104年公務、關務人員升官等考試
104年交通事業公路、港務人員升資考試
104年交通事業公路、港務人員升資考試
等 級：薦任
類科（別）：物理
科 目：微積分
微積分 詳解
解：f(x)=(2x2+x+1)4⇒f′(x)=4(2x2+x+1)3(4x+1)⇒f′(0)=4
解：∫101x2+3x+2dx=∫101(x+2)(x+1)dx=∫10(1x+1−1x+2)dx=[ln(x+1)−ln(x+2)]|10=(ln2−ln3)−(ln1−ln2)=2ln2−ln3
解：{u=xdv=e−sxdx⇒{du=dxv=−1se−sx⇒∫xe−sxdx=−1sxe−sx+1s∫e−sxdx=−1sxe−sx−1s2e−sx{u=x2dv=e−sxdx⇒{du=2xdxv=−1se−sx⇒∫x2e−sxdx=−1sx2e−sx+2s∫xe−sxdx=−1sx2e−sx+2s(−1sxe−sx−1s2e−sx)=−1sx2e−sx−2s2xe−sx−2s3e−sx∫∞0x2e−sxdx=lima→∞∫a0x2e−sxdx=lima→∞[−1sx2e−sx−2s2xe−sx−2s3e−sx]|a0=lima→∞(−1sa2e−sa−2s2ae−sa−2s3e−sa+2s3)=0+0+0+2s3=2s3
解：f(x)=√1+x=(x+1)12⇒{f′(x)=12(x+1)−12f″
解：\begin{cases} f_{ x }=0 \\ f_{ y }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x+4=0 \\ -8y+8=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_{ 0 }=-2 \\ y_{ 0 }=1 \end{cases}\\ \Delta =f_{ xx }\left( x_{ 0 },y_{ 0 } \right) \times f_{ yy }\left( x_{ 0 },y_{ 0 } \right) -f^{ 2 }_{ xy }\left( x_{ 0 },y_{ 0 } \right) =2\times \left( -8 \right) -0=-16<0\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{無相對極值}
解：\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ x }^{ 2 }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } } } dydx=\int _{ 0 }^{ 2 }{ \int _{ 0 }^{ y }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } } } dxdy-\int _{ 1 }^{ 2 }{ \int _{ 1 }^{ y }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } } } dxdy\\ =\int _{ 0 }^{ 2 }{ \left. \left[ x\cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } \right] \right| ^{ y }_{ 0 } } dy-\int _{ 1 }^{ 2 }{ \left. \left[ x\cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } \right] \right| ^{ y }_{ 1 } } dy=\int _{ 0 }^{ 2 }{ y\cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } } dy-\int _{ 1 }^{ 2 }{ \left( y\cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } -\cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } \right) } dy\\ =\int _{ 0 }^{ 2 }{ y\cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } } dy-\int _{ 1 }^{ 2 }{ y\cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } } dy+\int _{ 1 }^{ 2 }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } } dy\\ =\left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( { y }^{ 2 } \right) } \right] \right| ^{ 2 }_{ 0 }-\left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( { y }^{ 2 } \right) } \right] \right| ^{ 2 }_{ 1 }+\int _{ 1 }^{ 2 }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } } dy=\frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( 1 \right) } +\int _{ 1 }^{ 2 }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } } dy又C\left( x \right) =\int _{ 0 }^{ x }{ \cos { \left( t^{ 2 } \right) } dt } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( -1 \right) }^{ n } } \frac { x^{ 4n+1 } }{ (2n)!(4n+1) } \\ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 }{ \cos { \left( y^{ 2 } \right) } dy } =C\left( 2 \right) -C\left( 1 \right) =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( -1 \right) }^{ n } } \frac { 2^{ 4n+1 } }{ (2n)!(4n+1) } -\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( -1 \right) }^{ n } } \frac { 1 }{ (2n)!(4n+1) } \\ =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( -1 \right) }^{ n } } \frac { 2^{ 4n+1 }-1 }{ (2n)!(4n+1) } 因此\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ x }^{ 2 }{ \cos { \left( { y }^{ 2 } \right) } } } dydx=\frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( 1 \right) } +\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( -1 \right) }^{ n } } \frac { 2^{ 4n+1 }-1 }{ (2n)!(4n+1) }
解：\begin{cases} x=\rho \cos { \theta } \sin { \phi } \\ y=\rho \sin { \theta } \sin { \phi } \\ z=\rho \cos { \phi } \end{cases}\Rightarrow \iiint _{ B }{ x } dV=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( \rho \cos { \theta } \sin { \phi } \right) \left( \rho ^{ 2 }\sin { \phi } \right) } } } d\rho d\theta d\phi \\ =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( \rho ^{ 3 }\cos { \theta } \sin ^{ 2 }{ \phi } \right) } } } d\rho d\theta d\phi =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left. \left[ \frac { 1 }{ 4 } \rho ^{ 4 }\cos { \theta } \sin ^{ 2 }{ \phi } \right] \right| ^{ 1 }_{ 0 } } } d\theta d\phi \\ =\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos { \theta } \sin ^{ 2 }{ \phi } } } d\theta d\phi =\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left. \left[ \sin { \theta } \sin ^{ 2 }{ \phi } \right] \right| ^{ \pi /2 }_{ 0 } } d\theta d\phi \\ =\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \sin ^{ 2 }{ \phi } } d\phi =\frac { 1 }{ 4 } \left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } \theta -\frac { 1 }{ 4 } \sin { 2\phi } \right] \right| ^{ \pi /2 }_{ 0 }=\frac { 1 }{ 4 } \left( \frac { \pi }{ 4 } \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { \pi }{ 16 }}
考選部未公布答案，解題僅供參考
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