104年升官等考試--微積分詳解

104年公務、關務人員升官等考試
104年交通事業公路、港務人員升資考試

等 級：薦任

類科（別）：物理

科 目：微積分

微積分 詳解

解： $$f\left( x \right) ={ \left( 2x^{ 2 }+x+1 \right)  }^{ 4 }\Rightarrow f'\left( x \right) ={ 4\left( 2x^{ 2 }+x+1 \right)  }^{ 3 }\left( 4x+1 \right) \Rightarrow f'\left( 0 \right) =\bbox[red,2pt]{4}$$

---

解： $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ x^{ 2 }+3x+2 }  } dx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ \left( x+2 \right) \left( x+1 \right)  }  } dx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( \frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x+2 }  \right)  } dx\\ =\left. \left[ \ln { \left( x+1 \right)  } -\ln { \left( x+2 \right)  }  \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 }=\left( \ln { 2 } -\ln { 3 }  \right) -\left( \ln { 1 } -\ln { 2 }  \right) =\bbox[red,2pt]{2\ln { 2 } -\ln { 3 }}$$

---

解： $$\begin{cases} u=x \\ dv=e^{ -sx }dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=dx \\ v=-\frac { 1 }{ s } e^{ -sx } \end{cases}\Rightarrow \int { xe^{ -sx } } dx=-\frac { 1 }{ s } xe^{ -sx }+\frac { 1 }{ s } \int { e^{ -sx } } dx=-\frac { 1 }{ s } xe^{ -sx }-\frac { 1 }{ s^{ 2 } } e^{ -sx }\\ \begin{cases} u=x^{ 2 } \\ dv=e^{ -sx }dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=2xdx \\ v=-\frac { 1 }{ s } e^{ -sx } \end{cases}\Rightarrow \int { x^{ 2 }e^{ -sx } } dx=-\frac { 1 }{ s } x^{ 2 }e^{ -sx }+\frac { 2 }{ s } \int { xe^{ -sx } } dx\\ =-\frac { 1 }{ s } x^{ 2 }e^{ -sx }+\frac { 2 }{ s } \left( -\frac { 1 }{ s } xe^{ -sx }-\frac { 1 }{ s^{ 2 } } e^{ -sx } \right) =-\frac { 1 }{ s } x^{ 2 }e^{ -sx }-\frac { 2 }{ s^{ 2 } } xe^{ -sx }-\frac { 2 }{ s^{ 3 } } e^{ -sx }\\ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ x^{ 2 }e^{ -sx } } dx=\lim _{ a\rightarrow \infty  }{ \int _{ 0 }^{ a }{ x^{ 2 }e^{ -sx } } dx } =\lim _{ a\rightarrow \infty  }{ \left. \left[ -\frac { 1 }{ s } x^{ 2 }e^{ -sx }-\frac { 2 }{ s^{ 2 } } xe^{ -sx }-\frac { 2 }{ s^{ 3 } } e^{ -sx } \right]  \right| ^{ a }_{ 0 } } \\ =\lim _{ a\rightarrow \infty  }{ \left( -\frac { 1 }{ s } a^{ 2 }e^{ -sa }-\frac { 2 }{ s^{ 2 } } ae^{ -sa }-\frac { 2 }{ s^{ 3 } } e^{ -sa }+\frac { 2 }{ s^{ 3 } }  \right)  } =0+0+0+\frac { 2 }{ s^{ 3 } } =\bbox[red,2pt]{\frac { 2 }{ s^{ 3 } }}$$

---

解： $$f\left( x \right) =\sqrt { 1+x } ={ \left( x+1 \right)  }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\Rightarrow \begin{cases} f'\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } { \left( x+1 \right)  }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  } \\ f''\left( x \right) =-\frac { 1 }{ 4 } { \left( x+1 \right)  }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  } \\ f'''\left( x \right) =\frac { 3 }{ 8 } { \left( x+1 \right)  }^{ -\frac { 5 }{ 2 }  } \\ f^{ (4) }\left( x \right) =-\frac { 15 }{ 16 } { \left( x+1 \right)  }^{ -\frac { 7 }{ 2 }  } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f'\left( 0 \right) =\frac { 1 }{ 2 }  \\ f''\left( 0 \right) =-\frac { 1 }{ 4 }  \\ f'''\left( 0 \right) =\frac { 3 }{ 8 }  \\ f^{ (4) }\left( 0 \right) =-\frac { 15 }{ 16 }  \end{cases}\\ f\left( x \right) =f\left( 0 \right) +f'\left( 0 \right) x+\frac { 1 }{ 2! } f''\left( 0 \right) x^{ 2 }+\frac { 1 }{ 3! } f'''\left( 0 \right) x^{ 3 }+\frac { 1 }{ 4! } f^{ (4) }\left( 0 \right) x^{ 4 }\\ =\bbox[red,2pt]{1+\frac { 1 }{ 2 } x-\frac { 1 }{ 8 } x^{ 2 }+\frac { 1 }{ 16 } x^{ 3 }-\frac { 5 }{ 128 } x^{ 4 }}$$

---

解： $$\begin{cases} f_{ x }=0 \\ f_{ y }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x+4=0 \\ -8y+8=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_{ 0 }=-2 \\ y_{ 0 }=1 \end{cases}\\ \Delta =f_{ xx }\left( x_{ 0 },y_{ 0 } \right) \times f_{ yy }\left( x_{ 0 },y_{ 0 } \right) -f^{ 2 }_{ xy }\left( x_{ 0 },y_{ 0 } \right) =2\times \left( -8 \right) -0=-16<0\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{無相對極值}$$

---

解： $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ x }^{ 2 }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  }  } dydx=\int _{ 0 }^{ 2 }{ \int _{ 0 }^{ y }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  }  } dxdy-\int _{ 1 }^{ 2 }{ \int _{ 1 }^{ y }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  }  } dxdy\\ =\int _{ 0 }^{ 2 }{ \left. \left[ x\cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  \right]  \right| ^{ y }_{ 0 } } dy-\int _{ 1 }^{ 2 }{ \left. \left[ x\cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  \right]  \right| ^{ y }_{ 1 } } dy=\int _{ 0 }^{ 2 }{ y\cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  } dy-\int _{ 1 }^{ 2 }{ \left( y\cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  } -\cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  \right)  } dy\\ =\int _{ 0 }^{ 2 }{ y\cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  } dy-\int _{ 1 }^{ 2 }{ y\cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  } dy+\int _{ 1 }^{ 2 }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  } dy\\ =\left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  \right]  \right| ^{ 2 }_{ 0 }-\left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  \right]  \right| ^{ 2 }_{ 1 }+\int _{ 1 }^{ 2 }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  } dy=\frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( 1 \right)  } +\int _{ 1 }^{ 2 }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  } dy$$ 又 $$C\left( x \right) =\int _{ 0 }^{ x }{ \cos { \left( t^{ 2 } \right)  } dt } =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n } } \frac { x^{ 4n+1 } }{ (2n)!(4n+1) } \\ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 }{ \cos { \left( y^{ 2 } \right)  } dy } =C\left( 2 \right) -C\left( 1 \right) =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n } } \frac { 2^{ 4n+1 } }{ (2n)!(4n+1) } -\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n } } \frac { 1 }{ (2n)!(4n+1) } \\ =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n } } \frac { 2^{ 4n+1 }-1 }{ (2n)!(4n+1) }$$ 因此 $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ x }^{ 2 }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right)  }  }  } dydx=\frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( 1 \right)  } +\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n } } \frac { 2^{ 4n+1 }-1 }{ (2n)!(4n+1) }$$

---

解： $$\begin{cases} x=\rho \cos { \theta  } \sin { \phi  }  \\ y=\rho \sin { \theta  } \sin { \phi  }  \\ z=\rho \cos { \phi  }  \end{cases}\Rightarrow \iiint _{ B }{ x } dV=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( \rho \cos { \theta  } \sin { \phi  }  \right) \left( \rho ^{ 2 }\sin { \phi  }  \right)  }  }  } d\rho d\theta d\phi \\ =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( \rho ^{ 3 }\cos { \theta  } \sin ^{ 2 }{ \phi  }  \right)  }  }  } d\rho d\theta d\phi =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \left. \left[ \frac { 1 }{ 4 } \rho ^{ 4 }\cos { \theta  } \sin ^{ 2 }{ \phi  }  \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 } }  } d\theta d\phi \\ =\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \cos { \theta  } \sin ^{ 2 }{ \phi  }  }  } d\theta d\phi =\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \left. \left[ \sin { \theta  } \sin ^{ 2 }{ \phi  }  \right]  \right| ^{ \pi /2 }_{ 0 } } d\theta d\phi \\ =\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \sin ^{ 2 }{ \phi  }  } d\phi =\frac { 1 }{ 4 } \left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } \theta -\frac { 1 }{ 4 } \sin { 2\phi  }  \right]  \right| ^{ \pi /2 }_{ 0 }=\frac { 1 }{ 4 } \left( \frac { \pi  }{ 4 }  \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { \pi  }{ 16 }}$$

---

考選部未公布答案，解題僅供參考