106年特種考試地方政府公務人員考試--微積分詳解

106年特種考試地方政府公務人員考試

等 別： 四等考試
類 科：天文
科 目：微積分

微積分 詳解

解： $$f\left( x \right) =x^{ 1/3 }\Rightarrow f'\left( x \right) =\frac { 1 }{ 3 } x^{ -2/3 }\Rightarrow f''\left( x \right) =-\frac { 2 }{ 9 } x^{ -5/3 }\\ f\left( x \right) =f\left( a \right) +f'\left( a \right) \left( x-a \right) +\frac { 1 }{ 2 } f''\left( a \right) \left( x-a \right) ^{ 2 }+\cdots \\ \Rightarrow f\left( 8.03 \right) =f\left( 8 \right) +f'\left( 8 \right) \left( 8.03-8 \right) +\frac { 1 }{ 2 } f''\left( 8 \right) \left( 8.03-8 \right) ^{ 2 }+\cdots \\ =2+\frac { 1 }{ 3 } \cdot \frac { 1 }{ 4 } \cdot 0.03-\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { 2 }{ 9 } \cdot \frac { 1 }{ 2^{ 5 } } \cdot 0.03^{ 2 }+\cdots =2+0.0025-\frac { 0.0001 }{ 32 } +\cdots \\ \Rightarrow 2<f\left( 8.03 \right) =\sqrt [ 3 ]{ 8.03 } <2+0.0025$$ 故得證

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解：

$y=x^3+2x^2$為三次式且三次項係數為正，其圖形為右上左下；又$x^3+2x^2=0\Rightarrow x^2(x+2)=0$該圖形與X軸交於C(-2,0)及O(0,0)；
再求曲線與直線的交點，即 $$x^3+2x^2=3x \Rightarrow  x(x^2+2x-3)=0 \Rightarrow x(x+3)(x-1)=0$$ 因此兩點圖形交於A(-3,-9),O(0,0)及B(1,3)，如圖形如上。
由圖形可知兩圖形所圍區域有兩塊，其面積為 $$\int _{ -3 }^{ 0 }{ \left( x^{ 3 }+2x^{ 2 }-3x \right)  } dx+\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 3x-x^{ 3 }-2x^{ 2 } \right)  } dx\\=\left. \left[ \frac { 1 }{ 4 } x^{ 4 }+\frac { 2 }{ 3 } x^{ 3 }-\frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 } \right]  \right| ^{ 0 }_{ -3 }+\left. \left[ \frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 }-\frac { 1 }{ 4 } x^{ 4 }-\frac { 2 }{ 3 } x^{ 3 } \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 }\\ =-\left( \frac { 81 }{ 4 } -\frac { 54 }{ 3 } -\frac { 27 }{ 2 }  \right) +\left( \frac { 3 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 2 }{ 3 }  \right) =\frac { 135 }{ 12 } +\frac { 7 }{ 12 } =\frac { 142 }{ 12 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 71 }{ 6 }}$$

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解： $$\begin{cases} f\left( x,y \right) =x^{ 2 }+2xy \\ g\left( x,y \right) =x^{ 2 }+y^{ 2 }-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=\lambda g_{ x } \\ f_{ y }=\lambda g_{ y } \\ g\left( x,y \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y=\lambda x \\ x=\lambda y \\ x^{ 2 }+y^{ 2 }=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { y }{ \lambda -1 } \cdots (1) \\ x=\lambda y\cdots (2) \\ x^{ 2 }+y^{ 2 }=1\cdots (3) \end{cases}\\ 由(1)及(2)知:\frac { y }{ \lambda -1 } =\lambda y\Rightarrow y\left( \lambda ^{ 2 }-\lambda -1 \right) =0\\ \Rightarrow \begin{cases} y=0(不合,若y=0,則x=\lambda y=0,但x^{ 2 }+y^{ 2 }需為1) \\ \lambda ^{ 2 }-\lambda -1=0\cdots (4) \end{cases}\Rightarrow \lambda =\frac { 1\pm \sqrt { 5 }  }{ 2 } \\ 將(2)代入(3):x^{ 2 }+y^{ 2 }=1\Rightarrow \left( \lambda y \right) ^{ 2 }+y^{ 2 }=1\Rightarrow y^{ 2 }=\frac { 1 }{ \lambda ^{ 2 }+1 } \Rightarrow x^{ 2 }=1-y^{ 2 }=1-\frac { 1 }{ \lambda ^{ 2 }+1 } =\frac { \lambda ^{ 2 } }{ \lambda ^{ 2 }+1 } \\ 因f\left( x,y \right) =x^{ 2 }+2xy=\frac { \lambda ^{ 2 } }{ \lambda ^{ 2 }+1 } +2\left( \lambda y \right) y=\frac { \lambda ^{ 2 } }{ \lambda ^{ 2 }+1 } +\frac { 2\lambda  }{ \lambda ^{ 2 }+1 } =\frac { \lambda ^{ 2 }+2\lambda  }{ \lambda ^{ 2 }+1 } \\ =\frac { 3\lambda +1 }{ \lambda +2 } (由(4)知\lambda ^{ 2 }=\lambda +1)=3-\frac { 5 }{ \lambda +2 } =\begin{cases} \frac { 5+3\sqrt { 5 }  }{ 5+\sqrt { 5 }  }  & 如果\lambda =\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \\ \frac { 5-3\sqrt { 5 }  }{ 5-\sqrt { 5 }  }  & 如果\lambda =\frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \end{cases}\\ =\begin{cases} \frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  & 如果\lambda =\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \\ \frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  & 如果\lambda =\frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \end{cases}$$ 答：最大值為$\bbox[red,2pt]{\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  }$

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解：
(一)級數積分檢定法:
若函數$f(x)$在區間$[a,\infty)$上是恆正且遞減到0，其中$a$為一整數及$a_n=f(n)$。則$\int _{ a }^{ \infty  }{ f\left( x \right)  } dx$與$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ a_{ n } }$同收斂或同發散。
(二) $$\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  } dx=\left. \left[ -\frac { 1 }{ x }  \right]  \right| ^{ \infty  }_{ 1 }=0-\left( -1 \right) =1\Rightarrow \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } }  } 收斂$$

曲線$y=\frac{1}{x^2}$與X軸$x\in[1,\infty)$所圍區域面積 $A=\int^{\infty}_1{\frac{1}{x}}dx=1$，上圖藍色矩形面積$B=\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}$，顯然B<A；
$B<A\Rightarrow 1+B=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}<A+1=2\Rightarrow$其收斂值小於2，故得證。

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解：

將積分順序調換，即

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ x }^{ 1 }{ { e }^{ { y }^{ 2 } } } dy } dx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ y }{ { e }^{ { y }^{ 2 } } } dx } dy=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left. \left[ x{ e }^{ { y }^{ 2 } } \right]  \right| ^{ y }_{ 0 } } dy=\int _{ 0 }^{ 1 }{ y{ e }^{ { y }^{ 2 } } } dy=\left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } { e }^{ { y }^{ 2 } } \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 }\\ =\frac { 1 }{ 2 } e^{ 1 }-\frac { 1 }{ 2 } e^{ 0 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 } \left( e-1 \right)}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考