sqrt { 5-x }  }  }{ \frac { -1 }{ 2\sqrt { 2-x }  }  }  } =\lim _{ x\to 1 }{ \frac { \sqrt { 2-x }  }{ \sqrt { 5-x }  }  } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }}$$

---

解： $$\left( 一 \right) f\left( x \right) ={ \left( e^{ 2x }-\ln { 3x }  \right)  }^{ 2/3 }\Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { 2 }{ 3 } { \left( e^{ 2x }-\ln { 3x }  \right)  }^{ -1/3 }\left( 2e^{ 2x }-\frac { 1 }{ x }  \right) \\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { 2 }{ 3 } { \left( e^{ 2 }-\ln { 3 }  \right)  }^{ -1/3 }\left( 2e^{ 2 }-1 \right)}$$ (二) $$xe^{ y }+ye^{ xz }+x^{ 2 }e^{ x/y }=10\Rightarrow e^{ y }+y\left( z+x\frac { \partial z }{ \partial x }  \right) e^{ xz }+2xe^{ x/y }+\frac { x^{ 2 } }{ y } e^{ x/y }=0\\\Rightarrow y\left( z+x\frac { \partial z }{ \partial x }  \right) e^{ xz }=-\left(e^{ y }+2xe^{ x/y }+\frac { x^{ 2 } }{ y } e^{ x/y }\right)\\\Rightarrow \left( z+x\frac { \partial z }{ \partial x }  \right) e^{ xz }=-\left(\frac{e^{ y }}{y}+\frac{2x}{y}e^{ x/y }+\frac { x^{ 2 } }{ y^2 } e^{ x/y }\right)\\\Rightarrow z+x\frac { \partial z }{ \partial x }=-\left(\frac{1}{y}e^{ y-xz }+\frac{2x}{y}e^{ x/y-xz }+\frac { x^{ 2 } }{ y^2 } e^{ x/y-xz }\right)\\\Rightarrow x\frac { \partial z }{ \partial x }=-\left(\frac{1}{y}e^{ y-xz }+\frac{2x}{y}e^{ x/y-xz }+\frac { x^{ 2 } }{ y^2 } e^{ x/y-xz }+z\right)\\\Rightarrow \frac { \partial z }{ \partial x }=\bbox[red,2pt]{-\left(\frac{1}{xy}e^{ y-xz }+\frac{2}{y}e^{ /y-z }+\frac { x }{ y^2 } e^{ x/y-xz }+\frac{z}{x}\right)}\\ xe^{ y }+ye^{ xz }+x^{ 2 }e^{ x/y }=10\Rightarrow xe^{ y }+e^{ xz }+xy\left( \frac { \partial z }{ \partial y }  \right) e^{ xz } -\frac { x^3 }{ y^{ 2 } }  e^{ x/y }=0\\\Rightarrow xy\left( \frac { \partial z }{ \partial y }  \right) e^{ xz } =\frac { x^3 }{ y^{ 2 } }  e^{ x/y } -xe^{ y }-e^{ xz } \Rightarrow xy\left( \frac { \partial z }{ \partial y }  \right)  =\frac { x^3 }{ y^{ 2 } }  e^{ x/y-xz } -xe^{ y-xz }-1\\ \Rightarrow \frac { \partial z }{ \partial y } =\bbox[red,2pt]{\frac { x^2 }{ y^{ 3 } }  e^{ x/y-xz } -\frac{1}{y}e^{ y-xz }-\frac{1}{xy}}$$

---

解：
$$\begin{cases} x=y \\ x=-y \\ y=2 \end{cases}\Rightarrow 三交點\begin{cases} O(0,0) \\ A(2,2) \\ B(-2,2) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f\left( O \right) =5 \\ f\left( A \right) =7 \\ f\left( B \right) =-9 \end{cases}\\ f\left( x,y \right) =-y^{ 2 }-2x^{ 2 }+3y+4x+5\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=-4x+4 \\ f_{ y }=-2y+3 \\ f_{ xx }=-4,f_{ yy }=-2,f_{ xy }=0 \end{cases}\\ \begin{cases} f_{ x }=0 \\ f_{ y }=0 \end{cases}\Rightarrow \left( x_{ 0 },y_{ 0 } \right) =\left( 1,\frac { 3 }{ 2 }  \right) \Rightarrow f_{ xx }f_{ yy }-f^{ 2 }_{ xy }=8>0且f_{ xx }<0\Rightarrow f\left( x_{ 0 },y_{ 0 } \right) =\frac { 37 }{ 4 } 為相對極大值$$ 答：最大值為$\bbox[red,2pt]{\frac { 37 }{ 4 } }$，最小值為$\bbox[red,2pt]{-9}$

---

解：
(一) $$\begin{cases} u=\ln { x }  \\ dv=xdx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\frac { 1 }{ x } dx \\ v=\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \end{cases}\Rightarrow \int { x\ln { x } dx } =\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }\ln { x } -\frac { 1 }{ 2 } \int { x } dx={ \frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }\ln { x } -\frac { 1 }{ 4 } x^{ 2 } }+C\\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ x\ln { x } dx } =\left. \left[ { \frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }\ln { x } -\frac { 1 }{ 4 } x^{ 2 } } \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 }=\bbox[red,2pt]{-\frac { 1 }{ 4 } }$$
(二) $$\begin{cases} x=r\cos { \theta  }  \\ y=r\sin { \theta  }  \end{cases}\Rightarrow \int_0^1 \int_{-y}^y  { \sqrt { x^{ 2 }+y^{ 2 } }  } dxdy= \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \int_0^{\sec \theta}  { { r }^{ 2 }drd\theta  } \\ ={1\over 3} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sec^3 \theta \;d\theta ={1\over 3} \left. \left[ {1\over 2}\sec \theta\tan \theta +{1\over 2}\ln |\sec \theta +\tan \theta|\right] \right|_{-\pi/4}^{\pi/4} \\ ={1\over 3}\left[ ({1\over 2}\sqrt 2 +{1\over 2} \ln (\sqrt 2+1)) -(-{1\over 2}\sqrt 2+ {1\over 2}\ln (\sqrt 2-1))\right]\\  ={1\over 3}\left(\sqrt 2+{1\over 2}\ln{\sqrt 2+1 \over \sqrt 2-1} \right) =\bbox[red, 2pt]{{\sqrt 2\over 3} +{1\over 6}\ln {\sqrt 2+1 \over \sqrt 2-1}}$$

---

未公布標準答案，解題僅供參考