107年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及
107年特種考試交通事業鐵路人員考試試題
107年特種考試交通事業鐵路人員考試試題
考 試 別:一般警察人員考試
等 別:三等考試
類 科 別:消防警察人員
微積分 詳解
解:$$d\left( \left( x,3+2x-x^{ 2 } \right) ,\left( 1,2 \right) \right) =\sqrt { { \left( x-1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 1+2x-x^{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { { \left( x-1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2-{ \left( x-1 \right) }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ 令t=x-1\Rightarrow d\left( \left( x,3+2x-x^{ 2 } \right) ,\left( 1,2 \right) \right) =\sqrt { { t }^{ 2 }+{ \left( 2-{ t }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ 令f\left( t \right) ={ t }^{ 2 }+{ \left( 2-{ t }^{ 2 } \right) }^{ 2 }\Rightarrow f'\left( t \right) =2t+2\left( 2-{ t }^{ 2 } \right) \left( -2t \right) =4t^{ 3 }-6t\Rightarrow f''\left( t \right) =12t-6\\ f'\left( t \right) =0\Rightarrow 4t^{ 3 }-6t=0\Rightarrow 2t\left( t^{ 2 }-3 \right) =0\Rightarrow t=0,\pm \sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } \\ \Rightarrow \begin{cases} f''\left( 0 \right) =-6<0 \\ f''\left( -\sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } \right) <0 \\ f''\left( \sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } \right) >0 \end{cases}\Rightarrow t=\sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } 有極小值f\left( \sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } \right) =\frac { 3 }{ 2 } +{ \left( 2-\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 }=\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 7 }{ 4 } \\ \Rightarrow d的極小值為\sqrt { f\left( \sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } \right) } =\sqrt { \frac { 7 }{ 4 } } =\bbox[red,2pt]{\frac { \sqrt { 7 } }{ 2 }} $$
解:$$\lim _{ x\to -\infty }{ \frac { 3x-1 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 } } } =\lim _{ x\to -\infty }{ \frac { x\left( 3-\frac { 1 }{ x } \right) }{ x\sqrt { 2+\frac { 1 }{ x^{ 2 } } } } } =\lim _{ x\to -\infty }{ \frac { \left( 3-\frac { 1 }{ x } \right) }{ \sqrt { 2+\frac { 1 }{ x^{ 2 } } } } } =\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \\ 同理\lim _{ x\to -\infty }{ \frac { 3x-3 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 } } } =\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \\ 因此\frac { 3x-3 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 } } \le \frac { 3x+\sin { \left( x \right) } -2 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 } } \le \frac { 3x-1 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 } } \\ \Rightarrow \lim _{ x\to -\infty }{ \frac { 3x-3 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 } } } \le \lim _{ x\to -\infty }{ \frac { 3x+\sin { \left( x \right) } -2 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 } } } \le \lim _{ x\to -\infty }{ \frac { 3x-1 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 } } } \\ \Rightarrow \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \le \lim _{ x\to -\infty }{ \frac { 3x+\sin { \left( x \right) } -2 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 } } } \le \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \\ \Rightarrow \lim _{ x\to -\infty }{ \frac { 3x+\sin { \left( x \right) } -2 }{ \sqrt { 2x^{ 2 }+1 } } } =\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } =\bbox[red,2pt]{\frac { 3\sqrt { 2 } }{ 2 }} $$
解:$$\because \lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { \ln { { \left( 1+x \right) } } }{ x } } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \frac { 1 }{ 1+x } } =1\\ \therefore \lim _{ x\to 0^{ + } }{ { \left( 1+x \right) }^{ \frac { 1 }{ x } } } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ { e }^{ \ln { { \left( 1+x \right) }^{ \frac { 1 }{ x } } } } } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ { e }^{ \frac { 1 }{ x } \ln { { \left( 1+x \right) } } } } ={ e }^{ 1 }= \bbox[red,2pt]{e}$$
解:$$u=\sqrt { x } \Rightarrow du=\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } dx\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 9 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { x } { \left( 1+\sqrt { x } \right) }^{ 2 } } } dx=\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { 2 }{ { \left( 1+u \right) }^{ 2 } } } du\\ =\left. \left[ \frac { -2 }{ 1+u } \right] \right| ^{ 3 }_{ 1 }=\left( \frac { -2 }{ 4 } \right) -\left( \frac { -2 }{ 2 } \right) =-\frac { 1 }{ 2 } +1=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }} $$
解:
$$4-x^{ 2 }=x+2\Rightarrow x^{ 2 }+x-2=0\Rightarrow \left( x-1 \right) \left( x+2 \right) =0\Rightarrow x=1,-2\\ 面積=\int _{ -2 }^{ 1 }{ \left[ \left( 4-x^{ 2 } \right) -\left( x+2 \right) \right] } dx=\int _{ -2 }^{ 1 }{ \left( -x^{ 2 }-x+2 \right) } dx=\left. \left[ -\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }+2x \right] \right| ^{ 1 }_{ -2 }\\ =\left( -\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2 } +2 \right) -\left( \frac { 8 }{ 3 } -2-4 \right) =\left( 2-\frac { 5 }{ 6 } \right) -\left( \frac { 8 }{ 3 } -6 \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { 9 }{ 2 } }$$
解:$$\sqrt x+\sqrt y=\sqrt a \Rightarrow y=(\sqrt a-\sqrt x)^2 \Rightarrow V=\int_0^a y^2\pi \,dx =\int_0^a (\sqrt a-\sqrt x)^4\pi \,dx \\ ={\pi\over 15}\left.\left[(\sqrt x-\sqrt a)^5 (\sqrt a+5\sqrt x)\right] \right|_0^a = {\pi \over 15}a^3 =k\pi a^3 \Rightarrow k=\bbox[red, 2pt]{1\over 15}$$
考選部未公布答案,解題僅供參考
第8題題目是V=kπa^3
回覆刪除您最後等式1/6*a^2π=kπa^2
k應該要等於1/6a
重算一遍, 已修訂,看看答案對不對!!
刪除感恩
刪除第一題 m斜率是1/2 您寫成2
回覆刪除已修訂, 謝謝!!
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