105年特種考試地方政府公務人員考試
等 別: 四等考試
類 科:天文
科 目:微積分
(一)$$\lim _{ x\to 1^{ + } }{ \left( \frac { 1 }{ \ln { x } } -\frac { 1 }{ x-1 } \right) } =\lim _{ x\to 1^{ + } }{ \left( \frac { x-\ln { x-1 } }{ \left( x-1 \right) \ln { x } } \right) } =\lim _{ x\to 1^{ + } }{ \left( \frac { 1-\frac { 1 }{ x } }{ \ln { x } +\frac { x-1 }{ x } } \right) } \\ =\lim _{ x\to 1^{ + } }{ \left( \frac { 1-\frac { 1 }{ x } }{ \ln { x } +1-\frac { 1 }{ x } } \right) } =\lim _{ x\to 1^{ + } }{ \left( \frac { \frac { 1 }{ x^{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ x^{ 2 } } } \right) } =\frac { 1 }{ 1+1 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }} $$
(二)$$\frac { d^{ 3 } }{ dx } \ln { \left| 2x+1 \right| } =\frac { d^{ 2 } }{ dx } \frac { 2 }{ 2x+1 } =\frac { d }{ dx } \frac { -4 }{ \left( 2x+1 \right) ^{ 2 } } =\bbox[red,2pt]{\frac { 16 }{ \left( 2x+1 \right) ^{ 3 } } }$$
解:
(二)$$\int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ \sin { x } }{ \left( 1+\cos { x } \right) } dydx } =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { x } \left( 1+\cos { x } \right) dx } =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \left( \sin { x } +\sin { x\cos { x } } \right) dx } \\ =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \left( \sin { x } +\frac { 1 }{ 2 } \sin { 2x } \right) dx } =\left. \left[ -\cos { x } -\frac { 1 }{ 4 } \cos { 2x } \right] \right| ^{ \pi }_{ 0 }=\left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) -\left( -1-\frac { 1 }{ 4 } \right) \\ =\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 5 }{ 4 } =\bbox[red,2pt]{2}$$
解:
$$f\left( x \right) =\frac { x^{ 2 }-2x+4 }{ x-2 } =x+\frac { 4 }{ x-2 } \Rightarrow \begin{cases} y=x為斜漸近線 \\ x=2為垂直漸近線 \end{cases}\\ 令f'\left( x \right) =0\Rightarrow 1-\frac { 4 }{ { \left( x-2 \right) }^{ 2 } } =\frac { x\left( x-4 \right) }{ { \left( x-2 \right) }^{ 2 } } =0\Rightarrow x=0,x=4\\ f''\left( x \right) =\frac { 8 }{ { \left( x-2 \right) }^{ 3 } } \Rightarrow \begin{cases} f''\left( 0 \right) =-1<0 \\ f''\left( 4 \right) =1>0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f\left( 0 \right) =-2為極大值 \\ f\left( 4 \right) =6為極小值 \end{cases}$$答:極大點為A(0,-2)、極小點為B(4,6)、沒有反曲點,漸近線有兩條,分別為y=x及x=2,圖形如上。
解:
$$f\left( x,y \right) =-x^{ 3 }-2y^{ 2 }+4xy+1\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=-3x^{ 2 }+4y \\ f_{ y }=-4y+4x \\ f_{ xx }=-6x \\ f_{ yy }=-4 \\ f_{ xy }=4 \end{cases}\\ \begin{cases} f_{ x }=0 \\ f_{ y }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -3x^{ 2 }+4y=0 \\ -4y+4x=0 \end{cases}\Rightarrow \left( x,y \right) =\left( 0,0 \right) ,\left( \frac { 4 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 } \right) \\ d=f_{ xx }f_{ yy }-f^{ 2 }_{ xy }=24x-16\Rightarrow \begin{cases} d\left( 0,0 \right) =-16<0 \\ d\left( \frac { 4 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 } \right) =16>0 \\ f_{ xx }\left( \frac { 4 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 } \right) =-8<0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\bbox[red,2pt]{\left( 0,0 \right) 為鞍點 }\\\bbox[red,2pt]{ \left( \frac { 4 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 } \right) 為極大點} \end{cases}$$
考選部未公布答案,解題僅供參考
不好意思我想請問一下1-2題的第一階導數為何分子的2消失了@@?小弟才疏學淺想要了解一下><
回覆刪除謝謝提醒,已修訂完畢!!
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