106年專科學力鑑定考試--工程數學詳解

106年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試

專業科目(一)：工程數學 詳解

解： $$t\vec { u } +(1-t)\vec { v } =t\left( 2\vec { i } -3\vec { j }  \right) +\left( 1-t \right) \left( -2\vec { j } +2\vec { k }  \right) =2t\vec { i } +\left( -3t-2+2t \right) \vec { j } +\left( 2-2t \right) \vec { k } \\ =2t\vec { i } +\left( -t-2 \right) \vec { j } +\left( 2-2t \right) \vec { k }$$ 故選：$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\vec { a } +t\vec { b } 和\vec { a } +\vec { b } 垂直\Rightarrow \left( \vec { a } +t\vec { b }  \right) \cdot \left( \vec { a } +\vec { b }  \right) =0\\ \Rightarrow \left( (2t+2)\vec { i } -\vec { j } +\left( 3-3t \right) \vec { k }  \right) \cdot \left( 4\vec{i}-\vec{j} \right) =0\\\Rightarrow4(2t+2)+1=0\Rightarrow 8t+9=0\Rightarrow t=-\frac{9}{8}\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\vec { u } \times \vec { v } =\left( 2,-1,3 \right) \times \left( 1,4,-2 \right) =\left( \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 4 & -2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \right) =\left( -10,7,9 \right) \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$BA=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\left( A \right) 2\times3 不能與3\times 1相加\\(B)AA^T為2\times 2不能與3\times 1相加\\(C)A^TA為3\times3,BB^T為3\times 3,兩者可相加\\(D)B^TB為1\times1,2\times 2不能與1\times 1相加\\ 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & x & x^{ 2 } \end{matrix} \right| =-x^2+x+1+1-x-x^2=-2x^2+2 \Rightarrow 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} x+y+z=9 & \left( 1 \right)  \\ 2x+4y-3z=1 & \left( 2 \right)  \\ 3x+6y-5z=0 & \left( 3 \right)  \end{cases}\Rightarrow \left( 2 \right) \times 3-\left( 3 \right) \times 2\Rightarrow z=3\Rightarrow \begin{cases} x+y=6 \\ 2x+4y=10 \\ 3x+6y=15 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y=6 \\ 2x+4y=10 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} x=7 \\ y=-1 \end{cases}\Rightarrow 其解為\left( x,y,z \right) =\left( 7,-1,3 \right)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow det(A)=1+1=2\Rightarrow A^{ -1 }=\begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$det(B-\lambda I)=0\Rightarrow \left| \begin{matrix} 3-\lambda  & 4 \\ 4 & -3-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow \lambda^2=25\Rightarrow\lambda=\pm5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\left( xy+2017y \right) dx-\left( xy-2017x \right) dy=0\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { xy+2017y }{ xy-2017x } =\frac { y\left( x+2017 \right)  }{ \left( y-2017 \right) x } \\ =\frac { y }{ y-2017 } \cdot \frac { x+2017 }{ x } \Rightarrow \frac { y-2017 }{ y } dy=\frac { x+2017 }{ x } dx，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$20ydx-17xdy=0\Rightarrow \frac { 1 }{ xy } \left( 20ydx-17xdy \right) =0\Rightarrow \frac { 20 }{ x } dx-\frac { 17 }{ y } dy=0\\ \Rightarrow \frac { d }{ dy } \left( \frac { 20 }{ x }  \right) =0=\frac { d }{ dx } \left( -\frac { 17 }{ y }  \right) \Rightarrow \frac{1}{xy} 可作為積分因子，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

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解：此為二階常係數齊次微分方程，其特徵方程式為$y=e^{mx}$，其中$m$為特徵多項式$\lambda^2+2017\lambda+1=0$的解，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：此方程式符合歐拉-柯西方程式(Euler-Cauchy equation)，其特徵方程式為$y=x^m$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$L \left\{ \sin { \left( 2017t \right)  }  \right\} =\frac { 2017 }{ s^{ 2 }+2017^{ 2 } } \Rightarrow L \left\{ { e }^{ t }\sin { \left( 2017t \right)  }  \right\} =\frac { 2017 }{ \left( s-1 \right) ^{ 2 }+2017^{ 2 } } \\ \Rightarrow L \left\{ { te }^{ t }\sin { \left( 2017t \right)  }  \right\} =-\frac { d }{ ds } \left( \frac { 2017 }{ \left( s-1 \right) ^{ 2 }+2017^{ 2 } }  \right) =\frac { 2017\times 2\left( s-1 \right)  }{ { \left( \left( s-1 \right) ^{ 2 }+2017^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } \\ =\frac { 4034\left( s-1 \right)  }{ { \left( \left( s-1 \right) ^{ 2 }+2017^{ 2 } \right)  }^{ 2 } }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
由於$x^2+2017x+1$的特別解形式為$Ax^2+Bx+C$；$\cos{(3x)}$的特別解形式為$A\cos{(3x)}+B\sin{(3x)}$；兩者相乘的特別解形式為(A)，但$\lambda^2-6\lambda+9=0$的解為重根，因此特別解的形式為(B)，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$F\left( s \right) =\frac { 2017s }{ { \left( s^{ 2 }+2017^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } =\frac { 2017 }{ s^{ 2 }+2017^{ 2 } } \times \frac { s }{ s^{ 2 }+2017^{ 2 } } =L\left\{ \sin { \left( 2017t \right)  }  \right\} \times L\left\{ \cos { \left( 2017t \right)  }  \right\} \\ =\int _{ 0 }^{ t }{ \sin { \left( 2017t \right) \cos { \left( 2017\left( t-u \right)  \right)  }  }  } du，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$ 由於 $$L\left\{ \sin { \left( 2017t \right) \cos { \left( 2017t \right)  }  }  \right\} =L\left\{ \frac { 1 }{ 2 } \sin { \left( 4034t \right)  }  \right\} =\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { 4034 }{ s^{ 2 }+4034^{ 2 } } =\frac { 2017 }{ s^{ 2 }+4034^{ 2 } } \neq \frac { 2017s }{ { \left( s^{ 2 }+2017^{ 2 } \right)  }^{ 2 } }$$ 所以答案不可能是(B)！

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解：

由於$\sin{x}$為奇函數，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：由於$\sin{x}$為奇函數$\Rightarrow   \sin{(2017x)}$為奇函數$\Rightarrow   \sin^{2017}{(2017x)}$為奇函數。因此對所有的$k$而言，$a_k$皆為0，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解題僅供參考